X. — De r écoulement d'un mélange de vapeur

et de liquide.

Les propositions générales sur l'écoulement des liquides, que j'ai énoncées aux pages i54 et i58, sont applicables ici, de telle sorte que nous pourrions partir directement de l'équation (io4), p. i58; je préfère cependant considérer cette question sous un autre point de vue, pour montrer que l'on peut arriver aux mêmes formules par des voies différentes (*).

Nous supposerons encore que l'écoulement se fasse sous une pression constante, et dans un espace où règne également une pression constante, moindre que la précédente. Noiis admettrons de plus, expressément, que le mouvement soit permanent, et nous ferons en général les mêmes hypothèses

( * ) J*aî donné pour la première fois les nouvelles formules relatives à l'écoulement des gaz et des vapeurs dans mon Mémoire : Dos Locomotiy^enblasrohr^ et plus tard je les ai insérées dans le Civilingenieury t. X, p. 87, 1864. Plus tard, j'ai complété les considérations relatives à l'écoulement d'un mélange de vapeur et de liquide, en y comprenant l'écoulement des liquides fortement échauffés qui s'échappent de l'orifice en se vaporisant en partie.

que pour toutes les recherches hydrodynamiques du même genre.

Prenons un réservoir A (fig. 42) de forme cylindrique, dans lequel se trouvent la vapeur et le liquide à la température U el

Fig. 42.

sous la pression /?, ; soit x^ la quantité spécifique.de vapeur, et supposons que le piston soit poussé en avant avec une pression constante o,, à mesure que le cylindre se vide. L*orificeC est prolongé au moyen d'un tuyau B de même section, muni d'un piston qui se meut sous l'action du mélange en surmontant une pression extérieure constante /?2.

Le tuyau B est très-long; le mélange entré dans ce tuyau suit le piston avec une vitesse constante cv, et le vide laissé par derrière se remplit continuellement du nouveau mélange provenant du réservoir A.

Le changement d'étal dont il s agit a lieu d'une manière toute particulière et n'est point réversible; le mélange passe d'un état d'équilibre à un autre différent. La vitesse du mouvement visible des particules est extrêmement petite dans le réservoir A, dont la section est très-grande relativement à celle de l'orifice; nous supposons, en outre, que le poids du mélange qui passe avec une vitesse croissante à travers l'espace situé près de l'orifice, et qui forme une sorte d'entonnoir, soil également très-petit relativement ati poids contenu dans le cylindre A. Soil U, le travail intérieur de la masse dans le réservoir A, travail qui correspond à la pression ^, à la pression/?, et au volume spécifique Vi.

Examinons l'unité de poids du fluide dans son trajet vers

l'ajutage B; après son passage dans l'ajutage, il suit le piston

avec une vitesse constante cv. La masse fluide se trouve donc

""X dans un état d'équilibre nouveau; toutes ses particules se

meuvent uniformément dans le tuyau B avec la vitesse w, et pendant ce mouvement la pression /?ï, la température correspondante ti et le volume spécifique v^ restent constants tant qu'il ne survient pas de changement de vitesse. Cela posé, j'admets que les relations qui existent entre le travail intérieur U2 de la masse en mouvement, sa pression et son volume, quand on fait abstraction du travail correspondant au mouvement visible, sont les mêmes que si la masse était en repos. Par conséquent, si Ton connaissait pour le fluide considéré la fonction U = F (/?, i^), on aurait au commencement de Topération, lorsque le fluide se trouve encore dans le réservoir A,

et à la fin, lorsque le fluide s'avance tmiformément dans le tuyau B,

Prenons encore, comme travail intérieur, le travail — qui

correspond au travail visible; Taccroissement total du travail intérieur pendant le changement considéré sera

On peut trouver une autre expression de cette quantité. L'unité de poids du fluide a absorbé le travail />, v^ à cause de la constance de la pression dans le réservoir A, et elle a effectué le travail /?, i^^ par son entrée dans le tuyau B, sous la pression constante />a {voyez p. i55); pt t^i — p^Vi est donc le travail gagné par le fluide. Supposons enfin que chaque unité de poids ait reçu du dehors, d'une manière quelconque, la quantité de chaleur Q ; alors l'accroissement total du travail intérieur sera

Y +/>• <>.— /^ii'i.

