IX. — Des changements non ré{^ersibles d* un mélange de

vapeur et de liquide.

Nous avons considéré jusqu'à présent le cas où il y a équilibre à chaque instant entre la pression extérieure et la tension de la vapeur. Cette hypothèse restreint la question ; quand on l'abandonne, les théorèmes de la théorie mécanique de la chaleur prennent une signification beaucoup plus générale, et les propositions précédentes relatives aux changements réversibles deviennent des cas particuliers de propositions plus générales. J*ai déjà donné, sous une forme générale, dans la première Section, p. 85 à 94, et à propos de Tétude des gaz, p. i43 à i54, les résultats des recherches que j'ai faites dans cette voie. Ils s'appliquaient à des corps quelconques. Je vais maintenant m'occuper d'une manière spéciale des mélanges de vapeur et de liquide. J'entrerai dans de plus grands détails que pour les gaz permanents, parce que l'occasion se présente de traiter pour la première fois une séicie de problèmes très-importants de la Mécanique appliquée.

Supposons que l'on ait donné l'unité de poids du mélange de vapeur et de liquide dans un état initial a (p^, Vt) {Jlg, 37) ;

Fig. 37.

soient ti la température, Xi la quantité spécifique de vapeur ; imaginons le mélange renfermé dans un cylindre derrière un piston. La pression exercée du dehors sur le piston équilibrait d'abord la tension de la vapeur /?! ; elle est réduite tout à coup à

la valeur inférieure Vi a'= p\ ; alors la masse se dilate, repousse le piston qui est supposé sans poids, et effectue un certain travail extérieur que Ton peut déterminer, quand la loi des variations de la pression extérieure vc' = p' est donnée paria courbe d c'V. Lorsque le volume est devenu t'a, on arrête subitement le piston; à partir de ce moment, le mélange, qui possède une agitation visible, revient rapidement à l'état d'équilibre; la force élastique de la vapeur augmente, et passe de p'2 à fi ; désignons par U la température et par Xi la quantité spécifique de vapeur qui correspondent au nouvel état d'équilibre 6. Nous avons ici un changement d'état non réversible, car il est évidemment impossible de ramener la iflasse à l'état initial au moyen d'une compression, en suivant le même trajet. Nous ne pouvons donc pas nous servir des formules (222)3 (228) pour étudier un tel changement; il faut recourir aux équations générales (220) et (221).

L'intégration de ces deux équations donne la variation du travail intérieur mesurée en unités de chaleur, pendant le passage d'un état d'équilibre (a) à un autre (6), à savoir :

et aussi l'équation

dans laquelle L désigne le travail extérieur que le mélangea produit en se dilatant.

Si la pression extérieure p' est donnée en fonction de v, de sorte que le travail L puisse être déterminé par l'équation

on déduit des deux avant-dernières équations celle qui suit :

(282) 0 = 52— gi -f-:C,p, — OTapa-t- A 1 p' dv.

Puisqu'on a l'unité de poids du mélange, on connaît en outre

les volumes initial et final parles formules connues

( 283 ) ViZ=XiUi-h (T el Vi = Xi W2 4- <7.

11 faut remarquer que Ton arrive encore à l'équalion (282) en imaginant que le changement se fasse suivant le trajet réversible aa'c'b'b; pour cela il faut soustraire d'abord à la masse la quantité de chaleur Qi sous un volume constant c,, jusqu'à ce que la pression soit descendue de pt à p\y et que le travail intérieur ait passé de U, à U', ; il faut ensuite amener le corps en 6', suivant le trajet réversible a'c'6', ce qui exige une quantité de chaleur Q2, et ce qui fart passer le travail intérieur de U', à U'2 ; enfin, il est nécessaire d'échauffer la masse sous un volume constant Cj jusqu'à ce qu'elle soit arrivée à rétat b; cela exige une quantité de chaleur Q3. D'après ce qui précède, ces trois quantités de chaleur sont données par les équations

On en déduit, par addition, toute la chaleur nécessaire

dv.

et* cette équation peut se mettre sous la forme de l'équation (282) pour les mélanges de vapeur et de liquide. Il est souvent plus commode de procéder comme nous venons de l'indiquer : on suit les phénomènes avec plus de facilité. Les équations (282) et (283) donnent le moyen de résoudre un grand nombre de problèmes. Lorsqu'on donne, par exemple, la quantité de chaleur totale Q, le travail extérieur L et l'état initial, on peut déterminer l'état final, c'est-à-dire le nouvel état d'équilibre b. Si au contraire on connaissait, avec les deux états extrêmes, le travail extérieur L, on pourrait calculer la quantité de chaleur Q, et, inversement, on pour-

rait trouver le travail L si Ton connaissait la quantité de chaleur Q. 11 est très-remarquable que, dans la résolution de ces problèmes, le mode d* introduction de la chaleur pendant le passage d'un état d'équilibre à Vautre soit en général indifférent; il suffit que Ton connaisse la quantité totale de chaleur Q qu'il faut introduire pendant le changement. Il convient néanmoins de se préoccuper du mode d'introduction de la chaleur, parce que c'est par là qu'on peut donner aux équations une signification susceptible d'applications plus générales; pour atteindre ce but, on â un moyen simple sur lequel j'ai déjà appelé l'attention en traitant des gaz (p. 149).

Si nous avions fait dilater la masse seulement jusqu'au volume V ijig. 37 ) en arrêtant le cycle à ce moment, la pression/?' aurait pris, dans l'état d'équilibre c, la valeur /? = «'c, la température et la quantité spécifique de vapeur seraient devenues respectivement t et x. S'il a fallu fournir jusqu'à ce moment la quantité de chaleur Q, on trouve, d'après l'équation (282),

(284) Q = ? — gtH-^p — ^.pi H- A i p'

du.

L'intégrale du second membre représente le travail extérieur qui a été gagné jusqu'au moment considéré, et sa valeur est représentée par la partie Vivc'a' de la surface ombrée de la

En différentiant, on trouve (285) dQ = dq-{- d{xp} 4- Ap'dv,

équation qui constitue l'équation fondamentale relative aux changements non réversibles. La pression extérieure est/?', la pression correspondant à l'équilibre pour la même époque est p; on doit considérer ces deux équations comme des fonctions du volume v, ce qui donne deux courbes; la première {a'c' b') obéit à la loi p' = F' (v), qui indique la variation de la pression extérieure, et la seconde (acb) est assujettie à la loi /> = F(c), qui représente la pression correspondant à l'équilibre. Pour appliquer l'équation (285), il ne faut pas

CHANGEMENTS NON BÉYERSIBLES. SSg

oublier que x désigne la quantité spécifique de vapeur pour Xétat d'équilibre^ ou, si Ton veut, après le retour au repos, 61 que les quantités g et p sont des fonctions de la température d'équilibre t. Pour plus de simplicité, j'appellerai dorénavant température, pression et quantité spécifique de vapeur, à une épaquedu changement, les valeurs que ces quantités auraient après le retour au repos , si Ton interrompait la variation de volume à cette époque, et je n'emploierai qu'exceptionnellement les expressions température d'équilibre, pression d'équilibre et quantité de vapeur d'équilibre.

L'équation fondamentale (285) peut se mettre sous des formes très-diverses. En ajoutant et en retranchant kpdv dans le second membre, on a

(^286) dQ=:dq -^d{xp) -h kpdv — k{p — p')dv.

Mais les trois premiers termes du second membre de cette équation donnent la quantité de chaleur qu'il faut fournir à la masse lorsque le changement d'état est réversible suivant acb. En mettant à la place de ces termes leur valeur déduite de l'équation (227), on trouve

rfQ

= dfg4-Trf^Ç\-A(/>~p')rf^.

Divisons les deux membres de cette équation par AT et intégrons; nous trouvons pour le poids thermique relatif à un cycle non réversible,

<^«')^=/r?4[(-T)-(-Tr)]-/^'<".

en conservant les notations adoptées plus haut.

Lorsque le changement d'état se fait suivant un trajet réversible, on a constamment p=p' ; alors les deux courbes acb et a'c'b^ se confondent. Si le cycle est non réversible, le poids thermique est toujours plus petit, et le terme A (p — p') reste dans l'équation (^86); on reconnaît immédiatement que l'intégrale de A(p -- p')dv est représentée sur la^îg-. 87 par l'aire

36o TROISIÈME SECTION. — DES TAPEURS.

comprise entre les deux courbes acb el cdc'V. Pour ce qui concerne le poids thermique, il faut se reporter aux pages i5o et i5i; les théorèmes qui ont été alors établis s'appliquent également ici.

Nous allons résoudre plusieurs problèmes dans lesquels un mélange de liquide et de vapeur suit un trajet non réversible.

Problème I. — Expansion d'un mélange de vapeur et de liquide qui surmonte une pression extérieure constante,

La pression extérieure p y qui est plus petite ici que la pression d'équilibre initiale /?„ est supposée constante; la courbe a'<fb' de la^g*. 87 devient alors une ligne droite parallèle à Taxe des abscisses OX. Nous supposons en outre que l'on nous donne les volumes initial et final Vi et v^ de l'unité de poids du mélange. La quantité de chaleur totale Q2, que l'on fournil au mélange pendant le passage de l'un des états d'équilibre à l'autre, s'obtient par l'intégration de l'équation (285)

dans laquelle

(289) Ç', = JP, M, 4- 0- et Carrr^j/Zj -f- (7.

