AT X,(T-T,)+X,(T,— T

Kn faisant >, = o et X, = o dans les équations { i63 ) et ( 164

us retombons respectivement sur les équations [i45)

16), qui sont relatives aux cas particuliers examinés pli

ul.

Si M est le nombre de kilogrammes d'air qui travaillent dai

machine, on a, d'après l'équation (i63), pour le travail p

lorsque 1, et l, sont supposés tous les deux positifs, 1

l8 DEUXIËME SECTION. DES GAZ PSRIIANKIITS.

ira T>T, elTi>T; par suite T. représeniera la plus petite 1 Ti la plus forte température. Si ces valeurs de T sont délerlinées d'avance, comme cela a lieu dans la pratique, il faut ficore choisir la température intermédiaire T de telle sorte, ae celte dernière valeur de L soit un maximum. Mais la formule f i65) peut encore s'écrire

i alors la parenthèse sera un maximum pour

T = ^ïvr;.

n vertu de l'équation ( 162 ), on a aussi

ême résultat que plus haut. On conclut de la que la valeur plus avantageuse des températures intermédiaires T et Tj ■<l indépendante de la loi des courbes qui> dans la^^. 3i, liitent la surface abcd, pourvu toutefois que chaque couple tisfasse à l'équation

p^v" ^const.,

ms laquelle m et n diffèrent l'un de l'autre. La substitution :s valeurs de T et de T| dans l'expression du travail L donne valeur du travail maximum L„; ona ainsi

Les équations précédentes constituent pour moi les équa- )ns fondamentales des machines à air; elles peuvent s'appliler à un nombre infmi de systèmes différents. Pour un sysme déterminé, il suffit de calculer les valeurs de Xi et ïi irrespondant aux deux couples de courbes qui limitent la rface abcd. Pour les systèmes proposés jusqu'ici on a, il est ai, Xi = o, et les cas les plus importants de ces systèmes it été traités plus haut; néanmoins, on peut imaginer des achines à air dans lesquelles, a cause de leur construction

TBBOBIB DES MACBIKBS tRBIIIIIQtlIS. 2I<

iriicuiière, >., soit diiïéreni de zéro, c'esi-à-dire dans les ■elles les deux courbes ab et cd ne soient pas des ligne iabaliques.

Supposons par exemple que le changement d'élai du gaz s îse suivant les trajets ab et cd sous un volume constant, e ivant les trajets bc et da sous une pression constante ; alor ■=^c et?„ = /fc en vertu de l'équation (i4o)> et dans ce cas i iidrait faire

ns les formules précédentes. La surface abcd serait alor

le surface rectangulaire.

Pour les applications on transformerait les équations (i65

(167) en exprimant le travail de la machine en che

ux (N), et en introduisant le nombre de tours (,u) fait

ms une minute, c'est-à-dire on y remplacerait I. et L-; pa

N I X 73 — ^ le poids M de la quantité d'air qui travaille dar

machine serait, comme plus baul, exprimé en fonction d ,p, et T, à l'aide de la relation

li correspondà l'état initial a [Jig. 3i]; pour les autres état

nites b, c et d, on déterminerait facilement le volume el I

■ession au moyen de l'équation (i53), les températures étai

mnues.

Le problème étant très-facile à résoudre, nous nous disper

ms de donner des exemples numériques.

Si les machinesà airacquéraient réellement de l'important

ms l'industrie, on aurait maintenant, pour une cerlair

asse au moins, des équations fondamentales propres à li

mmetire au calcul.

a ORUXIÉME SECTION. — DBS GAZ PSIKâHEHTK.

XII. — Du travail disponible et du rendement des machines thermiques.

On appelle rendement d'une machine le rapport du travai ile au travail disponible, c'est-à-dire au travail mis pendan même temps à noire disposition par le moyen de la maine. Ce rapport est évidemment toujours une Traction; plu- Ue fraction se rapprochera de l'uniié, plus la machine sen rfaite.

