EUMK.SEH LES DEUX FONCTIONS INCONNUES A UNE SEULE
. 245. L'expression de ia force, qui s'exerce entre deux éléments do courant, renferme deux fonctions inconnues !"(/■) et ' f[r). Pour déterminer ces deux fondions, on se sert de deux cas d'équilibre observés expérimentalement. Alin de simpli-
xtp DBtJXftMR PARTI! ■ — chapitre vin.
fier le calcul. Ampère; admettait que les deux fonctions sont de la forme ~* * : mais nous traiterons la question d'une manière générale on suivant une méthode ingénieuse, due à Manchet et enseignée par lui à l'École Normale (").
Le premier cas d'équilibre employé est celui-ci : un courant rectangulaire ABCD(yÏ£.Gt|), assujetti à tourner autour d'un dises côtés AD, reste en équilibre, sous l'Influence d'un courant circulaire qui a son centre 0 sur l'axe de rotation, et dont 1c plan est perpendiculaire à cet axe.
Soient G H la trace du plan du rectangle sur le plan du cercle, M et N les milieux de deux éléments ds et ds' des deux courants; appelons ti le rayon du cercle, q l'angle GON, u la
dislance du point M à l'axe; menons du point N une perpendiculaire NE sur le diamètre GH. cl joignons ME. La force V exercée par l'élément ds' sur l'élément ds est dirigée suivant MN, si elle est attractive; décomposons-la en deux, l'une suivant ME, l'autre perpendiculaire à ME, et par conséquent parallèle à EN; celle dernière composante a pour valeur
FcosMNE = F ~ = F S^lî,
(*) Jnnnle- iamtifiqnn de l Écolr Xomnlr mpèrirurt, t. 11.
Electrouïnaukjue. 29Ï pi In momeni de la force F par rapport à l'axe de rotation est
l-i condition d'équilibre est que la somme des moments de toutes les forces qui agissent sur le courant recta ngu la ire soit nulle, c'est-à-dire
240. En projetant sur la tangente au cercle en N le contour fermé NMAON, on a
puisque l'angle q est indépendant de s cl la distance n indépendante de s', l'équation (5) devient
Mnsino) du .
oo».= — ,7* — a»*
et l'expression (a) de la force F se met sous la forme
On a d'ailleurs (/j r ~ adq ; l'équation d'équilibre est donc
.i et q étant prises pour variables indépendantes, et la double intégration s'é tendant, d'une part, au périmètre du rectangle, d'autre part, à la circonférence entière. 11 est évident que le coté DA du rectangle ne donne rien dans le résultat. Considérons d'abord la première partie
ffsp g =/„,„„ jm ,. % m
la longueur s est comptée sur le rectangle, à partir du point A, en marchant dans le sens du courant; le long de BC, on a
appelle rel r' les distances NM, KM' du. point N à deux éléments ayant leurs milieux M ei M' sur une parallèle à AD, el si l'on désigne part la longueur du côté AH, on aura
el, par suite, lu première partie devient
247. Considérons maintenant la seconde partie une l'on éerira en posant, pour abréger, L'intégra il on par parties donne
les deux limites coïncidai», le premier terme est nul; le second, d'après ce que nous avons dit, se met sous la forme
la seconde partie devient ainsi
ÏLBCTBOBYNABIOUE. ft)5
et si l'on pose
(9) £p-**ir) = x[r), l'équation d'équilibre se réduit à
(10) f'sWqdqf [ x (r)- Z (r')]«rf«^o.
On en conlut qui: In fonction ■/{ r) est une constante. En effet, ou a EH < EH', et, par suite, r < r'. Soit b < a; la plus petite valeur de r est BG, la plus grande valeur do r' esl CH. Supposons que %{r) ne soit pas constante et croisse, par exemple, quand r croit de à r,; on construira le rectangle de manière que KG soit égale nu supérieure à r,, Cil égale ou inférieure à r,; de celle manière, on aura toujours r><r<r'<r„
et, par suite,
Xf»X(r)i
Ions les éléments de l'intégrale (10 } auraient des valeurs positives, et leur somme ne pourrait cire nulle.
La fonction ■/[/■) étant une constante, on a
et, par suite, en vertu des relations (8) et (9),
-jî— .+>)=..
ou
r . F|f)-/ff) __ rfr r'
On en déduit
la première fonction inconnue se trouve ainsi déterminée à
l'aide de la seconde, et l'expression de la force élémentaire n contient plus qu'une fonction inconnue
d îiû
Pour simnlilicr un peu l'écriiure, nous poserons
l'expression précédente devient (>4) F=f«'<fcA'[r ? (r)co 9e +
FERMÉ SIR UN ÉLEMEBT DE TOURANT.
2W. Par le point 0 {Jig. ■30), milieu de l'élément rfs', menons trois HXes rectangulaires; appelons y, z les coordonnées du
milieu M d'un élément i/j du courant fermé. Toutes les forces qui agissent sur l'élément ils', étant appliquées en sou milieu (J, admettent une résultante appliquée en ce point; les projections X, Y, Z de cette résultante sur les axes des coorrjf.nn-vs *»nl •!• I» i-.nu.
X = ( V^J*[r ? (r}cos ( 4-^y(r)cosflcose']'d!r.
Il n'y a ici qu'une variable indépendante, l'arc s du conduc-
fiLECTHOUÏ*AJl]<ii;E. 21)7
leur fermé, compté il partir d'un point fixe arbitraire. Les relations (3) et (5) peuvent s'écrire
. dr rf(roosfl')