Si l'on donnait la température et les quantités de vapeur qui correspondent à l'équilibre pour l'état initial et l'état final, on pourrait calculer la quantité de chaleur totale Qi qu'il faut fournir ou soustraire, et, réciproquement, on pourrait déterminer l'état final, si l'on connaissait l'état initial et la quantité de chaleur Q2.

On reconnaît, d'après cela, que les formules précédentes et le problème que nous traitons en ce moment comprennent une infinité de cas, et que la question n'est pas complètement déterminée. On peut la déterminer comme nous l'avons dit ci-dessus, mais on peut aussi supposer, ce qui nous permet de bien suivre le phénomène, que l'on donne, outre la courbe de la pression extérieure a' &b' [fig, 87), celle de la pression d'équilibre ach, ou bien encore le mode d'introduction de la

CHANGEMENTS NON EÉVERSIBLES. 36 f

chaleur. Admettons qu'on interrompe à un moment quelconque Tintroduclion de la chaleur et la dilatation, alors que le volume a passé de ^i à ^; soient t la température et x la quantité de vapeur à cet instant, quand Téquilibre est rétabli; la quantité de chaleur Q qu'il a fallu introduire jusqu'à ce moment est, d'après l'équation ( 228),

(ago) 0 = g — g, -h ^p — ^,p, -f- A/^'Ct' — ^,),

dans laquelle

(291) Vi =: Xi Ui -h (7 et V=z xu-{- a.

Examinons quelques cas particuliers pour mieux expliquer ce qui précède.

Premier cas. — Pendant l'introduction de la chaleur, la température d'équilibre est constante.

Lorsque la température est constante, il en est de même de la pression d'équilibre/?; la courbe de la pression d'équilibre acb {fig. 37 ) est, par suite, une ligne droite parallèle à l'axe des abscisses; cela exige que la vapeur soit encore saturée après le retour à l'équilibre, supposition que nous conserverons toujours dans ce qui va suivre.

On a ici g, = g„ p, =r p„ m, = u^ ; alors, pour une certaine dilatation t'a — Vx, il vient, d'après l'équation (289),

(292) Vi— V,z=z(x2 — Xx)Ui,

d'où l'on tire la quantité spécifique de vapeur finale ^2. Le travail extérieur mesuré en unités de chaleur est

(293) A/>' (t'a — ^i) = kp'llK [Xi — Xy).

La variation du travail intérieur est

et la quantité de chaleur totale qu'il faut introduire est, d'après l'équation (288),

(295) Q,=zz(p, 4- A/?'«,) {Xi— Xi).

Les formules précédentes donnent pour un instant quel-

conque du passage le travail extérieur, le travail intérieur et la quantité de chaleur Q qu*il a fallu fournir pendant la dilatation du volume Ci au volume v lorsqu'on substitue à Xj la quantité de vapeur x tirée de Téquaiion

V = XU, -f- 0*.

Si l'on avait exceptionnellement p' = p, les deux courbes coïncideraient comme cela a été déjà dit, et donneraient la courbe que nous avons appelée plus haut isotliermique, et les formules précédentes deviendraient celles de la page 295.

Supposons au contraire que la pression extérieure p'=:o; alors le travail extérieur est nul d'après l'équation (293), et nous trouvons

Qî = A ( Uj — U) = p, ( jpj — - j?, ); en vertu de l'équation ( 292 ) il vient

Cette formule donne la quantité de chaleur qu'il faut envoyer au mélange lorsqu'on fait communiquer le réservoir qui le renferme avec un réservoir vide d'air d'un volume égal à ^2 — V\y et qu'on demande que la température reprenne sa valeur initiale après le rétablissement de l'équilibre. Dans une telle opération la masse de liquide X2 — ^i, qui se détermine facilement au moyen de l'équation (292), se transforme en vapeur.

Lorsque nous adoptons pour p' une valeur comprise entre /?, et o, nous trouvons le poids thermique au moyen de l'équation (287), parce que les pressions p et />', ainsi que la température T, sont constantes.

11 vient donc

CHANGEMENTS NON RÉYEBSIBLES. 363

OU bien, si Ton lient compte de Téquation (292),

(.96) ■ p=£LziAi^zip:)ifi (,,,,).

Cette formule se simplifie beaucoup pour les deux cas limites /?!=// eip' = o, et donne respectivement

P = 'j^(^2--^i) et P = ^^r^.^a — ^,).

On voit combien de problèmes différents se présentent. On en trouve facilement la solution, même dans le cas particulier où la pression extérieure est constante; on peut faire, relativement à la courbe de la pression d'équilibre, les hypothèses les plus diverses et par suite reprendre avec la condition plus générale p' = const., que nous venons de nous innposer, tous les problèmes que nous avons traités à propos des changements d'état réversibles. Nous pouvons supposer, par exemple, que la quantité de vapeur d'équilibre reste constante pendant la dilatation; alors la courbe de pression acb i/ig' 37), dont la forme pourrait facilement être déterminée, serait une courbe de quantité constante de vapeur d'une espèce particulière.

Nous pouvons encore supposer que le travail intérieur soit constant, c'est-à-dire qu'on ait

dq -h d(xp)=:o;

la courbe d'équilibre serait alors une espèce particulière de courbe isodynamique dont on pourrait déterminer la forme, etc.

Les recherches de ce genre sont tellement faciles à faire à l'aide des formules que j'ai données, que je crois inutile de multiplier les exemples où l'on ferait quelque hypothèse particulière sur les deux courbes de pression.

Donnons pourtant un exemple dans lequel l'introduction de la chaleur est assujettie à certaines conditions.

Deuxième cas, — Le mélange se dilate en surmontant une pression extérieure constante , sans recevoir ni perdre de la chaleur.

Il faut mettre 0 = 0 dans réquation ( 290 ), et il vient et comme nous tirons des équations (291)

C — Vt= XU — Xs Uxy

nous avons, en remplaçant v — v, par sa valeur,

Lorsqu'on suppose que l'état initial [UpxXx) soit donné, ainsi que la pression constante extérieure />', on peut déterminer, à l'aide de la dernière équation, la quantité de vapeur d'équilibre x pour une valeur de la température d'équilibre / et pour la pression p qui y correspond; le volume se calcule par la relation

V = XU -t- 0*.

Si Ton construit alors une courbe ayant pour abscisses les

valeurs du volume v^ et pour ordonnées celles de la pression/?,

on obtient la courbe de pression d'équilibre ach {Jig, 87 ), que

^ l'on doit considérer comme une espèce particulière de courbe

adiabatique.

Lorsqu'au contraire on donne v et c,, on détermine, à l'aide des équations (291), les valeurs de x^ et de ^ :

Vy— d V d ^

Xi — ^— — — — tji, ^ «__ •

Mi U

puis on substitue ces valeurs dans l'équation (297) et on détermine la température d'équilibre /, ce qui, il est vrai, ne peut se faire que par tâtonnements, parce que les quantités ç, p et u, qui sont des fonctions de la température, n'ont pas avec celle-ci des relations simples.

Quand on se propose ce problème, on a généralement pour but de déterminer seulement l'état final de la masse.

Si l'on faisait continuer la dilatation jusqu'à ce que la pression finale d'équilibre fût égale à la pression extérieure p\ on trouverait, d'après l'équation (297),

Çj H- ^2 (p, -f- kpi Ui) = 7, + X, (p, 4- Api M, ),

el, en tenant compte de la relation r = p-\- kpu.

On peut conclure de là la quantité de vapeur finale x^ et ensuite le volume final Vi»

On voit facilement, au moyen de Téquation (297), si, dans les changements d'état examinés ici, il y a une condensation de vapeur ou une vaporisation de liquide, c'est-à-dire si Ton a a: <C^Xi ou ^> j?,. Lorsque les pressions-limites />, et pa sont données, ainsi que la pression extérieure />', c'est la quantité spécifique de vapeur initiale Xx qui en décide.

Considérons dans un cylindre l'unité de poids d'un mélange d'eau et de vapeur sous une pression de 5 atmosphères, et supposons que ce mélange se détende, en surmontant une pression extérieure constante de i atmosphère, jusqu'à ce que la pression finale d'équilibre soit de 2 atmosphères; alors on trouve, au moyen de l'équation (297),

Pour arriver à ce résultat, on a pris dans la Table X de l'Appendice, pour les quantités qui correspondent à la pression de 5 atmosphères,

et pour celles qui sont relatives à la pression de 2 atmosphères,

g = 121,42, p=:4^o>^^' tt = o,8588;

on avait, d'après l'hypothèse, p' = 10334.

L'équation (289) donne alors, pour les volumes initial et final,

i;, =r 0,362c j;, -h 0,0010 et (/ = 0,7952^, H- 0,0554.

Supposons maintenant qu'il n'y ait que de la vapeur au commencement ; alors j?, = i , et on a

le rapport d'expansion est

Comme on a ici x<C^x^^ la vapeur se condense dans Toperation; mais si le poids initial de la vapeur était égal à celui du liquide, c'est-à-dire si j;, = o,5, on trouverait

:r = 0,5274, et le rapport d'expansion serait

Dans ce cas, ^ > ^, ; une partie de Feau liquide se vaporiserait donc, et le poids de cette partie serait 0,0274.

Si l'expansion continuait jusqu'à ce que la pression d'équilibre fût égale à la pression extérieure, c'est-à-dire à une atmosphère, il faudrait employer l'équation (298); on y substituerait les nombres de la Table X qui correspondent à une atmosphère :

^2 = 100,60 et ra = p3 -h A/>2Mj = 536,5o.

