V -r- a = Xi{s — a

Quand on a tracé la courbe-limite DD, il est facile de construire la courbe relative à toute autre quantité de vapeur ^i<i; les abscisses qui correspondent à une même pression sont entre elles dans un rapport constant qui a pour expression, d'après notre figure,

Lorsque la quantité de vapeur ;c, ne diffère pas beaucoup de Tunité, on peut négliger dans les formules précédentes la quantité o- qui est alors très-petite, et écrire

Xx = -•

LIGNES ISOTHERMIQUES ET ISODTNABfIQUES. 3oi

Quand la courbe-limite peut être représentée par Téquation

comme cela nous paraît très-probable, au moins pour la vapeur d'eau, nous pouvons trouver aussi sans difficulté Téqua-^ lion de la courbe qui correspond à la quantité de vapeur constante Xi ; multiplions les deux membres de la dernière équation par x^, il viendra

p[xisy=zpi{XiSiy ou bien pt^" = /?,(/«.

Nous avons trouvé pour la vapeur d'eau n=: 1,0646 (p. 286), les courbes de quantités de vapeur constantes forment par conséquent une série de courbes pour chacune desquelles la constante p\ v^ peut se déterminer à Taide de la quantité de Tapeur donnée Xi et de la pression initiale pi. Quoique la coïncidence des résultats de cette formule avec ceux qu'on déduit des déterminations exactes soit presque parfaite, au moins pour la vapeur d'eau, nous ne l'emploierons plus dans la suite, parce qu'elle doit être considérée comme une simple forinule empirique.

Dans ce qui précède, nous avons montré que l'on peut se servir de nos Tables pour tracer exactement les courbes isodynamiques et les courbes d'une quantité de vapeur constante de diverses substances; il se présente encore plusieurs autres questions.

Ainsi on peut se demander quelle quantité de chaleur il faut fournir ou soustraire au mélange, quel travail extérieur on gagne ou on dépense, lorsque le changement d'état se fait suivant une courbe isodynamique, c'est-à-dire quand le travail intérieur reste constant.

Comme rfU = o, l'équation fondamentale

dQ=:k(d\i-^pdv)

donne ici

rfQ = kpdv.

On conclut de là que, dans le cas de l'expansion, toute la chaleur fournie est transformée en travail extérieur et qu'inverse-

ment dans la compression il faut soustraire toute la chaleur qui correspond au travail dépensé. Il suffit donc de trouver le travail extérieur L puisque la chaleur Q = AL sera alors déterminée.

. Or nous avons

dv = d(xu -h (j) = d{xu), et, par suite,

dL = pd{xu).

Cette équation peut s'écrire

dL = d(xpu) -^ xudp.

En remplaçant le facteur udp par sa valeur tirée de l'équation (212), que Ton multiplie et divise en même temps par p, on obtient

(a34) dL = d(xpu) — xp j—^ dt.

Le premier terme du second membre est intégrable ; on peut de même supposer que l'intégration du second terme soii faite après qu'on a remplacé xp par sa valeur donnée par l'équation (233), à condition cependant qu'on ait d'abord mis à la

place des fonctions de la température -r— 7= et -7—;=^ q des for-

Api Api

mules empiriques plus simples.

Nous ne poursuivrons pas plus loin ce problème, parce que nous ne nous servirons pas dans la suite des résultats auxquels il conduirait.

Lorsqu'on considère un changement du mélange de vapeur et de liquide tel, que les quantités de vapeur restent constantes, on arrive à des conclusions plus importantes.

Supposons que la quantité de vapeur x = Xx=i const., alors on trouvera d'après l'équation (220) pour la variation du travail intérieur mesurée en unités de chaleur

(235) AdH ^ dq -h Xidp,

et, par suite, si Ton suppose que g et p soient donnés en fonc-

LIGNES ISOTHBRMIQUES ET ISODTNÀHIQUES. 3o3

lion de la température /,

dt dt ^ dt

Quand la tempérarure s'élève, c'est-à-dire quand il y a compression, on a toujours une augmentation du travail intérieur; car la valeur du second membre est positive pour les différentes vapeurs que nous pouvons soumettre au calcul même avec le maximum de la quantité de vapeur, c'est-à-dire avec :r, = i.

L'intégration donne d'ailleurs

La quantité de chaleur qu'il faut fournir ou soustraire au mélange pour que le changement d'état se fasse avec une quantité de vapeur constante ^=^,, se trouve au moyen de l'équation (228) quand on y fait rf^ = o; on a alors

(236) d(i = {i — Xx)cdt-^x,hdt.

Le premier terme du second membre, dans lequel nous pouvons remplacer cdt par dq^ donne la quantité de chaleur qu'exige le liquide du mélange, tandis que le second terme représente la quantité de chaleur qu'exige le poids x^ de vapeur pour que la température s'élève de dt\ il faut par conséquent fournir à l'unité de poids de vapeur hdt unités de chaleur pour que la vapeur reste saturée à la température t -+- dt. La quantité A, qui a été introduite par M. Clausius, joue le rôle d'une chaleur spécifique: c'est la chaleur spéci^ fique de la vapeur saturée quand la quantité de t)apeur reste constante; sa valeur est

A dr r

elle se présente comme une fonction de la température, que l'on peut trouver pour différentes vapeurs, puisque les expériences de M. Regnault nous donnent les valeurs de r et de

c = -7j en fonction de la température.

3o4 TROISIÈME SECTION. — DES TAPEURS.

