COS0 = — . COS
lit ds
Si l'on remplace cosO par sa valeur, l'expression précédente devient
X — iV di y^*9(r)cosiiii + i j;rcos(i'i)>'(r)(/rJ.
Considérons la seconde partie de l'intégrale; en intégrant 1 ])ar parties, on a
y xreosS'<f'lr)dr=[xrco&9'<?{r)] 1 ,— j"<f{r)d[xrcosH');
le courant étant fermé, le premier terme est nul ; on a donc
J xreosO'o'(r)dr = ~j" ç[ r)d[ xrrosQ'j
~~J <?{r)[*d{rcosB') + reosffdx]
~ — y* ? ( ( ^ cos £ rfs + i-co? V dx ).
De celte manière, l'expression de X se réduit à
\ = ^H'ds> f <f[r)lxcostd3- rcosffdx).
249. Si l'on appelle a, b, c les cosinus des angles que fait l'élément ds' avec les axes îles coordonnées, on a, en projetant sur ils' la longue tir i ci l'élément ds,
rrasû' — nx by+cz, rfjcose — rtdx + bdy + cdz;
d'ofi
j-costi/i — rr.osWdx — b{xdy — ydx) — c[idx — xdz ),
ig8
DKUXlfeSE PAHTIE. — CHAPITRE VLI[.
t, par Buïie,
X^b^ii'd/fttlrKxdx- ydx ) -v'-H'M J o{r){zdx-xdz).
On aurait des expressions analogues pour V et Z. Un voit que ces quantités dépendent des trois intégra' 05
Les trois inlcgraies(]5) dépendent dû la forme du courant fermé, et de sa position par rapport au milieu 0 de l'élément (/y 1 ; elles sont indépendantes de la direction de cet élément.
25(1. Des formules (16) on déduit les relations aX+6Y + c7. = o, AX + BY-+-CZ = o.
La première indique que la résultante est perpendiculaire ii l'élément ds", la seconde qu'elle est perpendiculaire à nue droite OG faisant avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels' à A. B, C; cette seconde droite est Indépendante de la direction de l'élément ds' . Le plan mené par
que nous désignons par A, B, C, et I*»
tLICTROOTNiaiQUl. agp
la droite OG cl l'élément ds' est le plan directeur d'Ampère ; la résultante esi perpendiculaire au plan directeur. On a d'ailleurs
i/X'+ï' + Z 1 = ~ i ? ds' ^A'+B' + O— {ak+bB-t-cCf ; si donc on pose
A> + B' + C = G-, ci si l'on appelle à l'angle de la droite OG avec l'élément ds', et H la résultante, on a (17] B = -iTrf*'Gsme.
Portons sur la droite OG une longueur égale à G, et sur la direction de l'élément ds' une longueur égale à l'unité, la formule signifie (jue In résultante est proportionnelle à l'aire du parallélogramme construit sur ces deux droites; elle est nulle quand l'élément ds' coïncide avec la droite OG. Elle est d'ailleurs, comme nous l'avons dit, perpendiculaire au plan du parallélogramme.
ACTION d'un courant élémentaire suh un élément de courant.
251. La recherche de l'action d'un courant fermé sur un élément de courant se ramène, comme nous l'avons vu, au calcul des trois intégrales { i5). Il est avantageux pour ce qui va suivre de transformer ces inté:a;ilf, simples en intégrales doubles. Imaginons une surface continue S limitée par le courant fermé; projetons-la sur le plan des xy, et supposons que le point 0 soit situé en dehors de cette projection {fis-l 1 )-
Soil P la projection d'un point quelconque M de cette surface; désignons par 11 le rajon vecteur OP cl par q l'angle .cOP. On sait que l'expression xdy~ydx représente le double de l'aire du triangle POP', et l'on a
xdy — ydx ~ u'dq.
Le courant marchant dan> le sens indiqué par la flèche, l'angle 1/ croit de q, a <j ; sur l'arc ABC, et décroît ensuite de q, à q. sur
3tM DEUXIEME PARTIE- — CHAPITRE VIII.
l'arc HDA. En désignant par u, et n, les distances de l'origine
aux points P, et P„ où ia droite OP coupe la courbe, un pourra écrire
C= ^ [uîf[r,}- «Î9(r,Jj dq.
Maisuna *'
«î ? [r,)-«: î {r l )= f"' *-"^ du,
l'intégration étant prise par rapport à la variable u du point P, au point P,. La valeur de C devient ainsi
il v a maintenant deux variables indépendantes u et q, et l'intégrale double s'f ; len<l à la partie du plan comprise dans la courbe ABCD.
$r2. Pour évaluer celle intégrale, nous remarquons que '"T^ = ■"»[')+ «"f'C-l^i
île la relation
on déduit d'ailleurs
fîL£CTH(>L>ÏNAMIQUK.
11 s'agit de trouver^-; pour avoir celle dérivée partielle, il faut laisser constante la variable q rt faire varier u, ce c)ui donne
Rg. 7».
deux points P ei I" sur un même rayon OPfjSg. 71); ces de in points sont les projections de deux points infiniment voisins M cl M' de la surface S; sait L le point 0(1 la droite MM' rencontre l'axe Qz; on a
Mais L est le point où le plan tancent à la surface en M rencontre l'axe Os; soit
l'équation de ce plan, a, £, y étant les cosinus (les angles que la normale à la surface au point M fait avec les axes, et /) la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan, distance positive ou négative, suivant que cette perpendiculaire a Ni même direction que la normale ou une direction Inverse. Nous aurons
Su
Wtt MK MH - LK ~
MK * - PL
3o2 DElIltKE PARTIE. — CHAPITRE TI1I.