Supposons que la quantité finale de vapeur jjj soit égale à l'unité, c'est-à-dire qu'il n'y ait finalement que de la vapeur saturée sous la pression d'une atmosphère; en substituant dans l'équation (298) les valeurs données ci-dessus, on trouverait

équation qui ne peut évidemment jamais être remplie, puisque ^1 ne peut dépasser i. Ce résultat montre que la vapeur doit être surchauffée dans l'élat initial.

Cela nous conduit à résoudre un problème qui offre un grand intérêt, parce qu'il montre très-clairement la différence des gaz permanents et des vapeurs saturées.

Nous supposerons que la pression extérieure que doit surmonter le mélange pendant sa dilatation soit nulle.

On réalise évidemment ce cas quand on met le réservoir

qui contient le mélange de vapeur et de liquide en communication avec un espace vide d*air. Le mélange se dilate alors sans effectuer de travail extérieur, et on demande quel est l'état final quand Téquilibre est établi. Nous avons trouvé (p. 147 ) que, pour un gaz permanent, la température ne change pas pendant une telle opération; mais on a un résultat trèsdifférent pour un mélange de vapeur et de liquide (*). 11 suffit de faire p'=^o dans Téquation (297), et on obtient

(299) q-\-xp=iqy^XxÇi,.

Cette équation, jointe aux deux suivantes

V '=Z XU -^ d et Vy^^lXy lly -H (T,

résout déjà le problème. Mais ces trois équations sont les mêmes que celles que nous avons employées à la page 296 pour l'étude des lignes isodynamiques. Il suit de là que, dans le cas actuel, la courbe de la pression d'équilibre acb [fig, 87, p. 355) est identique à la courbe isodynamique des vapeurs. Mais l'étude de cette dernière nous a fait voir que la dilatation du mélange est accompagnée d'une diminution de la température et de la pression, et de la vaporisation d'une partie du liquide; et cela avait lieu pour toutes les vapeurs qui jusqu'ici ont été soumises à une pareille étude. Il faut donc que la vapeur contienne au commencement une certaine quantité de liquide, c'est-à-dire que ^, << i, pour qu'elle ne soit pas surchauffée après son introduction dans l'espace vide d'air. Éliminant x et o- entre les équations précédentes, on trouve

dans laquelle q — Vx représente l'augmeutation de volume, c'est-à-dire la capacité de l'espace qui était primitivement vide d'air.

(*) Voyez le Mémoire de l'Auteur : Beitr'dge zur Théorie der Dampfe {Annales de Poggendorfff 1860).

La quantité de vapeur qui existe à la fin de la délente est

Imaginons dans un réservoir l'unité de poids d'un mélange d'eau et de vapeur sous la pression de 5 atmosphères; soil ^, = 0,974 la quantité spécifique de vapeur : quel doit être le volume du réservoir vide d'air, pour que la détente amenda pression à 2 atmosphères? Quels seront le volume total cet la quantité spécifique de vapeur a: à la fin de l'opération?

En nous servant des valeurs numériques de l'exemple précédent, on trouve, au moyen de l'équation (299),

Les volumes initial et final sont

(;,= o'^%354i et (^=o%85i5; le volume du réservoir vide doit donc être

Puisque ;r>:r, , il y a vaporisation, comme on l'avall prévu.

Si nous avions choisi le volume du réservoir de manière que la pression finale fût réduite à une atmosphère, on aurait trouvé de la même manière x = i pour la quantité spéciflque de vapeur à la fin de l'opération, et le volume de ce réservoir aurait dû être ^— ('i = i"''=,2963. Dans cette opération, toute l'eau qui existait au commencement serait réduite encore en vapeur; la vapeur serait surchauffée si l'on avait donné au réservoir vide une capacité supérieure à i"*',2963.

Problème IL — On fait communiquer entre eux deux réservoirs qui contiennent des mélanges de vapeur et de liquide de la même espèce; on demande quel est l'état final de la masse totale, en supposant qu'au commencement les quantités spécifiques de vapeur et les pressions soient di^é rentes dans les deux réservoirs, et qu'il n'y ait ni addition ni soustraction de chaleur.

CHANGEMENTS NON RÉYERSIBLES. 869

Le réservoir A (Jig, 38) contient M, kilogrammes de mélange, dont une partie Mi Xi est à l'état de vapeur et Faulre M, (i — ^, ) à rélal de liquide ; soient Vi le volume, p, la pres-

Fig. 38.

sion et U la température du mélange (le piston K, qui se trouve dans le réservoir A sur la figure, est supposé fixe pour le moment). Le réservoir B, qui est d'abord séparé du précédent au moyen du robinet a, contient Mj x^ kilogrammes de vapeur et M2(i — Xi) kilogrammes de liquide sous la pression Pi et à la température U; son volume est Vj. Nous supposons expressément que les deux réservoirs renferment des mélanges de vapeur et de liquide de même espèce, parce qu'on ne peut résoudre la question qu'à celte condition, lorsqu'on s'appuie sur les résultats d'expériences que l'on possède aujourd'hui.

Lorsqu'on ouvre le robinet a, les deux masses se mélangent; la température et la pression deviennent égales de part et d'autre; la quantité spécifique de la vapeur sera différente de Xt et de x^y les deux réservoirs n'en formant plus qu'un seul; en la désignant par x, on a finalement dans tout l'espace (Mi -+- Mj)^ kilogrammes de vapeur et (M, H- Majfi — ^) kilogrammes de liquide à la température t et sous la pression p. Nous cherchons les valeurs de x, t et p.

370 TB0I8IÈHB SECTION. — DES T4PBURS.

Les volumes des réservoirs A et B ont respectivement pour expressions

Vî = Ma (^a Ma -h O").

Après le mélange, le volume de toute la masse est

V = (M, ■4-Ma)(^M-f-(7).

Comme le volume total ne change pas, on a

V = V.-^Va; d'où l'on tire finalement

'(3oo) {Mi -h M2) xu = Mi XtUi -h Mi XjUu

équation qui renferme, comme inconnues, la quantité spécifique de vapeur x et la quantité m, fonction de la température. Voici une seconde équation : soit U. le travail intérieur de l'unité de poids du liquide à o degré ; le travail intérieur Ui de la masse Mt avant le mélange sera en unités de chaleur, d'après l'équation (220),

AU, = Ml ( AUo -hqi-i- Xi p,),

et le travail intérieur Ua de la masse Ma sera, par analogie,

■ AU, = Ma (AUo H- Ça -H ^a Pa).

Après le mélange, le travail intérieur U de toute la masse est

AU = (M, + Ma) ( AU, -f. g -f- xp) ;

mais, comme il n'y a ni addition ni soustraction de chaleur, ni perte nî gain de travail extérieur, il faut que le travail intérieur de la masse totale soit le même avant et après le mélange, de sorte que

U = U,-t-Ua.

De cette dernière équation, nous déduisons, en nous se^ vant des trois équations qui la précèdent,

(3oi) (M|-+-Ma)(g-^-:rp)I=M,(g,-4- J?,p,)4-Ma(^a -+-^apj). Cette équation jointe à l'équation (3oo) résout le problème

M proposé. On remarquera qu'il suffit d'avoir le rapport rj^; en

le désignant par k et en éliminant x entre les équations (3oo) et (3oi), on trouve

(302) (n-Ar)g-+-(a7,M,+ A-^jtt,)-=(?«-+-'^iPi)+^(9j-+-«^»Pî)-

Cette équation peut servir à déterminer la température t et, par suite, la pression finale />; la quantité spécifique de vapeur a: se trouve, d'après Téquation (3oo), au moyen de la formule

(303) (1 H- k)xu = Xi M, H- kXiUi.

Supposons qu'il y ait, dans le réservoir A, Mi kilogrammes <ie vapeur d'eau saturée et sèche sous une pression de i**"",5, et, dans le réservoir B, Ma== 24,38oMi kilogrammes d'eau et <ie vapeur sous la pression de yq d'atmosphère; soit enfin jct = 0,0095 la quantité spécifique de vapeur dans ce réservoir; on a /r = 24,38o, et les équations (3o2) et ( 3o3) donnent

après qu'on y a introduit les nombres de la Table X

g, = ii2,4i, pi=487,oi, «, = 1,1258

pour la pression de i^^^jS, et

^3 = 46,28, pj = 538,85, Ma=i4,55o8

pour la pression de o"*",i.

La première de ces deux équations conduit, après quelques tâtonnements, à l'aide de la Table X, à la pression finale p ==o*'",2, et à la température finale / = 6o",45> car, si l'on

met dans cette- équation les valeurs q= 60,59 et - = 69,95,

qui correspondent à cette pression, son premier membre devient 72,98. La valeur de u qui correspond à cette température est M = 7,5421, et, par suite, on a pour la quantité

spécifique de la vapeur répandue à la fin dans loul l'espace ^ = o,o235.

Au commencement, le poids de la vapeur conieniîe en A était Ml Xi = Ml et celui de l'espace B était Ma x^ = 24,38oM, xj ou o,23i6M,; par suite, le poids total de la vapeur était 1, 23i[6Mi.

Après le mélange, le poids de la vapeur contenue dans les deux réservoirs réunis est (Mi -+- M2)^ = o,5964Mi.