En introduisant la chaleur totale X à Taide de Téquation X = ç -f- r, on peut écrire :

Appliquons les considérations à la vapeur d*eau. En nous servant des formules de la page aSg, nous trouvons

/ oov » o ^' 606,5 — 0,605^ — 0,00002/^ — o,oooooo3/'

Cette équation permet de conclure que les valeurs de A sont négatives pour les températures auxquelles les formules empiriques de M. Regnault sont applicables; on trouve, en effet, aux températures o, 100 et 200 degrés, respectivement

A = — 1,9166, — 1,1 333 et — 0,6766.

Le premier terme du second membre de Téquation (236) représente la quantité de chaleur qu'il faut fournir à la masse liquide (i — :r,) pendant l'élévation de température rf^ c'està-dire pendant la compression; mais la quantité de vapeur Xx exige qu'on enlève de la chaleur si elle doit rester constante. Inversement, pendant l'expansion du mélange, il faut enlever au liquide de la chaleur et en fournir à la vapeur lorsque la quantité de vapeur reste constante.

Supposons qu'il y ait au commencement de la vapeur saturée et sèche, c'est-à-dire qu'on ait^, = i,ou, en d'autres termes, que l'expansion se fasse suivant la courbe limite DD (^g". 33) : la quantité de chaleur qu'il fautfournir sera, d'après l'équation (236j,

(239) Q=f*hdt,

où ti et ti désignent les températures initiale et finale; cette expression conduit à une valeur positive pour l'expansion parce qu'on a fj< ^. Si donc on ne fournissait point de chaleur pendant l'expansion, la vapeur se condenserait, au moins quand il s'agit de la vapeur d'eau.

LIGNES ISOTHERMIQUES ET ISODYNAMIQUES. 3o5

Celle propriété remarquable de la vapeur a été découverte par MM. Clausius et Rankine; les expériences de M. Hirn ont, depuis, mis hors de doute l'exactitude de ce résultat du calcul; il est aussi confirmé par mes observations sur Técoulemenl de la vapeur d*eau saturée, sur lesquelles je reviendrai plus lard.

Cette découverte constitue sans contredit un des résultats les plus remarquables auxquels ait conduit la théorie mécanique de la chaleur, car elle démontre que l'hypothèse sur laquelle de Pambour a basé sa théorie des machines à vapeur est inadmissible. De Pambour suppose, comme on sait, que la vapeur reste saturée pendant l'expansion dans le cylindre d'une machine à vapeur, et quil n'y a point de condensation malgré la diminution de la température et de la pression, 11 admet que les variations de la pression ont lieu suivant la courbe DD de l^ijig. 33; maisxîetle supposition est inadmissible, d'après ce qui précède. Nous avons montré, en effet, qu'il doit y avoir introduction de chaleur pendant l'expansion pour que la quantité de vapeur reste constante, mais comme il n'y a pas de chaleur introduite à travers les parois du cylindre, la vapeur se condensera pendant l'expansion; la vapeur reste bien saturée, mais la quantité de vapeur ne reste pas constante, comme le prétend de Pambour : elle diminue. La vapeur sèche et saturée se surchaufferait, au contraire, pendant la compression, si on ne lui enlevait pas la quantité de chaleur déterminée par l'équation (238).

De Pambour suppose encore, dans ses calculs, que la vapeur saturée suit les lois de Mariette et de Gay-Lussac, et il se sert par conséquent de la formule de Navier y = ex-h ^p pour calculer la densité de la vapeur. Mais nous avons fait remarqué (p. 281) que la théorie mécanique de la chaleur ne peut pas admettre cette seconde hypothèse. 11 est donc temps que l'ancienne théorie des machines à vapeur soit remplacée par une nouvelle; nous reviendrons sur cette question.

Les formules (235) et (236) donnent respectivement la variation du travail intérfeur rfU, et la quantité de chaleur à fournir rfQ. Quant au travail extérieur dL qu'on dépense dans IL 20

3o6 TROISIÈME SECTION. — DES TAPEURS.

la compression, ou qu'on gagne dans Texpansion, la quantiié de vapeur Xi restant constante, il se déduit de Téquaiion fondamentale

rfQ==AdU-+-ArfL,

qui donne, en vertu des formules précédentes, (240) AdL^= Xi{hdt — dq — dp).

Le travail extérieur mesuré en unités de chaleur est donc proportionnel à la quantité de vapeur Xi, ce qu'on devait prévoir, puisque la quantité constante de liquide qui se trouve avec la vapeur ne participe pas au changement de volume. Pour faciliter la résolution de certains problèmes relatifs à ce genre de recherches, j*ai calculé exactement, pour la vapeur d'eau et à

diverses pressions, les valeurs de l'intégrale — / hdt, et je

Jo

ai inscrites dans la colonne 3 du tableau suivant (*); le calcul de cette intégrale se fait sans difficulté, à l'aide de l'équation (238).

Appliquons les formules précédentes à un exemple numérique. Supposons que l'unité de poids de la vapeur d'eau sèche et saturée soit renfermée dans un cylindre, à la pression de 5 atmosphères; on veut que celte vapeur se détende en produisant du travail, jusqu'à ce que la pression soit réduite à I atmosphère, et sans que la vapeur se surchauffe ou se condense partiellement. Il faut faire ^ = ^, = i dans les équations précédentes. L'équs^tion (236) donne alors la quantité de chaleur qu'il faut fournir à la vapeur; en désignant par tx et /jles

les

{*) Le tableau de la page 3o7 contient, outre les quantités dont nous Tenons de parler, d'autres quantités dont nous ferons usage dans la suite. Joint à la Table X de rAppendice, il est très-utile pour la solution de différents problèmes sur la vapeur d'eau. On pourrait calculer des tableaux auxiliaires analogues pour les autres Tapeurs, mais on n'en a pas eu besoin jusqu'ici. Lorsqu'une de ces vapeurs recevra des applications plus grandes, il sera toujoors facile de remplir la lacune à l'aide des indications du texte.