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et les pressions p pour les ordonnées d'une courbe DD, que nous avons appelée ligne d'une quantité de vapeur constante. Comme nous avons pris de la vapeur saturée, non mélangée avec du liquide, la courbe DD correspond à un kilogramme de vapeur.

Celle courbe est probablement représentée par Téquation

p^ = consl. ;

j'ai montré déjà à la page 286 que cette équation conduit, au moins pour la vapeur d'éau, à des valeurs du volume spécifique s et du poids spécifique y = j : s, qui coïncident d'une manière remarquable avec celles qu'on a trouvées par une autre méthode.

Je prends maintenant l'unité de poids du mélange de cette même vapeur avec son liquide; si elle contient x kilogrammes de vapeur, son volume v sera déterminé par l'équation (208), *^ 264, et ce volume sera toujours plus petit que s sous la

LIGNES ISOTHERMIQCES ET ISODTNAMIQUES. 2g5

même pression p. Lorsqu'on prend Ov=v pour abscisse et ça: = p pour ordonnée, le point x sera toujours situé dans l'espace compris entre la courbe DD et les axes,; toutes les fois que la courbe d'un changement quelconque sera hors de cet espace au delà de la ligne DD, elle correspondra à de la vapeur surchauffée. Mais alors les équations générales établies plus haut pour les mélanges de vapeur et de liquide cessent d'être applicables. Pour le moment nous supposerons que les vapeurs soient saturées; par conséquent la courbe DD ne doit pas être dépassée par la ligne qui représente le changement subi par le mélange.

Nous avons appelé courbe isothermique celle qui indique comment varie la pression avec le volume, quand la température t reste constante. Puisque la pression p ne dépend ici que de la température, la pression» sera aussi constante, et, par suite, la courbe isothermique d'un mélange de vapeur et de liquide est une ligne droite parallèle à l'axe des abscisses, L.a température étant constante, les quantités u, q, p et r qui en dépendent sont également constantes. Lorsque le volume Vi devient t' et que la quantité de vapeur Xi prend la valeur x, le travail extérieur produit est représenté par l'aire du rectangle Wi^i X [fig. 33); l'expression de ce travail est

L= / pdv=p[v^ V,),

ou bien, en vertu des relations (^ = ^m -i- (t et (^t = ^, w -f- o-,

(aSo) L=:pu{x — Xi),

La variation du travail intérieur se détermine au moyen de l'équation (220); elle devient, à cause de dq = o,

L.a quantité de chaleur qu'il faut fournir au mélange est, par suite,

Q=A(U — Ui-hL) = (pH-A/?M)(^ — *'•)»

OU bien, à cause de la relation (aoS),

(232) Q = r(x — Xi),

résultat qu'on aurait pu trouver directement par rintégralion de réqualion (227).

Si Ton avait continué la dilatation jusqu'à ce que tout le liquide se fût transformé en vapeur, le point c de la courbe DD aurait été relatif à l'état final, et il faudrait alors faire x = i dans les équations précédentes. Dans le cas où l'on voudrait continuer encore à augmenter le volume et à introduire de la chaleur à une température constante, la courbe isothermique changerait de forme et deviendrait une hyperbole équilalère passant par le point c (voyez p. 1 18), si l'on admet que les va- ^ peurs surchauffées se comportent exactement comme des gaz permanents.

Les équations précédentes sont évidemment vraies pour un mélange de vapeur et de liquide, lorsque la masse est comprimée et passe du volume (^ au volume Vi; alors la quantité de vapeur diminue de ^ à ^, (il y a condensation). L'équation (280) donne alors le travail de la compression, et l'équation (23i) la diminution du travail intérieur; enfin l'équation (282) fournit la quantité de chaleur qu'il faut enlever au mélange pendant ce changement.

Occupons-nous maintenant des lignes isodynamiques, qui représentent un changement d'état, pendant lequel le travail intérieur reste constant.

Il faut faire dU = o dans l'équation (220), et, par suite,

dq -+• d{a:p)=z o.

En appelant a:,, g, et pi les valeurs de x, q eip qui correspondent à la température initiale /i, l'intégration donnera

(233) q — qi'+'Xp — ^,p, = 0, Cette équation, jointe aux formules

ç ==xu-+-(r et </, = ^, « -h 0-,

résout la question proposée. Il est vrai qu'on n'obtient pas l'équation de la courbe sous la forme habituelle, de telle sorte

LIGNES ISOTHERMIQCES ET ISODTNÀMIQUES. 297

que Ton puisse déduire direclemeni du volume denné v la pression correspondante p ; mais on peut néanmoins tracer la courbe. En effet, si Ton donne pour l'état initial la quantité de vapeur ^, et la température /i, on connaît aussi la pression/?i et la quantité a,. On calcule le volume initial au moyen de l'équation çi=XiUi-{- a. Lorsqu'on suppose que le mé^ lange acquiert une autre pression p en suivant le trajet indiqué, on peut donc déterminer les quantités t, u, q ei p correspondant à cette pression; alors on calcule la quantité de vapeur a? par l'équation (233), et le volume relatif à la pression p au moyen de l'équation v=:xu -^ a.