Le volume du réservoir A est d'ailleurs

Vi=:M,(^, M, H- 0-)=:l"»%I268M,,

et celui du réservoir B est

V, = M, (^, W2 -h 0-) = 3»% 3945M, ; par suite, le rapport

L'exemple que nous venons de traiter indique ce qui se passe dans le condenseur d'une machine à vapeur. Le réservoir A représente le cylindre dans lequel la pression est de i^'^jô; le réservoir Best le condenseur, .dont la capacité est ordinairement triple de celle du cylindre, et dans lequel il y a, d'après notre hypothèse, de la vapeur et de l'eau sous une pression de o'»^°',i. Au moment où l'on fait communiquer le cylindre avec le condenseur, la pression du condenseur monte subitement à o'*",2, ou mieux la pression dans ces deux espaces devient 0*^°*, 2, pourvu que les proportions d'eau et de vapeur soient celles que nous venons de supposer. On observe, en effet, une augmentation subite de pression au manomètre du condenseur au moment où celui-ci communique avec le cylindre; mais, comme le condenseur est refroidi par un courant d'eau, cette pression ne se maintient pas, et elle redescend très- rapidement, comme l'indiquent les oscillations du manomètre. Nous reviendrons plus loin sur cette importante question.

Reprenons notre problème sous un autre point de vue.

Supposons qu'on envoie de la chaleur aux réservoirs après leur réunion, quand le mélange s*esl effectué, jusqu'à ce que la pression commune soii élevée éephpi, /ii étant la pression initiale du réservoir A (nous admettons que A est celui des réservoirs dans lequel la pression initiale est la plus grande). L'introduction de la chaleur se fait ici sous le volume constant V, -+• V„ depuis la température / jusqu'à ia température /„ et la quantité spécifique de vapeur après le mélange X doit maintenant être considérée comme connue ; on trouve immédiatement la quantité de chaleur à fournir Q, d'après l'équation (262), p. 339; on a, de cette manière,

ou bien

Q=:(M, 4-M,) Ui — 9 -f-^w^ — ^P •

Remplaçons dans cette équation les quantités xu et xp par leurs valeurs déduites respectivement des équations (3oo) et (Soi); il vient alors, après réduction,

(3o4) Q = M, ïq^-q.-hx.u, (^ --;)]•

Cette quantité de chaleur est entièrement indépendante de la masse Mi qui se trouve dans le réservoir A, et elle est identique à la quantité de chaleur qu'il aurait fallu envoyer au réservoir B avant le mélange pour y faire monter la pression de Pi h pi. On pouvait, du reste, prévoir ce résultat; car si nous avions opéré le mélange seulement après avoir ainsi échauffé le réservoir B, l'état final eût été évidemment le même que dans le premier cas, où l'on a fait le mélange avant d'introduire la quantité de chaleur Q.

C'est avec intention que j'ai présenté le problème sous ce second point de vue; j'ai voulu faire voir que l'on peut introduire indifféremment dans l'un ou l'autre des deux réservoirs la quantité de chaleur Q, si l'on veut qu'il y ait finalement dans les deux espaces la pression /?, qui existait d'abord en A,

874 TROISifeME SECTION. — DBS YAPEURS.

et qu'il est indifférent que Tiniroductiôn de la chaleur se fasse avant ou après le mélange.

Ces résultais ont une grande importance : ils nous servironi à trouver rînfluence de l'espace nuisible du cylindre dans la machine à vapeur. Dans cette application, on doit assimiler la chaudière à vapeur au réservoir A et l'espace nuisible du cylindre au réservoir B. Ces deux espaces contiennent de lavapeur sous des pressions différentes; au moment où s'ouvre le tuyau de communication, le piston est presque immobile, car il se trouve vers la fin de sa course. Soient maintenant Mjla masse du mélange de vapeur et de liquide contenu dans l'espace nuisible au moment de l'ouverture, U sa température et /, la température de la chaudière; la formule (3o4) délermine la quantité de chaleur qu'il faut fournir à celle-ci pour que l'espace nuisible se remplisse de vapeur à la pression de la chaudière; oiT peut même, comme je le montrerai plus lard, calculer par la même formule la quantité de vapeur qui passe dans l'espace nuisible.

Cette question offre encore de l'intérêt aux ingénieurs sous un autre point de vue.

Supposons qu'après le mélange, lorsque l'équilibre est rétabli dans les deux réservoirs A et B, on veuille enlever à toute la masse la quantité de chaleur nécessaire pour faire descendre la pression de p\ à /is, c'est-à-dire à la pression qui existait auparavant dans le réservoir B. En suivant la même marche que précédemment, on trouve qu'il faut soustraire la quantité de chaleur :

On peut imaginer qu'on ait soustrait cette chaleur d'abord du réservoir A, ce qui aurait réduit la pression de />i à />j, et qu'on ait effectué le mélange seulement après cette opération.

Problème III. — Théorie des condenseurs à parois refroidies extérieurement.

Soit A (Jig. 39) le cylindre à vapeur dans lequel se meut un

GHAIVGEllEIfTS NON RÉYERSIBLBS. 3']5

piston K qui se trouve actuellement à la fin de sa course; ce cylindre communique avec le condenseur B au moyen d'un

Fig. 39.

tuyau muni d'un robinet a, que nous supposons d'abord fermé. Le cylindre contient M, kilogrammes d'eau mêlée de vapeur sous la pression pi, et le condenseur contient M3 kilogrammes d'un mélange semblable sous la pression /I2; soient ûPi et Xi les quantités spécifiques de vapeur dans le cylindre et dans le condenseur. Voici comment les choses se passent : on refroidit extérieurement la paroi du condenseur au moyen . d'un courant d'eau froide; on ouvre le robinet, et on mélange les deux masses. On soustrait ensuite de la chaleur pour ramener la pression à celle du condenseur, et pour la maintenir constante pendant que le piston se rend à l'autre extrémité de sa course et chasse dans le condenseur, sous une pression constante pi, tout le mélange de vapeur et de liquide resté dans le cylindre.

Cherchons la quantité de chaleur qu'il faut enlever par coup de piston au condenseur pour que la pression commune reste constante et égale à celle du condenseur, et aussi la masse de vapeur et de liquide qui se trouve dans le condenseur à la fin de l'opération. Au moment de l'ouverture du robinet, la pression prend dans les deux espaces la valeur moyenne p, et la quahtité spécifique de la vapeur est x. Le piston est presque

immobile; alors la chaleur est soustraite d'abord sous un vo* lumea peu près constant. Cette quantité de chaleur est, d'après réquation ( 3o4' ),

(305) Q. = M. [g,-g, + :r.wY£î-g)l,

et la quantité spécifique de vapeur x\ commune aux deux espaces est, après cette soustraction de chaleur, conformément à réquation (261), p. 339,

Le piston K se rend ensuite à l'autre extrémité de sa course; dans cette opération, la masse totale Mi-f-Mi, que nous désignerons par M, est comprimée sous une pression constante />» et son volume est réduit de Vi -f Va à V,.

En désignant par x\ la quantité spécifique de la vapeur à la fin de cette opération, on a, pour la quantité de chaleur Q» qu'il faut soustraire,

Q,zz=Mr,(a7;-0, pour les volumes initial et final,

V,-hV,=:M(j:;w,-h(T),

et, par suite, pour leur différence, c'est-à-dire pour la diminution de volume,

(307) V, = mm,(x; — jtJ).

En éliminant M entre cette équation et celle qui donne Qi, on a

Introduisons le volume du cylindre Vi =M,(^i Wi -H d) et négligeons <r, ce qui est toujours permis à cause de la peli-

CHANGEMENTS NON RÉTERSIBLBS. 877

tesse de cette quantité, nous aurons

Q, = Ml j?i Mi ~ = Ml Xi Mi ( ~ H- A P2 I •

On conclut de là la quantité totale de chaleur Q qu'il faut soustraire du condenseur pendant une course du piston :

ou bien

Q = M, g, — ga 4- ^1 wi ( ~ -+- ^P^ ) > ou enfin

(308) Q=:Mi [g, — g^-h^, (pi4- A/?, w,)].

Dans les condenseurs refroidis extérieurement, on fait couler de l'eau froide le long de la surface; elle soustrait de la chaleur, et sa température s'élève de /© à t\ degrés. Soit M« le poids de cette eau par course du piston; la quantité de cha- ' leur qui correspond à l'élévation de température t\ — /« est, d'après les notations adoptées 0 = Mo(g',--- g.)> et la quantité Mo sera donnée par l'équatimi suivante, qu'on obtient en portant la valeur Q dans l'équation (3o8) :

La quantité spécifique x"^ de la vapeur qui se trouve dans le condenseur se détermine au moyen de l'équation (807 ), dans laquelle on fait Vi = Mi x^ m,, en se servant en même temps de l'équation (3o6) pour obtenir la valeur de x\ . On a alors

M1/2 ^î = MOTM — Ml Xi M,.

Remplaçons dans cette équation M par M, -h M, et la quantité MxM par sa valeur tirée de l'équation (3oo), nous aurons ,

(3io) (M, -h Ui) xl =1^:, X2.