^ous avons cherché plus haut les formules relatives ai cul de l'effet des machines thermiques, en faisant ahstracn, il est vrai, des pênes de chaleur et d'air, mais en dislinant les différentes espèces de cycles qui correspondent au) ers systèmes.

"ommenl peut-on déterminer en général le,travail disponible is une machine à air? Le premier moyen qui se présente à iprit consiste à exprimer en travail la chaleur totale Q qu'on irnil à la machine par seconde, c'esi-à-dire à calculer la

chine devrait utiliser la plus grande partie possible de ce vail.

riais on peut partir aussi d'un autre point de vue. Nous proisons la chaleur que nous envoyons a une machine à air brûlant du combustible dans le foyer, et nous connaissons chaleur de~ combustion des divers combustibles, c'est-àe la quantité de chaleur produite par la combustion de l'ué de poids du combustible employé; nous pouvons donc )rimer en travail la quantité de chaleur que la combustion is le foyer rend libre dans une seconde et considérer ce vail comme disponible, comme susceptible d'être réellent rendu utile dans la pratique; on jugerait d'après ce tra- I la valeur des machines thermiques dans lesquelles on peul «prendre par extension les machines à vapeur, Quelques auteurs, et, si je ne me trompe, M. Rcdienbachei premier, ont choisi ce dernier mode pour déterminer le

■ BNDBKEKT DES MAGBINBB THERMIQUES. 32

avait disponible; ils sont arrivés par ce moyen à un résulta ;u rassurant, en concluant que nos machines a vapeur ac elles et les machines à air dilaté se présentent à nous, a )inl de vue mécanique, comme les plus imparfaites de loote s machines motrices; car ils ont trouvé pour les machines ipeurun rendement de o,o4 à o,o6('),elpourles meilleure achînes de ce genre un rendement maximum de 0,07. Dans les meilleures roues hydrauliques et turbines ce ren sment s'élève, comme on sait, jusqu'à 0,80; la comparaiso ! ces machines avec les machines à vapeur montrerait aini l'on emploie le combustible dans ces dernières d'une mi ère impardonnable. C'est à cause de cela que les homme li s'occupent de mécanique éprouvent de la répugnance liter la question du rendement des machines à vapeur, d is machines qui ont si puissamment contribué aux progré ! notre époque; aussi M. Kedtenbacher a-t-il dit, dans plu eurs de ses écrits, que les améliorations nouvelles iniro lites dans la construction des machines à vapeurnesauraier quérir une grande importance tant que l'on n'aurait pas dé luvcrt une nouvelle manière d'utiliser la vapeur et la chaleu 1 général.

Ces jugements reposent heureusement sur des suppositior exactesetsoni les conséquences d'une détermina tion/rtusj 1 travail mis à notre disposition par la chaleur qui provier i la combustion des corps employés. Je démontrerai dar ; qui suit que les machines thermiques (comprenant l( achines à vapeur) sont des machines beaucoup plus parfaite l'on ne l'a cru jusqu'à présent.

Considérer dans une machine à feu la quantité de chalei Con lui fournit exprimée en travail comme le travail dispc ble reviendrait, comme je le montrerai, à déterminer letr ijl disponible pour une roue hydraulique ou pour une turbin 1 multipliant le poids de la quantité d'eau qui tombe dar

(') Sedtenbacber, i>erJtfiucA(ncni^aii;H»niihcim, ig61, t. Il, p. Syi. L'auWi Icjô rendu un jugement lembleble dans la première édition de ci^t ouvrae

DEUXIËne SECTIO>. DES GAE FEMUnEKTS.

seconde, non pas par la hauteur de chute mesurée d u supérieur au niveau inférieur, mais par la kauleii lée à partir du niveau supérieur jusqu'au niveau de l

utre part, prendre pour le travail disponible toute la cha ivaluée en travail qui est mise en liberté dans le foyer di chine, c'est agir de la même manière que si l'on comptai jne roue hydraulique la hauteur de chute disponible di u de la SOURCE du cours d'eau au niveau de la mer! surer d'une telle manière le travail disponible donnerai ellement un rendement extrêmement petit, même pou illeure roue hydraulique. Est-il possible d'attribuer ci Lat à une mauvaise construction de la roue hydrauliqm m mauvais emploi de la force que donne l'eau? oique cela puisse paraître étrange, on est justement tombi une semblable erreur, lorsqu'on a voulu apprécier le iiiesà vapeur,

comparaison n'est nullement superHcielle, car je m< ai pour calculer le travail disponible des machines ther es de la formule même que l'on emploie dans le calcu laehines hydrauliques. Dans l'un et l'autre cas le travai sure par le produit d'un certain poids par une certaim

