Q3^-Q,)(Q. + Q0] = -AF

Comme F est négatif, du travail a disparu ; le travail dépensé sur le trajet bcd pour la compression du corps est supérieur au travail gagné sur le chemin dab pendant sa dilatation» c'est* à-dire au travail produit par le corps. La quantité AF représente la quantité de chaleur qui correspond à ce travail, et, comme dans le cas actuel il y a eu disparition de travail, une quantité de chaleur (AF) équivalente à ce travail a dû être créée. Le corps soumis à l'opération ne possède point cette quantité de chaleur, puisqu'il est revenu à son état initial ; son travail intérieur est par conséquent le même qu'au commencement. L'équation (20) fait parfaitement voir ce qu'est devenue la chaleur créée.

Comme (Qs H- Qi) représente, d'une part, la quantité de chaleur qui a été retirée du corps sur Je trajet cda, et (Qi H- Q,), d'autre part, celle qui a été fournie sur le trajet abc, l'équation (20) indique justement que pendant l'opération la chaleur retirée a été supérieure à la chaleur fournie, et que la différence est rigoureusement égale à la chaleur AF créée par le travail disparu.

Dans l'opération précédente, le corps, ou mieux l'extrémité de l'ordonnée qui représente la pression, parcourait le contour de l'aire F dans le sens abcd; ce sens est indiqué par la flèche intérieure sur la^^. 4- Pour montrer qu'on a fourni de la chaleur sur les trajets ab et bc, nous mettons à côté des lettres Qi et Q2 des flèches dirigées vers les courbes; les flèches qui s'éloignent des courbes cd et da indiquent au contraire que de la chaleur a été retirée.

Nous avons supposé que le corps était soumis, pendant l'odération, à une pression extérieure égale à chaque instant à sa force expansive ou différant infiniment peu de cette force. L'opération peut alors être renversée; le corps peut parcourir aussi le contour de l'aire F (Jig* 4) ^^ sens inverse^

en suivant le trajet adcba ; alors tous les ternies de Téquation (20) changent évidemment de signe» et il vient

(21) (Q3-hQ0-(Q.-+-Q.) = AF.

Dans ce trajet, on crée le travail F, et la somme des quantités de chaleur Q4 et Q^ fournies dans les trajets ad et de est plus grande que la somme des quantités de chaleur Q, et Q, retirées dans les trajets cb et ba. Une quantité de chaleur égale à (Q3 -+- QO — (Qi H- Q7) disparatl alors, et elle équivaut, d'après Téquation (21), au travail créé F. D*après cela, on peut dire que, dans la première succession des opérations, le travail F a été converti en chaleur, que ce travail a servi à créer une certaine quantité de chaleur; au contraire, dans la succession inverse des mêmes opérations, de la chaleur a disparu et a servi à créer un travail équivalent, on suppose bien entendu que le corps soit revenu à son état initial à la On des opérations.

Une suite de modifications, telles que celle que nous venons de décrire, s'appelle, d'après M. Clausius, un cycle fermé d'opérations, et lorsque, comme cela a lieu ici, la pression extérieure est à chaque instant égale à la forO;e expansive du corps, elle se nomme cfcle réversible, parce que le contour de l'aire F (fig. 4) peut être parcouru dans*un sens ou dans l'autre. Dans l'un des sens, on produit de la chaleur en dépen^ sant du travail; dans l'autre, de la chaleur disparaît et on produit du travail.

• Lorsque, comme nous venons de l'admettre. Taire est formée par deux couples de courbes, le cycle est dit simple; mais on suppose expressément que les deux courbes d'un même couple soient de même espèce, c'est-à-dire que les équations ne diffèrent que par In valeur attribuée à une constante. Dans les autres cas, le cycle est dit composé; nous nous en occuperons plus tard.

Dans le cycle simple que nous avons considéré ci-dessus, nous avons laissé tout à fait arbitraires les lois auxquelles doivent être soumis les deux couples de courbes. Mais on peut, sans nuire à la généralité des problèmes, faire sur l'un de ces

5o PREMIÈRE SECTION. ÉQUATIONS FONDAMENTALES.

couples-, le couple T et T, (fig. 4) par exemple, une hypothèse spéciale. La première idée qui se présente et que nous poursuivrons plus attentivement consiste à supposer que les deux courbes T et Ti soient des lignes adiabatiques, celles qui indiquent comment la pression p varie avec le volume v quand on admet que le corps n'éprouve ni perte ni gain de chaleur. L'état initial du corps est toujours déterminé par la pression /?, et le volume Ci [fig. 5). Les courbes R et Ri suivent toutes les

Fig. 5.

deux la loi arbitraire

Rz=F(/?, i') = const.;

dans la seconde courbe seulement, la constante R est remplacée par la valeur R,.