Cette équation montre qu'à la fin de l'opération la quantité spécifique de la vapeur dans le condenseur a changé, mais que le poids total (Mi -hMa)^? est le même qu'avant la réu-

378 TROISIËKB SEGTIOlf. — DES TAPEURS.

nion du condenseur avec le cylindre, alors que le poids de la vapeur contenue dans le oondenseur était Ma ^3; la masse M„ qui remplissait d'abord le cylindre à l'état d'un mélange de liquide et de vapeur sous la pression /ii, se trouve maintenant dans le condenseur à l'état d'eau à la température U. La pompe à air d'une machine à vapeur a donc uniquement pour objet, lorsqu'on se sert d'un condenseur refroidi extérieurement, d'extraire du condenseur Mi kilogrammes d'eau par coup de piston, et la pompe d'alimentation doit les ramener à la chaudière. D'après cela, une machine à vapeur ainsi disposée serait une msichine thermique complètement fermée, s'il n'y avait pas de pertes de vapeur et d'eau. Dans les applications de l'équation (Sog), on peut prendre pour la chaleur de l'eau q = ct, et faire c = i. Supposons, en outre, que la vapeur du cylindre ne contienne pas d'eau, c'est-à-dire que Xi = i; la quantité totale de chaleur >, peut être représentée, d'après les remarques de la page 275, par l'expression

A, = g, -h p, -f- Apt Ux ;

on trouve alors, pour la quotité d'eau nécessaire au refroidissement,

(3ii) M.= ^'- ''-/"■ ^^'--P'^M..

Si l'on néglige la quantité A.m, (p^ — />,), qui est petite, on a (3i2) M. = ^lî^'M,.

C'est l'expression dont on s'est servi jusqu'à présent dans le calcul des machines à vapeur, en supposant, avec Watt, que la chaleur totale X soit constante et égale à 64o.

Le procédé employé jusqu'ici pour obtenir cette formule est tout à fait inadmissible d'après les principes de la théorie mécanique de la chaleur. Les raisonnements que je viens de faire montrent cependant qu'on peut la considérer comme une formule approchée. Une détermination rigoureuse importe peu ici, parce qu'on désire seulement savoir dans le

calcul d'une machine à vapeur la valeur minimum de la quan* tité d'eau nécessaire au refroidissement. £n réalité, on ne construit des machines à condensation que dans le cas où il y a plus d'eau de condensation que n'en demande le calcul. - Supposons qu'il y ait une pression moyenne />a = o**",i dans le condenseur d'une machine à vapeur; que l'eau de condensation arrive à la température /,= i5** et qu'elle quitte la surface du condenseur à la température ^^ = 35"; supposons, en outre, qu'au moment de la réunion du condenseur et du cylindre, ce dernier contienne de la vapeur et du liquide sous une pression de i*'",5; je suppose à dessein que cette pression soit assez élevée pour mieux faire ressortir la différence des résultais déduits des formules précédentes. Nous avons ici, d'après la Table X,

5ir=rll2,4l, pi = 487>OI, M, = 1,1258, ^2 = 46,28.

La Table I, première partie, donne

g, =:i5,oo5, g'^ = 35,087,

et, d'après l'équation (309),

Mo = (3,3oi H- 24,439^«)Mi.

Si la quantité spécifique de la vapeur dans le cylindre est Xx = 0,80, il vient

Mo= 22,852 Ml.

Dans le cas où x, = i, c'est-à-dire où la vapeur est sècjie,

M«=27,74oM,;

alors la formule approchée (3ii) donne, la température étant dans le condenseur U = 46^ 21,

Mo = 27, 79 M„

tandis qu'on déduit de la formule usitée (3i2), si Ton prend, avec Watt, h = 640,

Ma = 29, 69 M,.

On voit que cette valeur s'écarte notablement de la valeur

38o TROISIÈME SECTION. — DBS TAPEURS.

exacte. Cela vient de ce que rexpression Aa, (p, — /?j) de réquation (3ii) n'est pas assez petite pour être supprimée sans examen; mais on peut toujours supprimer le terme ku^pi. Dans cette hypothèse, la formule plus exacte (3ii) donne, avec j?, = i ,

^1 H- pi — t

Dans rexemple actuel, cette formule donne Mo= 27,66M,, valeur bien plus exacte que la précédente.

La dernière formule est aussi simple que celle qu'on a employée jusqu'à présent, et elle est certainement préférable.

Problème IV. — Théorie des condenseurs refroidis par injection.

Soient toujours A (Jig. ^o) le cylindre à vapeur, B le condenseur, a le robinet qui les réunit, M, et Ma les poids du mé-

Fig. 4o.

lange de vapeur et d'eau contenus respectivement dans ces deux espaces. Le condenseur B est mis en communication, au moyen d*un tuyau muni d'un robinet b, avec un espace cylindrique C contenant Mo kilogrammes d'eau froide à la tempe-

rature /•; sur la surface de cette eau repose un piston dont la pression />• est celle de Tatmosphère.

Lorsque les trois espaces se trouvent séparés, on a, en conservant les notations du problème précédent, pour le travail intérieur des masses contenues dans le cylindre, dans le condenseur et dans le réservoir C respectivement,

(AUo-hg, -4-a:, p,)M„ (AUg -4- ^2 4- :r, pa ) Ma, (AU.-f-?.)M..

Nous déduisons de là, pour le travail total intérieur U des trois masses séparées, en posant Mi -h Ma -f- M. = M,

(3i4) AU = MAU,-f-M«5,-4-M, (5, + ^, p,)-f-M2(g,-h jTap,),

ce travail étant exprimé en unités de chaleur.

Ouvrons maintenant les deux robinets a et 6; les deux masses Mi et Ma se mêleront, et la pression prendra une valeur moyenne p. Le piston K commence à se mouvoir très-lentement; mais pendant ce temps de Feau froide arrive du cylindre C; nous supposons que les choses soient réglées de façon que la pression descende rapidement jusqu'à la pression du condenseur /?a, et soit maintenue à cette valeur pendant que les deux pistons descendent dans les cylindres À et C. Lorsqu'ils sont arrivés à la fin de leurs courses, les masses Mi et Mo se trouvent dans le condenseur, et le poids total de h masse de vapeur et de liquide est M = Mi-f-M2-f-M«. Le poids Mo deTeau d'injection est choisi de manière que, finalement, après la réunion des masses dans le condenseur, la pression ait repris la valeur/>a; le travail intérieur de la masse totale aura pour expression, en unités de chaleur,

AU' = M(AUo-hg,+-^;pa),

où x\ représente la quantité spécifique de la vapeur à Tétat final.

La quantité U' n'est pas identique à la quantité U de l'équation (3i4), c'est-à-dire au travail intérieur avant le mélange,

car la masse totale a gagné pendant Topération un travail extérieur, dont la valeur, exprimée en unités de chaleur, doit être retranchée de la quantité AU' pour qu'on reproduise la quantité AU. Ce travail peut se déterminer facilement. Le piston K a parcouru sous une pression constante pt le chemin Mi(^iMi-f a); le travail qui y correspond est, en unités de chaleur,

Le piston C a parcouru Tespace M« o- sous la pression atmosphérique Pc et le travail qui s'y rapporte, évalué en unités

de chaleur, est

AMo/^oo*;

en retranchant la somme de ces deux travaux de la valeur de AU' écrite ci-dessus, on doit reproduire la valeur initiale U du travail intérieur; nous obtenons ainsi

AU = M(AUtf-f-îa+^'2Pa)— AMi/>î(^i MiH- 0-)— AM./?»0".

Égalons les deux valeurs de AU fournies par cette dernièlre équation et par Téquation (3i4)> nous aurons, pour la quantité d'eau d'injection nécessaire,

*"~ q-i — Ço — ApoO"

On peut simplifier cette expression. Le volume V, du condenseur se détermine à l'aide de l'eau qui s'y trouve avant l'injection; on a

Vj=M2(:r,w,-h <7);

en nous servant de la masse qui s'y trouve après l'opération, nous trouvons cette autre expression :

V,=:M(^'jl/,"l- 0-).

La quantité o-, volume spécifique de l'eau, peut être négligée dans les formules précédentes à cause de sa petitesse; 5^ on a donc, en égalant les valeurs précédentes de V,,

CHANGEMENTS NON RÉYERSIBLES. 383

Le premier membre de celle équation représenle le poids de la vapeur du condenseur à la fin, tandis que MiX, donne le poids de la vapeur au commencement de Topéralion ; le poids de la vapeur du condenseur est donc le même au commencement et à la fin. II en résulte que la masse totale (Mo-f- M,), qui a été refoulée dans le condenseur, y reste à Vétat liquide^ et doit en être expulsée à Taide de la pompe à air. Cette pompe doit chasser aussi du condenseur l'air qui se trouve dans Teau d'injection, et que celte eau abandonne puisqu'elle prend une température plus élevée et qu'elle supporte une pression plus faible. L'air contenu dans le condenseur n'a d'autre effet que d'augmenter légèrement la valeur de la pression p^* Dans le calcul d'une machine à vapeur, on n'a à se préoccuper de cet air que pour les dimensions de la pompe à air : cette pompe a donc seulement pour objet d'extraire du condenseur l'air, l'eau d'injeciion et l'eau qui provient de la liquéfaction de la vapeur; mais elle ne sert nullement, comme on l'a supposé jusqu'ici dans le calcul des appareils de condensation, à retirer aussi de la vapeur du condenseur.

Mettons maintenant MtXt à la place de Mx', dans l'expression qui fournit Mo, et négligeons les tefmes qui contiennent 0-; nous aurons alors l'équation simplifiée

(3i5) g.-g,4-^.(p.-i-Ap.i.0M

qui coïncide avec celle qui nous a donné la quantité d'eau nécessaire pour un refroidissement extérieur (3og); elle en diffère uniquement par la quantité q\, qui remplace au numérateur la quantité q^. Cette différence tient à ce que, dans le refroidissement par la surface, l'eau ne s'écoule pas, en généraly avec la température U du condenseur, mais dans la plupart des cas avec une température plus basse /',, comme cela a été indiqué plus haut.