En égalant les deux expressions précédentes, nous obtenons la première formule fondamentale du problème

Cette équation est identique à l'équation (i 04 ); mais nous

402 TROISlfcHE SECTION. — DES VAPEURS.

avons en outre Téqualion

(33o) Q = A(U,~U.)-*-A f 'pdi^,

dont nous avons fait usage fréquemment ; elle exprime que le fluide passe en se dilatant, sous sa pleine pression, du volume initiai v^ au volume final v^ en même temps qu'il absorbe de la chaleur.

On déduit de cette équation, en intégrant par parties,

Q=:A(U,— U,)-4-A(/?,c, — /?,(/,)— k jvdp.

Cette dernière formule, jointe à Téquation (329), conduit à réquation bien connue en hydrodynamique

que Ton a toujours établie directement jusqu'ici.

J'ai simplement développé davantage le problème de l'écoulement en partageant réquation bien connue, écrite ci-dessus, en deux équations (829) et (33o), à l'aide des propositions de la théorie mécanique de la chaleur, et c'est cette séparation qui permet de bien voir la signification de cette équation, que l'on a intégrée jusqu'ici dans les recherches sur les gaz, en faisant des hypothèses assez arbitraires sur la relation qui lie V et p.

Les équations (829) et (33o) s'appliquent aux fluides de toute espèce; conservons-les encore un instant sous leur forme générale, et ramenons l'écoulement au cas ordinaire. Jusqu'ici nous avons supposé que le tuyau B {Jlg» ^2) était très-long, et qu'un piston s'y mouvait sous la pression constante/?2; nous allons supposer maintenant que le tuyau soit coupé à une certaine distance de l'orifice, et qu'il débouche dans un deuxième réservoir de grandes dimensions, qui est rempli de fluide, et dans lequel la pression p^ est maintenue constante.

Soient G le poids du fluide qui traverse par seconde une

ÉCOULEMENT DES TAPEURS. ^oi

section F quelconque du tuyau, et Cj le volume spécifique du fluide dans ce tuyau ; le volume du fluide qui traverse par seconde celle section est Gcj, et celte quantiié est idenlique à F«/; nous avons donc

pour le poids du fluide qui passe par seconde à travers une section quelconque du tuyau. Ce poids est idenlique à celui qui sort du luyau, et il représente la masse écoulée. Mais ici on suppose que la pression ait la valeur conslanle pt dans l'espace vers lequel se fait Técoulement jusqu'à la seciion de Torifice; cette hypothèse qu'on a toujours faite jusqu'à présent est, je crois, très-admissible.

Il y a lieu de croire que, si Ton veut être rigoureux, la pression extérieure est plus petite près de l'orifice que dans le resté de l'ajutage; mais la différence doit être extrêmement petite. Lorsqu'un jet de vapeur se rend par exemple dans l'air libre, et lorsqu'on approche de l'orifice un pendule, comme je l'ai fait, ce pendule est attiré vers le jet, mais très-faiblement; nous devons donc conclure de là qu'il n'y a qy'une petite diminution de pression.

Le volume spécifique fa ne convient au contraire que pour l'intérieur du tuyau et pour l'orifice. Lorsque le fluide est de l'air ou de la vapeur, le jet s'épanouit en quittant l'orifice sous forme d'entonnoir, et sous la pression constante p^, d'après notre hypothèse (p. i6i). La force vive du mouvement se transforme en mouvement moléculaire, en chaleur; et lorsque le repos est rétabli, le volume spécifique et la température sont autres qu'à l'orifice. Mais ce dernier phénomène importe peu; les questions principales qu'on se pose sont toujours : Quels sont la vitesse d'écoulement (v, le poids du fluide qui passe à travers l'orifice dans l'unité de temps, et en général l'état du liquide à l'orifice? Les équations données cidessus répondent à ces questions; comme elles ne sont applicables que dans l'hypothèse d'un mouvement permanent, on peut réduire de plus en plus par la pensée la longueur du

4o4 TROISIÈME SECTION. ^ DES TAPEURS. .