Ce sont les deux autres courbes A et A, qui sont des lignes adiabatiques, suivant la même loi, mais se distinguant Tune de l'autre par les valeurs différentes de la constante qui entre dans leurs équations.

Les équations (20) et (21) sont immédiatement applicables à un cycle simple de cette nature; mais ici elles se simplifient beaucoup. En effet, comme dans les trajets bc et da il n'y a ni communication, ni soustraction de chaleur, il faut faire Qa = o etQ4 = o dans ces équations. Remplaçons alors (fig' 5) la lettre Q, par Q, et la lettre Q3 par Q,; il vient

=p(Q.~Q)=qpAF,

CYCLES SIMPLES ET RÉVERSIBLES. 5l

équation que nous écrivons simplement

puisqu'il ne peut pas y avoir de doute sur Içs signes dont il faut affecter les deux membres de cette équation.

D'après cela, si le corps parcourt le contour de l'aire F dans la direction abcda indiquée par la flèche intérieure, il faudra fournir au corps la quantité de chaleur Q dans le trajet aby et lui en enlever une quantité Qi dans le trajet cd; la valeur de Qi surpasse celle de Q de la quantité de chaleur AF qui équivaut au travail extérieur dépensé. Dans le parcours inverse, il faut fournir la quantité de chaleur Qi dans le trajet dc^ et enlever dans le trajet ba la quantité de chaleur Q ; la différence Qi — Q représente alors la quantité de chaleur transformée en travail.

Dans ce qui précède, nous n'avons point fait d'hypothèse sur le mode de communication ou de soustraction de la chaleur. Le cas ordinaire est celui où le corps considéré est en contact avec un second corps, et où la chaleur se propage de l'un à l'autre.

L'étude du cycle simple ne perd rien de sa généralité, si nous supposons que le corps sur lequel on opère, et que nous appellerons dorénavant le corps intermédiaire y soit mis en contact avec d'autres corps qui lui cèdent ou lui enlèvent de la chaleur.

Supposons donc, en reprenant le cycle d'opérations indiqué par la^g*. 5, que le corps intermédiaire soit en contact avec un corps K, qui lui cède la quantité de chaleur Q, suivant le chemin ab de la courbe R, ou qui lui enlève cette même quantité quand le trajet est inverse.

Nous devons, il est vrai, attribuer au corps K des propriétés spéciales; il doit fournir ou Jibsorber peu à peu la quantité de chaleur Q, de telle sorte que la variation de pression corresponde exactement à la courbe R. Pour indiquer que le corps jouit de cette propriété, nous l'appellerons corps à l'état R; on peut dire brièvement que sur la portion de courbe ab le corps K à l'état R fournit au corps intermédiaire la quantité de

chaleur Q, ou qu'il lui enlève cette même quantité de chaleur, quand cette portion de courbe est parcourue dans le sens opposé.

On peut concevoir de même que la chaleur Q,, mise enjeu sur le chemin crf, provienne de ce que, pendant le trajet, le corps intermédiaire est en contact avec le corps K, à Vétat R„ lequel absorbe cette chaleur, ou la fournit quand le chemin c(/ est parcouru dans une direction opposée.

Par l'introduction de deux corps auxiliaires possédant les propriétés indiquées, le cycle simple de la Jig. 5 représente Taciion mutuelle de trois corps.

Si le corps intermédiaire parcourt le contour de Taire abcd dans le sens de la flèche intérieure, le travail extérieur F est dépensé, la quantité de chaleur Q est enlevée au corps Kà rétat R, et la quantité Qi est fournie au corps K, à Tétat Rt ; la valeur de Qi surpasse celle de Q d'une quantité équivalente au travail F qui a été transformé en chaleur. Le corps intermédiaire est revenu exactement à son état initiai; cependant les cii^^onstances ne sont pas tout à fait les mêmes qu'au commencement de l'opération, parce que le corps K a perdu la quantité de chaleur Q, et que le corps K, a gagné la quantité de chaleur Qi ; ce transport de chaleur correspond ainsi à une dépense de travail.

Si l'opération s'effectue ensuite en sens inverse, on enlève au corps K, la quantité de chaleur Q,, et on fournit au corps K la quantité de chaleur Q ; mais en même temps on reproduit le travail F. Les trois corps slir lesquels on a expérimenté sont alors revenus à leurs états initiaux, et dans la double opération il n'y a ni perte ni gain de travail, comme on devait s'y attendre d'après les principes de la Mécanique.

Nous n'avons introduit dans nos raisonnements les deux corps auxiliaires que passagèrement, et seulement dans le but de pouvoir ciler des notes historiques sur l'emploi des cycles.