Cette formule peut encore être simplifiée dans les applications. Prenons la chaleur spécifique de l'eau c==i, alors on a

généralement q =^t; négligeons aussi le terme A/?j Ui qui influe peu» nous aurons alors

On fera aussi ordinairement ^i = i, c'est-à-dire on supposera que le cylindre contienne au commencement de la vapeur sèche. La somme g, -f- pi représente d'ailleurs, d'après les indications de la page 262, la chaleur de la vapeur J,. Ce que nous avons dit en étudiant les condenseurs refroidis extérieurement, relativement à la comparaison des formules précédentes avec celles que Ton trouve dans les ouvrages publiés jusqu'à présent sur la théorie des machines, doit être répété ici.

Lorsqu'on pose ^1 = 1, et lorsqu'on remplace p parla formule empirique de la page 278, on trouve approximativement

Dans les machines à vapeur à condensation, la valeur de /i est comprise à peu près entre 80 et 100 degrés; en adoptant la valeur moyenne /i = 95°, on trouve, comme dernière approximation,

On ne peut pousser plus loin les simplifications.

Dans la formule dont on s'est servi pendant longtemps, on prenait pour la constante le nombre 640 au lieu de 595.

Posons, comme dans le problème précédent, pour la pression initiale delà vapeur, /ii^i"*"", 5; pour la pression dans le condenseur, pi= o"*'",i; et pour la température initiale de l'eau d'injection, to = i5^; alors la formule (3i5) donne

Mo = ( 2 , 1 1 4 H- 1 5 , 65 7 ;r, ) M, .

On en déduira, pour Xi= 0,8,

Mo= i4,64M,,

et pourx, = i,

M. = i7î77Mi.

Pour le même cas, les formules approchées (3i6) et (817) donneni respectivement M,=r i7,7oM, et i7,58M„ tandis que l'ancienne formule (3i 2) conduit à la valeur M„= ig^osM,, qui s'éloigne beaucoup de la valeur exacte, et qui, par conséquent, doit être abandonnée.

Problème V. — Étude de Vinjecteur Giffard,

Considérons d'abord l'appareil représenté dans Xdifig.^i; il se compose d'un cylindre A qui est muni d'un piston, et dans

Fig. 4i.

3lx J^ ^

lequel se trouvent de l'eau et de la vapeur sous la pression pi et à la température t^ ; la quantité de vapeur contenue dans l'unité de poids du mélange est x,. Le cylindre A est muni d'un tuyau d'écoulement conique, dont l'orifice F se trouve dans rintérieur d'un manchon D portant un autre tuyau H, qui débouche en F, dans l'atmosphère. Le manchon D communique, à l'aide d'un tuyau, avec un réservoir C, dans lequel il y a de l'eau froide à la température /o, et sous la pression atmosphérique p^. Supposons que les réservoirs A et C soient d'abord fermés au moyen des robinets a et 6; si l'on ouvrait ces deux robinets, de la vapeur s'échapperait de l'orifice F, mais elle serait immédiatement condensée par l'eau froide qui s'écoulerait du vase C; il s'échapperait donc de l'orifice F, un mélange d'eau venant des deux réservoirs. Nous supposerons, dans la suite, que la vapeur sorte du cylindre A sous la pres- IL 25

sion constante /?i, c'est-à-dire que le piston de ce cylindre se meuve de manière que cette pression soit maintenue, et que le niveau soit entretenu dans le réservoir C à une hauteur constante h au-dessus de Taxe du tuyau H. Le jet composé du mélange de Teau froide et de la vapeur condensée est reçu par un autre tuyau I, et conduit dans un second cylindreB, où il repousse un piston en surmontant une pression constante Pi, Nous allons examiner cet appareil, et nous montrerons ensuite comment on peut passer de là à l'explication de Titijecteur Giffard.

Nous décomposerons les phénomènes en deux parties, en supprimant d'abord, par la pensée, le cylindreB et le tuyau 1, et en faisant écouler dans l'air le jet par l'orifice F,; soient /j la température et w la vitesse avec lesquelles l'eau quitte cet orifice. Supposons que M, soit le poids de liquide et de vapeur qui sort du cylindre A dans une seconde, et que M. soit le poids de l'eau qui arrive du cylindre C pendant le même temps; (M, -h M,)''" d'eau sortiront dans une seconde de l'orifice F,.

Utf désignant toujours le travail intérieur de l'unité de poids de l'eau à la température o degré, le travail intérieur des M, kilogrammes d'eau avant le mélange est, d'après l'équation (220),

= Uo 4- ~ [qx + Xxp,] 9

et celui du poids Mo est

M« ( Uo+ -^?o

Le travail intérieur qui se trouve avant le mélange dans l'ensemble des deux masses M, et Mo est, par conséquent,

( 3i 8) u = { M. -4- Mo ) Uo + ^ ( g, -+- ^. p, ) -4- ^ 9o.

La quantité totale d'eau (Mi -f- Mo) kilogrammes a la température /'a, au moment où elle quitte l'orifice Fi; son travail inté-

rieur est donc

(M. + Mo)(u.+ ^^

Mais, comme elle a en même temps la vitesse w, elle possède encore, sous forme de force vive, le travail

(M.-hM.)— ^

que nous pouvons considérer comme un excès de travail intérieur.

Ajoutons les deux derniers travaux et retranchons-en la valeur de U donnée par Téquation (3i8), nous trouverons alors l'excès du travail intérieur de tout le mélange au moment où il quitte le tuyau d'écoulement sur celui que les deux masses * possèdent avant leur réunion, et, si nous désignons cet excès

par la lettre U, nous aurons

(319) AU = (M, 4-M.) (A — -f-g'J —M.(9i-4-^.p,) — M,</..

Mais, comme la masse totale n'a ni reçu ni cédé de la chaleur, cet excès de travail ne peut provenir que d'un gain de travail extérieur.

La masse qui se trouve dans le cylindre A a gagné le travail

parce que le piston y a parcouru l'espace M,(;r, m, -t- c) sous la pression constante /?i. D'un autre côté, la masse Mo supporte dans le réservoir C la pression atmosphérique et descend d'une hauteur mesurée par A; ce mouvement donne lieu à un gain

de travail

L, = M» ( A -4- po 0" ).

Enfin la masse Mi4-Mo, dont le volume à la sortie du tuyau H est (Mi -f- Mo)(J, surmonte la pression extérieure de l'atmosphère; cela correspond à une perte de travail

£3= — (M, -hM,)poflr.

On déduit de là, pour le travail total extérieur, que la masse

a gagné

Ml Pi Xt Ut -h Mi(T{pi — po) 4- Mo A,

et celle quanlilé doit être égale à l'excès de travail U déterminé

par l'équation (3 19). En y remplaçant U par cette valeur, on trouve, en ayant égard à la relation ri=pt -{- Apt Wi ,

(M.-4.Mo)(Ag-4-<y;)

= M, [^1 -hr,^, -f- A(t(/?, — po)] -4-Mo(AA-4- g,).

Dans l'injecteur Giffard, le niveau de l'eau du réservoir C est ordinairement situé au-dessous de l'appareil ; si l'on voulait faire l'expérience précédente avec cet injecleur, c'està-dire si le jet d'eau devait s'élancer de l'orifice F» directement dans l'air, il suffirait de prendre simplement h avec le signe ( — ). A désignerait alors la hauteur à laquelle l'appareil devrait aspirer l'eau.

La formule fondamentale précédente donne lieu à une remarque importante; elle montre qu'on pourrait se servir de l'injecteur Giffard pour déterminer, par une méthode nouvelle, la chaleur totale X, de la vapeur qui correspond à la pression j9i et à la température ^i. Imaginons qu'on recueille l'eau qui s'écoule de l'orifice F, dans un réservoir oii elle rentre au

repos; le travail — de l'unité de poids se transforme alors

en chaleur. La température étant finalement t^ dans ce réservoir et la chaleur correspondante du liquide étant gs, on a évidemment la relation

Portons cette valeur dans l'équation (32o), et supposons que le cylindre A fournisse de la vapeur saturée et sèche, c'est-à-dire que ^, = 1,; nous pourrons alors remplacer la quantité q^ + r, par la chaleur totale h, et nous aurons

(321) (M,-*-M.)g3=M, [Xi-4-A<7(/?i-/?.)]H-M.(AA-h9*).

Il faut encore prendre h négativement lorsqu'il y a aspiration à la hauteur h. Toutes les quantités qui entrent dans cette formule peuvent, à l'exception de X,, se déterminer par Tobservaiion. En effet, si nous remplaçons le cylindre A par une chaudière à vapeur, dans laquelle la vaporisation se fait d'une manière calme et uniforme, sous une pression connue /?,, nous pouvons admettre que la vapeur qui s'écoule est sèche. Laissons-la sortir pendant un certain temps, et évaluons le poids M. et la température ^o de l'eau que l'appareil aspire, ainsi que le poids Mi -f- M© et la température /s de l'eau qui s'écoule de l'orifice Fi, et que l'on recueille; nous pouvons alors calculer facilement la chaleur totale X à l'aide de la formule précédente, car les chaleurs du liquide q^ et js, qui correspondent aux températures U et ^a, peuvent se déterminer d'après la formule de M. Regnault (190), p. 254.