tuyau, el employer aussi ces formules pour un simple orifice» Il n'y a qu'une seule détermination qui persiste : c'est l'influence qu'exercent sur l'écoulement les résistances passives, le frottement, etc., etc. On peut cependant admettre comme un fait certain que les deux équations (329) et (33o) se conservent sans changement. La vitesse d'écoulement w est diminuée par les résistances ; le travail intérieur Uj augmente d'une

certaine quantité, et la force vive du mouvement visible —

""g diminue de la même quantité; le changement du travail intérieur est d'ailleurs accompagné d'un changement de volume spécifique V2. Les équations dont nous parlons ne changent pas de forme pour cela; mais elles deviennent d'autant plus impropres à la détermination de la vitesse w que l'influence des résistances est plus grande. Nous devons donc, jusqu'à nouvel ordre, supposer que l'influence des résistances soit négligeable, ce qui revient à supposer les orifices bien arrondis.

Appliquons maintenant nos équations à un mélange de vapeur et de liquide, s'écoulant à travers un orifice sous une pression constante.

Nous avons dans le réservoir d'écoulement la température ^i, la pression pi et la quantité spécifique de la vapeur x, ; dans la section de l'orifice, la température ^ (celle qui correspond à la pression extérieure /?a), et la quantité spécifique de vapeur Xi.

Mettons dans l'équation (329), à la place de A (Uj— U,), sa valeur déduite de Téquation (220)

A (Uî— U,)=g,— îi4- ^2pa— Xi p,,

et servons-nous en même temps des équations

(/, = ^, Ml H- 0-, {^2=:XiUi'h(Tf r= p-hApu.

Nous trouvons alors

(332) A — =Q-+-^iri— :p,ra4-5fi— Î2-f- A(7(pi — /?»)• 2^

L'équation {33o), écrite en équation différentielle, est Identique aux équations (222), (223), (227) et (228) (p. 289 et suivantes). Écrivons-la sous la forrne (227) :

<333) dQ = dq-^Td(^^

Le poids du mélange qui s'écoule dans une seconde est, d'après Téquation (33i),

Si Ton désigne par D le poids de la vapeur et par W celui du liquide, on a

<335) D=r^2G et W=(u—x,)G.

Nos équations peuvent être employées dans un grand nombre de cas différents, suivant Thypothèse que l'on fait sur le mode d'introduction de la chaleur. Dans Téquation (332), Q désigne la chaleur totale qu'on fournit à l'unité de poids du mélange pendant son trajet Tcrs l'orifice, tandis que l'équation (333) indique d'une manière plus précise comment a lieu l'introduction de la chaleur; elle nous apprend comment la température et la quantité spécifique de vapeur changent quand on adopte une loi déterminée pour l'introduction de la chaleur. Le cas le plus habituel et le plus important dans les applications est celui où il n'y a ni addition ni soustraction de chaleur pendant le trajet vers l'orifice. On a dans ce cas Q = o et dQ=z o. Posons, pour simplifier.

^ dq f^cdt T

comme cela a déjà été fait (p. 3i3); l'équation (333) donne

Cette équation faît connaître la quantité spécifique de vapeur Xi à l'orifice. En éliminant Xt Tj entre les équations ( 332 )

4o6 TROISIÈME SECTION. — DES VAPEURS.

et (336), on trouve

équation qui permet de calculer directement la vitesse d'écoulement iV.

Les équations ( 334) ^l (335) donnent aussi le poids du mélange qui sort de Torifice dans une seconde; car on connaît la quantité spécifique de vapeur Xi, la pression /?, dans le réservoir d'écoulement, et la pression extérieure p^. Connaissant ces dernières quantités, et faisant usage des Tables, on détermine les températures f, et U. Appliquons les dernières formules à quelques cas qui ont de l'importance dans la pratique.

Problème I. — Écoulement d*une vapeur sèche et saturée sans introduction ni soustraction de chaleur.

Il suffit de faire ^1=1 dans les équations générales, et la question est résolue. Nous considérerons spécialement Fécoulement de la vapeur d'eau dans l'atmosphère. Le tableau auxiliaire de la page 307 nous sera très-utile.