Le produit udiiiiq représente un élément de l'aire plane limitée par la courbe AIICII dans le plan des jry ; cet clément est la projection d'un élément ilu de la surface S, cl l'on a
ududg — ydt»; l'expression précédente devient ainsi
( 20 ) c=2j[»?('-)+'-?'{'-)]y-^T'{'-)jrf"-
Afin que df.i ait une valeur positive, la normale à la surface est menée dans une direction telle, qu'un observateur placé sur colle ^normale, les pieds contre la surface, voie le courant tourner de droite à gauche.
Si l'on appelle C une valeur moyenne de la quantité entre piiivnlhoses, et '.i l'aire de la surface S, limitée, comme nous l'avons dit, au courant fermé, nous pourrons écrire C = C'a. Nous aurons de mèmt! A = A'w, B = If' ta.
On appelle courant élémentaire un courant fermé infiniment petit. On emploie surtout les dernières formules pour calculer l'action d'un courant élémentaire sur un élément de
sensiblement égale à sa valeur en un point quelconque M de la surface infiniment petite On aura donc
B' = ( aç (r)+r 9 '(rj.p-^V r).
C=E 2? (r)+r 9 '(rJ]y~^ ? '(r), et l'on connaîtra les trois intégrales A, B, C, (aa) A —. A' ht, B = U'<.,, C = C'ûi.
ACTION n'n SOI.ÊSOÏDE SUR DK ÊLEHEM HE COUSANT.
2!i3. Un solénoïde est formé de courants élémentaires égaux entre eux, normaux à une même courbe directrice, et infini-
ÉLBCTRO DÎNAI
JiQiiï. 3o3
m cnl rapprochés les uns des au
1res. L'action d'un courant
fermé sur un élémenl se réduisa?
il à une force appliquée au
milieu de l'élément, i'aciion dus
olénoTdc, qui csi composé
de courants fermés, se réduit de i
nême à une force appliquée
s w l'aire d'une surface li-
miléeà l'un des petits courants, e
Ig la distance de deux cou-
rants consécutifs; le nombre des
ment du de la courbe directrice !
;cra —, et I'aciion du solé-
noïde sur un élément de courant <ls' placé à l'origine des coordonnées aura pour l'une de ses composantes
(33) X = '- Vêt ~ (bj'cdo - >:£ Wd^j,
l'intégration s'étcndanl à toute la longueur de ta courbe directrice P, P, {fg. 73). D'après les conventions faites précédem -
Flg. 7 3.
ment, celle courbe doit être parcourue dansltn sens tel, qu'un observateur placé sur une tangente AIT, les pieds eu M, la tête vers l'extrémité T, voie le petit courant tourner de droite à gauclic. Celte droite MT est normale à la petite surrace « que l'on peut supposer plane; x, y, s étant les coordonnées du point M, on a
y = ^i, £ = cosMOL = cosEMT = ~, "u r du
jf"eJ.=^'j[» ? (r)4-iy(r)]A-»rtr)*|.
En intégrant le dernier icrinc par parties, on a
f% 9 '| r)rfr=[« ? (i-)]ï-J%(r)rfï, et, par suite,
jT'cw» — |«?C0+ +<■«').*.
un, plus simplement,
(Ml j' C J, = -[,, MY ,4.f'
FORMULE D'AHrfeRE.
■25i. Nous avons ramené les deu\ fonctions inconnues à une seule, à l'aide d'un premier f:is d'équilibre; nous pouvons maintenant achever- la détermination de ces fonctions, à l'aide d'un second cas d'équilibre. On a reconnu par l'expérience que l'action d'un solénoïde fermé sur un élément de murant, placé d'une manière quelconque, est nulle; les composantes X, Y, Z devant être nulles, quelle que soit la direction de l'élément ds', c'est-à-dire quelles que soient a, b. c, on doit avoir séparément, d'après l'équation (s3 ).
Mais, lorsque ie solénoïde est fermé, le premier lerme étant nul, l'équation (a4) se réduilà
KLEr:Tiii(i)VN»MiQii:.
il posé, pour abréger.
Stipposuns la i'uuil»'iiin'i-|i ii <> |ilatiretsiluéi> diins le plan dus i : ( fttf. 74); elle est pamitmie dans un sens déterminé qui! nuits
indiquons par iliio llëclie. Deuv parallèles à l'axe Oj infiniment voisines déterminent deu* arcs MN, M' N', pour lesquels les valeurs de dz sont égales et do signes contraires; si doue on appelle r et ;■' les distances OM et OM', on aura
On en conclut que la fonction r.(r) csl une constante. Admettons en effet que celle quantité varie et augmente, par exemple, quand r croît do r, à n; on petit tracer la eourbe de manière qu'elle soit située à droite de Os, afin que r' soit plus grand que r, et de manière que le minimum (le r soit égal ou supérieur à et le maximum de r 1 égal ou inférieur à r,; on aura alors
»-,<r<r'ir.,
et, par suite,
3o6 DEUXltMI PARTIE. — CHll'JTRE VIII.
Char les termes de I " i ri t«- f;i-:il<- étant positif, il serait iin-
[i»ssih!n que, la somme fût nulle On a donc
En vortu de la définition de -( r), relie condition devient d.r'o(r)- - hr'dr,
e\. par l'intégration,
étant une nouvelle constante. Ou en déduit
maison a posé (n° 347 1 il en résulte que
force éleclrodynamique deviendrait infinie à une distance infinie, ce '|ui est contraire à l'expérience. On a donc finale -
et la formule (12) se réduit a [«)
Telle est la formule fondamentale d'Ampère. L'expérience apprend que la constante k est positive.
suite du l'elktiodtnamiqde.