Complétons maintenant notre appareil en imaginant que nous rétablissions le cylindre B et le tuyau I (Jig. 40« Le jet d'eau qui sort de l'orifice F, entre alors dans le tuyau I avec une vitesse w\ il possède en entrant la température t\y et rentre au repos dans l'intérieur du cylindre. Soit /, la température qui y règne; le travail intérieur de l'unité de poids d'eau diminue de la quantité

Comme il n'y a ni introduction ni soustraction de chaleur, ce travail se transforme en travail extérieur. L'unité de poids de l'eau pénètre dans le cylindre B en surmontant une pression constante Pj, et effectue le travail /^ao-; mais, comme cette eau supporte en dehors du tuyau I la pression atmosphérique p„ elle absorbe le travail /loo*; le travail total extérieur cédé est donc (pi — p9)(r pour l'unité de poids d'eau, et cette quantité est égale à l'expression écrite ci-dessus. Égalons ces deux valeurs et réduisons, nous aurons

(322) A — -h 5; = jTa -4- A <7 (/?2 — po),

qui constitue la deuxième équation fondamentale du problème proposé.

Portons celte valeur de A — -4- q\ dans l'équation (820),

nous trouverons pour l'équation fondamentale de Tinjecleur Giffard,

( =Mi[5f, 4- X, r, 4- Ao-(/?, — ^•)]-f-M,(9« — AA).

On prendra h négativement, parce que, dans cet appareil, on aspire généralement Teau froide d'alimentation.

Lorsque l'injecleur alimente la chaudière même qui lui fournit la vapeur, on a aussi p^ =pit et l'équation précédente donne alors le rapport du poids de l'eau d'alimentation M« au poids du mélange d'eau et de vapeur qu'il est nécessaire d'introduire dans la chaudière pendant le même temps; l'expression de ce rapport est

(324) Mî— ?. — ?2H-^. n

M, Çt — q. -^ A[h -h (T (pt — p.)]

Cette nouvelle formule, à l'aide de laquelle nous pouvons juger les effets produits par un injecteur, conduit à des résultats très-remarquables et très-importants dans les applications. Il est vrai qu'elle ne nous permet pas de développer des formules et des règles d'après lesquelles les différentes parties d'un injecteur puissent être déterminées, quand on exige de lui un effet donné; mais elle nous donne le moyen de répondre à d'autres questions qu'on n'a pas pu résoudre jusqu'ici. Remarquons d'abord que le terme A [A -h o-(pi — /?,)], qui est très-petit, peut être négligé; on conclut de là que la hauteur

d'aspiration h influe extrêmement peu sur le rapport tj^*

Cela n'empêche cependant pas que cette hauteur n'ait une grande influence sur le fonctionnement de l'appareil, et notamment sur sa mise en marche. Cette hauteur dépendra surtout de la pression qui règne dans l'espace D; notre formule ne nous apprend absolun^ent rien sur cette pression et sur ce

CHANGEMENTS NON KÉYERSIBLES. 89 1

qui se passe en général dans cet espace; elle montre seule-

ment que la hauteur A influe très-peu sur le rapport ^j quand

la marche de l'appareil est normale.

La formule (324) devient, quand on efface le terme négligeable,

Le premier membre de cette équation représente la quantité de chaleur qu'il faut fournir à Teau d'alimentation pour la porter de sa température initiale /« à la température ^, qu'elle possède au moment de son entrée dans la chaudière, et cette quantité de chaleur est égale, d'après la formule précédente, à celle que céderait une masse Mi de vapeur et de liquide dont la portion M, ^» serait à l'état de vapeur, si cette masse était transformée, par refroidissement sous une pression constante pty en eau liquide à la température ti. En ajoutant aux deux membres de la dernière équation la quantité M, (g^ — q^), on a

(M, -*-Mo)(<72— 5f.) = M, (g, -- ?oH- j:-!/-,).

Mais la différence q^ — ^0 est approximativement proportionnelle à l'accroissement de température ti — /«, et, comme ces deux valeurs de la température ne sont pas élevées, on peut prendre l'unité pour la chaleur spécifique de l'eau, et écrire q^ — ^0 r= /a — /.; on trouve alors

(M, -4-Mo)^/a — ^0) = M,(g, — (/. H-^, r,).

On déduit de là l'élévation de température de l'eau d'alimentation, ainsi que la température ^ que possède l'ensemble de l'eau d'alimentation et de la vapeur condensée que l'injecteur fournit à la chaudière. On a observé attentivement l'accroissement de température U — - U de l'eau d'alimentation dans les expériences faites jusqu'à présent avec l'injecteur, ce qui me permet de comparer les formules précédentes aux résultats de l'expérience. M. Villiers (*) donne, par exemple.

(*) Bulletin de la Société de l'industrie minérale y i. y , iSSg. Voyez aussi Civilingenieury t. VI, p. 3i5, 1860. J'ai déjà étudié à la page 3ii de cette cLernière publication l'injecteur Giffard, en suivant une marche analogue à celle du texte; il est vrai qu'alors je n'ai pas donné autant de détails que dans le texte, et que j'ai fait quelques restrictions que j'ai laissées ici de c<)té.

3^1 TBOISIÈME SECTION. ~ DBS TAPECRS.

les résultats suivants : la hauteur à laquelle Tinjecteur devait aspirer Tcau était de 4 mètres et la tension de la vapeur dans la chaudière de 4**'">25; la température correspondant à celte pression est /i =:i46**,i9; la chaleur du liquide et la chaleur de vaporisation sont ji =: 147 j55 et r, = 5o3,54.

La température initiale de Teau d'alimentation était /o=23s5 et la température du jet tj =z 60*», 5. Par suite, raccroissement de température était t^ — ta= 37**. En faisant le calcul d'après la formule exacte (324), il faudrait prendre les valeurs Ça = 60,64, go = 23,5i, qui correspondent aux températures ti et ^1; le terme que nous avons négligé dans les dernières considérations, mais que nous conservons ici, devient

A[A -f- o-(;ii — /?«)]=o,o89.

La formule (324) donne alors

Ml

Pour déterminer la quantité d'eau que la vapeur de la chaudière entraînait avec elle, on fit entrer le jet de vapeur dans un vase rempli d'une quantité d'eau dont le poids et la température étaient connus; l'augmentation de la température et du poids de celte eau fit alors connaître la quantité d'eau qui était mélangée avec la vapeur. On trouva ainsi que la vapeur était mélangée avec 3,5 pour 100 d'eau; cela donnerait Xi = 0,965. En mettant ce chiffre dans l'équation précédente, on trouve

jjj- =.5,390.

L'observation directe donna, pour le poids de l'eau d'alimentation aspirée, Mo = 85o^*', et, pour celui du mélange de vapeur et d'eau, Mi = 57^**; d'où l'on tire le rapport

Mo .

nombre qui diffère peu de celui qu'on a obtenu parle calcul. U y a, en tout cas, une certaine incertitude dans la détermination

CHANGEMENTS NON RÉVERSIBLES. SgS

de la valeur de^,. Si nous admettons comme exactes les valeurs

observées de M« et M„ la formule précédenie donne, pour le cas actuel» x^ = 0,980, c'est-à-dire 7 pour 100 d'eau entraînée mécaniquement avec la vapeur. La différence est d'ailleurs comparable aux erreurs d'observation, et il résulte de tout ce que nous venons de dire que la proportion de la vapeur or, contenue dans le mélange qui vient de la chaudière exerce une influence considérable sur le calcul et sur l'observation.

L'équation (324) peut donc être considérée comme une des formules fondamentales de l'injecteur; elle ne suffirait cependant pas seule, comme nous l'avons déjà remarqué. Pour avoir une théorie complète de cet appareil, théorie qui montrerait l'influence exercée par les dimensions des diverses pièces, il faudrait établir encore d'autres équations, ce qui exigerait une connaissance plus intime des phénomènes qui se passent dans l'espace D (Jig.^i), 11 faudrait établir, avant tout, une équation qui fut susceptible de faire connaître la pression qui s'exerce dans cet espace. J'ai fait une détermination analogue pour la pompe à jet d'eau de Thomson et pour des appareils semblables (*). C'est seulement quand on connaît cette pression qu'on peut trouver la quantité Mi de vapeur et d'eau qui s'écoule par l'orifice F, au moyen de formules que je donnerai plus loin. On peut déterminer ensuite la quantité d'eau d'alimentation Mo qui arrive du tuyau d'alimentation, avec des dimensions données, et la hauteur-limite à la quelle l'aspiration est encore possible.

J'ai publié ici ces recherches, malgré les lacunes qu'il y a à remplir (car les travaux publiés jusqu'à présent sur l'injecteur ne conduisent qu'à des formules approximatives plus ou moins applicables), parce qu'elles permettent encore de résoudre une autre question pratique très-importante, sur laquelle on a déjà beaucoup discuté : je veux parler de la comparaison de l'injecteur aux autres appareils d'alimentation, tels que les pompes.

(*) Dos Locomotivenblasrohr, Zurich, i863.

Je ferai remarquer immédiatement, parce que cela paraîl évident, que le travail disponible d'une machine à vapeur esi proporiionnel à la quantité de chaleur qui entre dans la chaudière pendant l'unité de temps. La quantité de chaleur qu'absorbe un appareil d'alimentation donne, par suiie, déjà une base pour son appréciation. On peut facilement déterminer cette quantité de chaleur pour Tinjecteur Giffard.