La vapeur saturée sous une pression de 5 atmosphères passe d'une chaudière dans l'atmosphère à travers un orifice conique ou bien arrondi, ayant une section de F mètres carrés. La pression de l'air étant de i atmosphère, on a, d'après la Table X de l'Appendice, ti= 162^,22 et ^,= 100®. Le tableau auxiliaire (p. 307) donne ensuite, pour 5 atmosphères,

jT = 1,17395,

^,=ri53,74l,

Et, pour I atmosphère.

qi= 100, 5oo, ri= 536, 5oo, Ta = o , 3 1 366 ;

en outre^ on a

^,= 5,io334, /?2=io334, 0- = 0,001, A=r^—

L'équation (336) donne alors la quantité spécifique de va* peur à Torifice,

Xi= 0,9091.

On conclut de là que l'unité de poids du mélange contient 0,9091 de vapeur, et 0,0909 d'eau dans la section de l'orifice; comme nous trouvons dans cette section de l'eau et de la vapeur, il faut que pendant le trajet vers l'orifice, il se soit condensé une quantité de vapeur dont le poids est 0^*^0909.

On tire de l'équation ( 337 ), en employant les nomi)res écrits ci-dessus,

et, par suite, on trouve pour la vitesse d'écoulement,

(ii; = 734"»,32,

avec une accélération de la pesanteur, g- = 9^,81.

Le poids d'eau et de vapeur qui sort de l'orifice dans une seconde est, d'après l'équation ( 334 )>

F étant évalué en mètres carrés. La proportion de vapeur est, d'après l'équation ( 335),

D== 444,90 F, et celle de l'eau,

Lorsqu'on prend un orifice circulaire, on trouve dans le cas actuel que, pour faire écouler G kilogrammes de vapeur et d'eau dans une seconde, l'orifice doit avoir un diamètre

4o8 TROISIÈME SECTION. — DES VAPEUBS.

Veul-on un écoulement de i kilogramme de vapeur par seconde, le diamètre de l'orifice devra être de 5, 102 centimètres.

Comme la question de l'écoulement de la vapeur d'eau dansTaîr libre est d'une grande importance dans les applications^ j'ai construit le tableau ci-contre (p. 4^9), qui n'a pas besoin d'être expliqué après l'exemple numérique que nous venons de traiter.

L'exemple et le tableau montrent qu'une partie de la vapeur se condense pendant son trajet vers l'orifice, et lorsqu'il s'agit d'un écoulement dans l'atmosphère, la quantité du liquide mêlée à la vapeur est d'autant plus grande que la pression dans la chaudière est plus élevée.

J'ai montré dans mon ouvrage ( Vas Locomotwenblnsrohry p. 89), qu'à une distance relativement minime de l'orifice et au dehors le liquide a disparu, et que même la vapeur est surchauffée. J'ai supposé, comme je l'ai déjà fait remarquer, que le jet s'épanouit en dehors de l'orifice sous une pression constante /?2, et que la force vive du mouvement se transforme en chaleur. On peut démontrer facilement par l'expérience, que le jet de vapeur d'eau qui sort de l'orifice entraîne de l'eau. Un jet de vapeur qui sort d'un orifice s'élargit en forme de cône, mais très-près de l'orifice le jet prend l'aspect de la partie inférieure de la flamme d'une bougie. On distingue dans l'intérieur du jet un petit cône de couleur grise, dont la base couvre l'orifice, et dont le sommet se trouve à l'extérieur; autour de ce cône le jet est diaphane et de couleur bleue. Il conserve cet aspect depuis le sommet du petit cône intérieur jusqu'à une certaine distance au delà; puis il devient trouble et commence à moutonner. Le cône intérieur de couleur grise est sans doute formé par le mélange d'eau et de vapeur, tandis que la partie bleuâtre et diaphane contient la vapeur surchauffée. Quant à la partie conique et moutonnée du jet qui se trouve un peu plus loin, elle est due à l'influence de l'air atmosphérique, qui refroidit la vapeur et en condense une partie.

On sait que Ton peut mettre impunément la main dans le

Écoulement de la vapeur d* eau sèche et saturée

dans r atmosphère.

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