^st, sans nul doute, très-important de démontrer mathéfuemenl que les machines à air chaud et à vapeur utiliseni ylus que S pour loo du travail disponible, et d'établir li ; que nous pouvons atteindre dans le perfectionncmeni

machine à vapeur, afm que nous ne poursuivions pas ilôme et que nos efforts ne soient pas illusoires. lenons au cycle qui nous a servi de base pour les rehessur les machines thermiques (p. 200). iposons que l'unité de poids du gaz soit caractérisée dans a{Jig. 32) par le volume f,, la pression p, et la tempé- : Ti ; menons les courbes adiabatiques ab et cd et \es courbes bc et ad qui obéissent à la loi f/"v":= const. ht

parcouru dans la machine le cycle abcd; sur le trajei a fourni la quantité de chaleur Q, et sur le trajet ^a on

BBKDKMBNI DES HACHINE8 THEBHIQUBS. 2i:

Fourni la quaniité de chaleur Q,. Soieni T, la plus basse ei T

plus haute lempérature du cycle, T elTj les température! termédiaîres qui sont liées par la relation (i44)> luand Ti e . sont déterminées d'avance; autrement une de ces valeur t arbitraire, Tpar exemple, ou en d'autres termes, nous pou ins choisir arbitrairement les deux courbes 6c et ot/. Le travail L, gagné dans ce cycle, est donné par l'équa jn (i45).

Lorsque la quantité de chaleur Q çst donnée d'avance (ains je T, et- T,), on choisira évidemment l'opération de telT irte que le travail sôit maximum, et on disposera pour cel }s températures intermédiaires T et T,.

L'équation {i45) peut s'écrire

, l'on voit que le travail maximum que l'on peut gagner ave quantité de chaleur Q correspond au maximum de T, c'esi dire à T^= T,. On a dans ce cas Tj^T,, et le maximum ah )lu du travail que nous désignons par L. est par conséquen

Ce travail est précisément le travail disponible de la machin

334 DBUSJËIIB SECTION. — DES GAI PEUIANENTS.

thermique; comme nous sommes limités dans la praiiq pour les tempéralures T, et T, ( nous avons plus haut fixé • limites à /,= o et(i= Soo", c'est-à-dire T, = 273'" ei T,=5;; la valeur du travail qu'on peut retirer en employant la c leur Q, c'esl-à-dire celle de L. donnée par l'équation (168), alus grande qu'on puisse atteindre.

Nous voj'ons ainsi que nous pourrions atteindre ce tra^ Lotal (nous faisons abstraction des pertes d'air et de chale Bt des résislances passives }, en faisant T = T, et Tj =^ T,, c't >-dire lorsque les deux courbes bc et ad sont des courl isothermiques; il faudrait pour cela fournir de la chaleur : le trajet 'M^ en maintenant le gaz à la température constai [naxima T„ et en retirer sur le trajet da, en conservant la te pérature minima T,. Le cas exceptionnel où m =: n cond oar conséquent au maximum absolu du travail.