Supposons que Mi soit le poids de vapeur et d'eau que l'injecteur exige par seconde, et M# le poids d'eau d'alimenlalion qu'il fournit à la chaudière pendant ce même temps; alors Mi sera aussi le poids de vapeur et d'eau qui se rend de la chaudière dans la machine, quand le régime est établi.

La quantité spécifique de vapeur du mélange Mi fourni à l'injecteur étiant désignée par Xi , la quantité de vapeur est MiOTi, et elle exige, pour se former dans la chaudière sous une pression constante, la quantité de chaleur M, ^i r, ; mais, dans le même temps, l'injecteur introduit dans la chaudière une qijantité d'eau M© 4- Mi à la température /», et cette quantité doit être portée de nouveau à la température de la chaudière ti pour achever le cycle, ce qui exige une quantité de chaleur (M, -4- Mo)(çi — ^fj). La quantité de chaleur toulequi doit être introduite par seconde dans la chaudière pour l'alimentation seule, quand on emploie l'injecteur, est donc

(325) Q, = M,^, r, -4-(M. -l-Mo)(?i — ?0-

On peut mettre cette équation sous une autre forme. D'après réquation fondamentale (324), on a

i(?i --g«-H^in) = Moj?» — ?o-*- A[A-4-<7(p, — Z?,)]!-

Ajoutons Mo Çi aux deux membres de cette dernière équation,

il vient

Le premier membre de cette équation est égal à Qi, d'après l'équation (325); on a donc pour la quantité de chaleur em-

CHANGliMENTS NON RÉVERSIBLES. SgS

ployée à l'alimentation pendant une seconde, (326) Q, = M. U, — 5. -h A [A -h <7 (/?, — po)]

Cette formule conduit à un résultat extrêmement remarquable; elle montre que la quantité de chaleur employée à Talimentation tlépend du poids de Teau d'alimentation M», c'est-à-dire de la dépense de vapeur de la machine, de la pression et de la température dans la chaudière, de la température initiale /. de l'eau d'alimentation, et de la hauteur h à laquelle on l'élève. Mais la quantité Qi ne dépend ni de la quantité de vapeur que Vinjecteur absorbe y ni de la température /, à laquelle Veau est introduite dans la chaudière, ni des dimensions des diverses pièces de l'appareil. On doit donc exiger uniquement d'un injecieur qu'il introduise dans la chaudière, sans perte de vapeur, le poids d'eau d'alimentation demandé M«; lorsqu'il remplit cette condition, il constitue un appareil parfait, quelle que soil la quantité de vapeur qu'il consomme et quelle que soit la température que possède l'eau qu'il amène dans la chaudière.

Dans l'équation (326), on peut, sans hésitation, négliger le terme A [A 4- c- (/?, — />o)], comme une quantité très-petite relativement à g, — Ço, et la quantité de chaleur que l'injecteur exige par seconde devient alors

(327) Qi = M.(gi — ?«).

Nous examinerons maintenant les effets d'une pompe d'alimentation ordinaire, afin de faire des comparaisons. Nous ferons d'abord abstraction des résistances, du frottement du piston, etc. Supposons que la pompe soit à simple effet; que l'axe du cylindre soit horizontal et qu'il coïncide avec l'axe du tuyau de l'injecteur HI (fig. 4')» ^^ pompe doit d'abord élever l'eau à la même hauteur h que précédemment. Si le coup de piston dure une seconde, il y aura Mp kilogrammes d'eau élevés à la hauteur h pendant l'aspiration; mais, comme la pression atmosphérique p^ ou la colonne d'eau correspondante o-/7oagit dans cette opération dans le sens du mouvement, le travail à dépenser sera M«(A — /?o(y). En revenant à sa pre-

mière posilion, le piston pousse celle quaniité d*eau dans la chaudière en surmontant la pression constante pt de la chaudière; il faut donc qu'il effectue le travail Mo<7/>,. Le travail total que la pompe d'alimentation absorbe par seconde est donc

Mo[A-f-o-(/>i — />o)].

Dans la chaudière, il faut que la température de Teau soii portée de t^ à ^„ ce qui exige une quantité de chaleur

et, pour déterminer toute la chaleur que ralimenlaiion exige avec la pompe, il faudrait y ajouter encore la quantité deciialeur qui correspond au travail que nous venons de déterminer; mais celle quantité de chaleur est, en tout cas, assez petite pour pouvoir être négligée devant M» (ç» — ?•). On conclulde là que les deux appareils d'alimentation, l'injecteur (îiffard et la pompe d'alimentation, exigent, dans des circonstances identiques, la même quantité de chaleur, et que ces deuxappareils se valent théoriquement.

Mais, en se plaçant au point de vue pratique, on doit préférer l'injecteur Giffard, parce que les résistances nuisibles qu'il faui vaincre dans le mouvement de la pompe exercent évidemment une influence beaucoup plus considérable que les pertes qui accompagnent le fonctionnement de l'injecteur; dans ce dernier, les pertes de chaleur par refroidissement extérieur ont seules une certaine importance.

Nous avons encore à déterminer le degré économique de l'injecteur. 11 suffira de comparer la quaniité de chaleur qu'il exige avec la chaleur totale qui entre dans la chaudière dans le même temps. Comme le rapport de ces deux quantités de chaleur influe seul, il n'est pas nécessaire de savoir ici quelle portion de la chaleur totale équivaut au travail disponible. Nous résoudrons cette question un peu plus tard.

Le poids M. de l'eau d'alimentation qui entre dans la chaudière pendant une seconde représente aussi le poids du nielange d'eau et de vapeur qui est envoyé à la machine dans le

même temps, et, par suite, Mt^i est le poids de la vapeur; car la quantité spécifique de vapeur Xi qui entre dans la machine est évidemment égale à celle que Tinjecteur absorbe. On a pour la quantité de chaleur Qs que la production de celle vapeur exige.

L'appareil d'alimentation exige la quantité de chaleur Q„ et la chaleur totale qui est envoyée par seconde dans la chaudière est Qi -f- Qa; le degré économique de cet appareil a donc pour expression

ri =

ou bien, si Ton remplace par leurs valeurs les quantités qui entrent dans le second membre de cette équation,

Si Ton divise enfin les deux term.es de la fraction par g, -- jo, il vient

Admettons, par exemple, que la chaudière produise de la vapeur sèche; alors ^, = i; dans ce cas, avec la température de l'eau d'alimentation /.=:i5®, et pour des pressions dans la chaudière, qui sont respectivement i y, 4> 6, 8 atmosphères, on trouve

On conclut de là que la quantité de chaleur qu'exige l'injecleur, comparée à la chaleur qui entre dans la chaudière, r est d'autant plus grande que la pression dans cette chaudière est plus élevée ; cela se voit du reste directement sur la for-

mule (328), puisque la quantité ri diminue quand la température croît, tandis que Çi augmente.

Cette dernière formule montre encore que le rapport n est d'autant plus grand que qo est plus petit, c'est-à-dire que la température /« de l'eau d'alimentation est plus basse. Les mêmes formules et les mêmes conclusions s'appliquent aux pompes d'alimentation, quand on fait abstraction des résistances dues aux frottements.

La présence de la quantité :r, dans l'équation (328) peut étonner au premier moment; la manière dont elle y entre prouve que le rapport yj est d'autant plus grand, que Xi s'écarte davantage de i, c'est-à-dire que la quantité d'eau qu'eniraîoe la vapeur de la chaudière est plus considérable. Mais il faut remarquer que la quantité 7} doit uniquement représenter la partie de la chaleur totale introduite dans la chaudière qui est employée à l'alimentation ; elle ne doit nullement servir de mesure pour apprécier la bonté et la perfection de l'appareil; cela se voit déjà par les nombres écrits ci-dessus, car l'appareil paraît d'autant plus avantageux, que la quantité de chaleur qu'il emploie est moindre, et par conséquent que la quantilér, est plus petite. On se tromperait aussi si Ton voulait considérer la quantité de chaleur Qi comme perdue. Les dernières formules s'appuient, en général, essentiellement sur l'hypothèse que la chaudière à alimenter fournit la vapeur à une machine dont la marche est normale, et c'est pour cela que, dans la discussion des formules (327) et (328), on doit avoir égard aux particularités que peut présenter la marche de la machine elle-même. Un examen approfondi de la question posée devient seulement possible quand on a donné la théorie complète de la machine à vapeur, ce qui sera fait plus loin. Je ferai voir alors que les formules (327) et (328) montrentrexis tence d'une certaine imperfection dans le cycle de nos machines : imperfection qui ne se rapporte nullement à l'appareil d'alimentation, comme on pourrait le croire d'après ce qui vient d'être dit.

L'injecteur Giffard est, au contraire, un appareil parfaitftt qui se déduit déjà de cette circonstance, qu'il se comporie

comme une pompe d^alimentation qui travaille sans frotte* ments. Cependant, au point de vue de l'alimeniation, il ne peut être considéré comme un appareil excellent que pour les chaudières à vapeur, où la force vive perdue par des changements de vitesse brusque se manifeste sous la forme de chaleur, et est utilisée ainsi de nouveau sous cette forme.

Dans tout autre cas, ou Ton a en vue d'obtenir à l'aide de l'injecteur des effets purement mécaniques, par exemple d'élever de Teau d'un niveau à un autre, et lorsque Taugmenlaiion de la température de Teau qui a lieu dans celte opéralion n'est pas utilisée, Tinjecteur est un appareil très-impar-^ fait, aussi imparfait au point de vue de la Mécanique qu'une pompe d'injectioïi à eau de Thomson.