L'introduction du cycle fermé dans l'élude de la chaleur est due à Carnoi; Clapeyrori l'a soumis après lui à des considéralions analytiques. Mais ces deux auteurs, ainsi que lous ceux qui ont écrit jusqu'à présent sur la théorie mécanique de la

chaleur, font dès le principe certaines hypothèses, relativement aux courbes R et Ri [fig* 5), en introduisant dans le calcul la température, et en supposant que ces courbes représentent les relations qui existent entre la pression et le volume, lorsque le corps intermédiaire est maintenu à une température constante pendant la durée des trajets ab et cd. Dans les équations données plus haut, à savoir :

R = F(/ii i'j^rconst.,

R, == F (/^, i' ) = const.,

R représente alors la température du corps dans le trajet ab, et Ri sa température dans le trajet cd. Suivant l'usage adopté, nous remplacerons passagèrement le$ lettres R et Ri par les lettres /et /i. Les deux corps auxiliaires K et K, sont alors des corps qui jouissent de la propriété de pouvoir maintenir par leur contact le corps intermédiaire à des températures constantes t et /,. On peut réaliser de pareils corps; on n'a qu'à attribuer aux deux corps K et K, respectivenient les températures t et /i, et des dimensions extrêmement considérables par rapporta celles du corps intermédiaire, de telle sorte qu'ils n'éprouvent qu'un changement de température inappréciable, en donnant ou prenant de la chaleur à ce corps.

Dans cette hypothèse, on peut décrire le cycle simple comme Ta fait Carnot. Les courbes A et ki(fig. 5) étant toujours des lignes adiabatiques, et le corps parcourant le contour de l'aire F dans la direction de la flèche, le corps K à la température t perdra la quantité de chaleur Q, et le corps K, à la température tx recevra la quantité de chaleur Q,, tandis que le travail F sera dépensé. Comme tx > /, de la chaleur aura été portée au moyen d'une dépense de travail d'un corps à un autre dont la température est supérieure à celle du premier, et dans celle opération il y aura eu contact entre des corps à la même température (ou mieux entre des corps dont les températures différaient infiniment peu).

Dans l'opération inverse, il y a de même transport de chaleur d'un corps K, à un corps K, dont la température est moindre, et production d'une quantité équivalente de travail F.

Ces considérations conduisirent Carnot au principe suivant : Au transport d'une quantité donnée de chaleur d*un corps K, à un autre corps K dont la température est moindre, équivaut la production d'une quantité déterminée de travail, lorsque l'état du corps intermédiaire ne subit pas de changements permanents, La quantité de chaleur re$te constante pendant l'opération.

C'est sur ce principe que reposent les calculs de Clapeyron. Mais sous cette forme 11 ne s'accorde pas avec le principe de réquivalence de la chaleur et du travail. M. Clausius a fait remarquer le premier qu'il faut rejeter le dernier passage : la quantité de chaleur reste constante, Carnot ainsi que Clapeyron voulaient dire, avec la notation employée ci-dessus, que la quantité de chaleur Q,, enlevée dans le trajet adcba autour de Taire F au corps Kt qui est à la température supérieurej est égale à la quantité de chaleur Q fournie dans le trajet ba au corps K qui est à la température inférieure.

On admettait ïiinsi que dans cette opération la production du travail F avait sa cause dans le passage de la quantité de chaleur Q d*une température supérieure à une température inférieure; le travail produit devait alors, d'après Carnot et Clapeyron, être proportionnel à la quantité de chaleur transportée.

D'après le principe fondamental de la théorie mécanique de la chaleur, qui admet la coexistence d'une production de travail et d'une disparition de chaleur qui correspond à ce travail, on ne peut avoir l'égalité Q = Q,; la relation qui a lieu pour le cycle simple, et que M. Clausius a donnée le premier, est, comme nous l'avons fait voir,

Le principe de l'équivalence de la chaleur et du travail n'était pas encore connu du temps de Carnot et de Clapeyron; il faut néanmoins comprendre leurs travaux dans ceux qui sont relatifs à la théorie mécanique de la chaleur, car le principe de Carnot est considéré encore aujourd'hui comme vrai ; il faut seulement remplacer la dernière partie de sa proposition : la

quantité de chaleur reste constante pendant l'opération^ par la phrase suivante : dans cette opération , il y a disparition d'une quantité de chaleur proportionnelle au travail produit.

Devant revenir plus lard sur cette question, nous remarquerons seulement que les résultats des calculs de Clapeyron sont pour la plupart regardés encore aujourd'hui €omme exacts, et que c'est à cet auteur que nous devons la deuxième équation fondamentale de la théorie mécanique de la chaleur.

La modiRcatîon introduite dans renoncé du principe de Carnot pour le mettre d'accord avec le principe de Féquivalence de la chaleur et du travail conduisit ensuite M. Clausius à notre première équation fondamentale.