Maislorsque les courbes 6c état/ suivent la loi/»"i^=:coni ;e qui a lieu pour les machines à air chaud construites ji ]u'ici, le travail fourni par la machine est toujours ntoinc que celui que donne l'équalion (168). Le travail correspc lant à une température iniermédiaire quelconque Test don par l'équation [i^5), et le travail maximum de cette machi Bst exprimé par l'équation (149 )■

En divisant chacune de ces formules par la formule (16 )n trouve, pour le rendement v de ta machine correspond: i une température intermédiaire T :

■69) "=r,T.-TV

:t pour le rendement maximum :

i/T, + VTi

>s formules s'appliquent à toutes les machines à feu, quel lue soient les valeurs de m, n, X relatives a la loi des court ic et ad ( le cas m = n excepté ), En prenant toujours les limites extrêmes Tj := 673

RBNDEHENT DES MACHINES TBERJIIQItES. 323

= 273, on trouve

7,„, = o,59io(*]; lis avec celte valeur i) Taut prendre pour la température inrmédiaire, d'après l'équaiion (i^^),

T = T, = 395,51, 1 bien

3i cette température intermédiaire éiait seulement 1 = 333,96 I / = 6o,çj^{voyez p. 'ii^), on aurait, d'après réquation [199), lur le rendement

Le travail disponible est (168)

Ces nombres montreni que les systèmes de machines à feu iployés jusqu'ici peuvent déjà utiliser la chaleur d'une maère assez satisfaisante, mais il importe que tout le cycle it disposé de manière que les températures intermédiaires T ennenl les valeurs qui permettent d'atteindre le rendement aximum.

Nous pouvons encore conclure de ce qui précède que le ul mojen d'augmenter le rend,emeni de ces machines est de ndre plus grande la différence entre les températures limites et T,; admettant par exemple que nous puissions prendre lur la limite supérieure de la température (j := 5oo", au lieu

*) M. Hirn a, le premier, délerminé le rcndemenl maxinium des machines eu d'après des principes eiacU ( Théorie mécanique de la chaleur, p. 388) ; il lit le calcul Je ce rendement spécialement pour le système Siirling ci çout

nts dilTérents pour ces deux machines. Il n'a donc pu reconnaître qne le

A. Cazin a déterminé un peu plus tard ( Théorie élémemaire des machines à chaud. Paria, Gautliier-Villars, iSCJ). par une méthode graphique, le renneiit maiimum de Uifférenl» systèmes de machines ii l'eu. Cette voie, qui lu ait Taire un grand détour, n'a pu le conduire à noti'e loi- 4oB formules sont tellement simples, que nous les croyons préférables à tu thode de M. Cazin.

t6 DBUXifcaE SECTION. — DBS GAZ PEBHANENTB.

ï 3oo"; en conservant pour la limite inférieute T, ^2^3, adrail faire dans l'équaiion (170) T, = 773, el le' rendemer aximum théorique serait alors

V773 + V'*?^ I obtiendrait dans ce cas une augmentation qui, il est vra rait relativement peu considérable.

Les rendements donnés ne sont encore qae théoriques urs valeurs réelles seraient beaucoup plus petites; car non ! parviendrons jamais a réaliser exactement les cycles si squels sont basés nos calculs ; jamais nous ne pourrons, e jtre, faire disparaître les pertes d'air et de chaleur. Les considérations précédentes pourraient nous faire con lire, que dans tous les cas les machines à feu utilisent moîn en le travail qui peut provenir de la chaleur, que les roue idrauliques qui utilisent le travail disponible dans une chut eau. Mais cette conclusion ne serait pas juste; car il faut n arquer que, malgré toute la généralité de mes développ» enls, lesquels s'appliquent à une machine thermique quel inque, les formules que j'ai obtenues et notamment la formul 70), qui fait apprécier le degré de perfection de la machine uffrent une certaine restriction. Les courbes bc et ad [Jig. Sa 1 cycle d'une machine fermée étaient assujetties à la loi

p'v"^ consi., [uation dans laquelle m et n étaient des constantes arbi lires, le cas m = n étant seul excepté. Dans ces circon ïnces, la variation de la température du gaz sur le trajet con iéré est directement proportionnelle à la chaleur qui lui é fournie ou soustraite. Les résultats des calculs précédent nt vrais dans cette hypothèse, qui est vérifiée pour les ma lines à feu fermées proposées jusqu'ici. Quand nous trouvons pour le rendement maximum d'un ireille machine, en prenant les températures limites gêne lement adoptées, le nombre 0,3910, qui parait trop petit, i s faut donc pas en rejeter la faute sur les machines à feu ei •néral, mais bien sur les systèmes pour lesquels nous avon

BBnDEHENT BE8 WACHINBS THERMIQDES. 227

it les calculs, c'est-à-dire sur les sjslèmes employés jusqu'à ésent, et notamment sur le système Ericsson (ancienne achine). De pareilles machines sont à rejeter en principe; ur défaut vient de ce que les courbes bc et ad sont souises à la loi p"i'"= const.