Supposons qu'on ait i kilogramme d'un mélange d'eau et de sa vapeur, que la vapeur pèse ^r, = 0,80 et que la pression p, soit de 5 atmosphères; la Table X (de l'Appendice) donne pour cet état

g, = 1 53,741, pi=454>99 et M, = 0,3626. De là on tire pour le volume

Si le changement de volume suivant la courbe isodynamique avait continué jusqu'à ce que la pression fût réduite à i atmosphère, on aurait eu pour cette pression

q = ioo,5oo, p = 496,30 et u = i ,6494»

La quantité de vapeur x relative à l'état final serait d'après l'équation (233)

Pour le volume final on aurait

v=zxu-^ (7 = 1 ,3876, et pour le rapport de la détente

On voit qu'à la fin de l'expansion il y a un peu plus de va-

peur qu'au commencement; on en conclut qu'il y a vaporisation dans la dilatation de la vapeur d'eau suivant une ligne isodynamique> et qu'il y a inversement condensation de vapeur pendant la compression. Si l'on calculait de la même manière les valeurs de v correspondant à une série de valeurs différentes de p, on pourrait suivre facilement la ligne isodynamique passant par le point Xi {fig, 33] : son tracé est indiqué dans la figure par la courbe U^, U. Je n'ai pu parvenir à déduire des équations générales l'équation de cette courbe sous la forme /> = F(t'); mais en calculant une série d'exemples particuliers je me suis convaincu qu'on peut, au moins pour l'eau, déterminer avec une exactitude assez grande les différents points de la courbe isodynamique qui correspond à un certain état initial [px c, Xx) en se servant de la formule

pv- = pxv\\

l'exposant v, étant déterminé d'après un certain étal initial, reste à peu près constant. Ainsi pour la vapeur d'eau, en supposant que .r, =1, c'est-à-dire qu'il n'y ait au commencement que de la vapeur saturée, et qu'il se fasse ensuite une compression suivant la courbe isodynamique, on trouve une valeur moyenne de v égale à i,o456..Je n'ajoute pas d'autres indications pour le moment, parce que nous traiterons une question analogue en étudiant les lignes adiabatiques. Nous ne voulons pas aller ici plus loin que ne le permettent les for mules générales données plus haut.

Nous venons de voir que l'expansion suivant la ligne isodynamique d'un mélange d'eau et de vapeur est accompagnée d'une vaporisation. Il est facile d'établir une relation qui montre si d'autres vapeurs se comportent de la même manière ou d'une manière inverse, s'il n'y a pas de vapeurs pour lesquelles une expansion suivant la courbe isodynamique est accompagnée d'une condensation de vapeur.

Supposons que nous ayons de la vapeur sèche et saturée, faisons Xx = I dans l'équation ( 233 ), il viendra alors

LIGIiES ISOTHERMIQUES ET ISODYNAMIQUES. 299

OU bien

Imaginons qu'il y ail compression el que la vapeur considéréese comporte comme la vapeur d'eau, c'esl-à-dire qu'elle se condense en partie quand la pression et la température augmentent; on doit avoir alors ^<;i, ce qui arrivera lorsque la différence

est positive. Il faut donc que Texpression

dp dq dt dt

soit positive. Comme on peut partir d'une température quelconque, il est plus simple d'examiner les valeurs de ces deux coefficients différentiels pour ^ = o. Mais les valeurs de p et de q sont connues en fonction de la température / pour une série de vapeurs, p. 278 et 254; ^^s coefficients différentiels sont donc faciles à déterminer. Ainsi on a, d'après ces formules, pour la vapeur d'éther,

(g)=o,5.90i et (g)=o.,o648;

leur somme est positive : la vapeur d'éther se comporte donc comme la vapeur d'eau, relativement au changement d'état que nous examinons. On peut se convaincre aisément que la même chose a lieu avec toutes les vapeurs mentionnées à la page 273, pour lesquelles on peut répéter le même genre de calcul. Ainsi pour toutes ces vapeurs, il y a vaporisation lorsque l'expansion se fait suivant la courbe isodynamique; la courbe U^iU (fig> 33) qui correspond à une quantité de vapeurs, <i et à une certaine pression/?i coupe donc la courbelimite DD en un point d situé plus près de l'axe des abscisses OXque le point xx.

Nous concluons de plus que « la courbe relative à une quantité de vapeur constante » qui correspond au même point ini-

liai el à la valeur Xx = consl. se rapproche davantage de Taxe des abscisses que la courbe isodynamique. On a ponctué cette courbe B;c, B dans la /ig. 33; son tracé est facile à obtenir pour toutes les vapeurs contenues dans les Tables de TAppendice. Soient /?, et Vx les valeurs initiales de la pression et du volume, quand la quantité de vapeur est a:,; comme la quantité de vapeur doit être la même pour une autre pression p, nous trouvons pour le volume correspondant

quant à la courbe-limite DD pour laquelle la quantité de vapeur est l'unité, on a sous la même pression un volume spécifique de vapeur

Supposons maintenant que Ton compte les abscisses v et s à partir d*un axe des ordonnées Oi Y, tel que 00» = o- {Jig. 33) et qui représente la courbe d'une quantité de vapeur constante correspondant à ^, = o; on a alors les abscisses

V — a=zxtU et s — a=u.

En éliminant u entre ces deux équations, on a