On ne peut arriver à perfectionner les machines à feu que l'on cesse de faire suivre aux changements de l'air, sur les ijels bc et ad, la loi p" 1/'^= const. ; il ne faut donc pas que 5 changements aient lieu sous un volume constant (Stirling) 1 sous une pression constante (Ericsson). Mais à quelle loi faut-il alors soumettre les deux courbes bc adt La réponse à cette question est ijéjà contenue dans ce li précède; car lecas exceptionnel oii m^/t correspond écisémentau seul système de machine à feu que l'on puisse commander. Dans noire cycle, nous devons donc choisir lur bc et ad des lignes îsothermiques; c'est-à-dire l'inlroducin de la chaleur sur le trajet bc doit se faire à la température nstante (maxima) T,, et sur le trajet da il faut retirer de la aleur à la. température constante (minima) T|. En effet, si ns l'équation {i6g) nous faisons Ï=:Tï et T,=:Tj, nous rons pour le rendement maximum théorique

>] = 1, li est la limite supérieure que l'on puisse atteindre; une paille machine utiliserait tout le travail disponible. On comend qu'on ne peut construire une pareille machine pas plus 'on ne peut construire un moteur hydraulique qui utilise iite la force disponible de l'eau; mais on connaît au moins but vers lequel il faut tendre.

Disons, pour résumer, qu'en principe les machines tker- ■ques dans lesquelles les deux courbes ab el cd du cycle ig. Sa ) sont des courbes adiabatiques el les courbes bc et aii s lignes iso thermiques sont les seules bonnes ('}. Toute

* ) On peut déjà remarquer ic:i que nos machînea h vapeur sont, en réalité, i machines k feu du système le plus avantageux; je reviendrai sur ce poini IH les recherches sur les vapeurs. Nous y trouvons, en effet, le ejcle que us avons reconnu comme le plus parfait-

rbe d'une autre nature donne déjà théoriquement un rei

lent moindre.

'renons une machine à feu du système le plus parfait pou

)pliquer les équations générales établies plus haut, en le

Itanl sous la forme qui convient à la pratique.

,e travail d'une telle machine pour un tour serait donn

l'équaiion (168), qui donne, lorsqu'on j introduit la quai

de chaleur qu'il faut soustraire au gaz dans le trajet da,

remarquant qu'on a ici, d'après la relation [i^ï'),

lésignons les volumes spécifiques correspondant aux quati ,s limites a, b, c, (/par c„ v, y, et v,; la quantité de chalei ) soustraire dans le trajet da à la température constante T pendant la compression qui fait passer de Cj à f,, peut s' e, d'après l'équation (^4)> p- '21,

Q, = Ap, V, log nép —1

bien encore, avec la relation RT,=:pi f,,

Q, = ART, lognép — ■

substituant cette valeur de Q,, dans l'équation qui donr on obtient

L,= R(T,— T,)lognép-,

nule qui se rapporte à l'unité- de poids de l'air. Si l'on ;rnié M kilogrammes dans la machine et si V,, V, Vi et ^ igneni les volumes qui correspondent aux quatre étals I es, on trouve, pour le travail de la machine par tour,

= RM(T,-TJIognépy^-

RENDESEMT DES MACHINES THGIIHIQUES.

Appelons encore p, p„ p, et p, les pressions relatives ualre états limites a, h, c, d; les pressions maxima et mii endant le cycle seront alors/?) et />, tandis que Vj sera li lus grand et V le plus petit volume.

Le poids de l'air se détermine par la relation

■ RT, '

^nt la substitution, dans l'équation précédente, donne