CHAPITRE I

ÉLECTROSTATIQUE.

Loi do Coulomb. - Définition du potentiel. — Potentiel d'une concile subérique homofielie. — CaJ oil le point nlliré est -ilnr J l'inl.'Tii'Ur île in masse aBÏ5»anlc. — Surfaces rie nivem. — Th.-.>rème fondamental. — Équilibre électrique <lail< un lysteme de corp> parfaitement conducteur). — Distribu-

157. Pour énoncer la loi des attractions cl des répulsions électriques, on a imaginé deux fluides que l'on suppose répandus d'une manière continue dans les corps. Un corps n'est pas éleclrisé lorsque chaque élément de volume contient des quantités égales des deux fluides : le corps est électrisé lorsque !*un des fluides est en excès; cette différence constitue ce qu'on appelle l'électricité libre dans le corps. L'action mutuelle de deux masses infiniment petites m, m' d'électricité libre est une force dirigée suivant la droite qui les joint; elle est répulsive ou attractive suivant que les deux masses électriques sont de même espèce ou d'espèces contraires; elle varie en raison inverse du carre de la distance r: on peut donc la représenter par la formule

igO DEUXIEME PARTIE. — C1UPITHE I.

en regard an l la force comme positive eu négative suivant qu'elle esl attractive ou répulsive, et prenant pour unité de masse électrique une masse telle, qu'une niasse égale et de signe contraire, placée a l'unité de distance, exerce sur elle une attraction égale à l'unité. Telle esl la loi de Coulomb, qui comprend, .comme nous le verrons, l'ensemble des phénomènes d'électricité statique.

1 38. Considérons une masse électrique infiniment petite m, soumise à l'action de plusieurs masses iiilinimenl petites m', m",.. . . Appelons x, y, z les coordonnées du point m; x', y' , z' celles du point m', etc.; désignons par a, b, c les cosinus des angles que fait la droite mm' avec les a\es; la résultante dos actions exercées sur la masse m par les autres masses aura pour projections sur les trois axes des coordonnées

Si l'on suppose la masse m égale à l'unité, el si l'on représente par dq l'une quelconque des niasses ni, m", . . . d'électricité libre répandue sur un corps ou un système de corps, on aura

Ces formules représenieni l'action exercée par un système de corps électrisés sur une masse i d'électricité positive, placée en un point P de l'espace. Il suffit évidemment de tenir compte de l'électricité libre; car une certaine quantité de fluide neutre, étant la réunion de deux masses égales + dq et — dq d'électricités contraires, n'exerce aucune action sur le point P.

MfinlTIOll DU POTENTIEL.

159. Les trois sommes précédentes peuvent être ramenées à une même somme. On a en effet

ÉLECTROSTATIQUE. IÇjl

La dislance et les cosinus a, b, c étant des fondions des coordonnées x, y, z du point P, les composâmes X, V, Z de la lorec exercée sur le point P sont des fniKlioiis ili's trois variables indépendantes x, y, z. En diflcrcnlianl par rapport à la variahlc x, on a

et, par suite, Considérons l'intégrale

étendue à tous les corps électrisés; celte somme est aussi une fonction des coordonnées x, y, z du point P, el l'on a

On en conclut

,j, X = "L, v = iï, t= "

Sx iy iz

Ainsi les composantes de l'action exercée sur une masse 1 d'électricité positive placée au point P, par l'ensemble des corps électrisés, sont les dérivées partielles, prises en signes contraires, d'une certaine fonction des coordonnées du point P. Celte fonction V est ce que, dans ses calculs sur l'attraction, Gauss a appelé le potentiel.

Dans ce qui précède, nous avons supposé que le point P est situé en dehors des masses agissantes ; dans ce cas, la dis-

lljl DEUXIÈME PJHTIE. — CHAPITRE !.

lance r ne devenant pas nulle, le quotient - reste lini, et l'intégrale V a une valeur parfaitement déterminée; le potentiel est une fonction finie et continue de x, y, z. Les composantes X, Y, 7, jouissent de la moue propriété; mais lorsque le point 1' est situé à l'intérieur des mns-i>s agissantes, la fonction - devenant infinie, la détermination des intégrales présente de graves difficultés; avant d'aborder ces questions délicates, nous chercherons le potentiel d'une i-imche Sjihériqm! homogène.

POTENTIEL D'tlNB COUCHE SPUÊHtlJUE HOMOCE>E.

100. Considérons une couche homogène comprise entre deux sphères de rayons a et a da, avant mémo centre 0; appelons p la distance OP, 0 l'angle que Tait avec la droite OP le rayon qui va du centre à un point quelconque M de la couche, et y l'angle que fait le plan PUM avec un plan fixe passant par OP. L'élément de volume ayant pour expression

dv — a' sinfl dadO rfç, si l'on désigne par k la densité de l'électricité libre, on aura iiq=lcdv= ka'sinSda dSdf

et, par suite,

V = t ..rfajT" jf" 'ïïîrfM, „*«■*/" «SMÎ.

De la relation

r 1 — n'-f- f>'~ anpcosO,

on déduit

rrfr = np sin9 d9; si l'on remplace la variable 0 par la variable r, il vient

y=" l ° ia jd r .

ÉLECTROSTATIQUE. [g3

Il y a ici deux cas à distinguer, suivant que le point P est à l'extérieur de la couche sphérique ou à l'intérieur de la sphère a : dans le premier cas les limites de l'intégration sont p — a et p + a, et l'on a

en désignant par M la masse de la. couche. Le potentiel de h couche sphérique, agissant sur un point extérieur, est le même que si la masse de la couche était concentrée en son centre. Dans le second cas, les limites sont a — p ei a -f- p, et l'on a

Le potentiel de la couche sphérique, térîeur P, est constant, c'est-à-dire h du point P; on en déduit que la fore Considérons maintenant une sphè agissant sur un point P situé dans h dislance p du centre; on peut regard-

rieur P, donni

Hr.kj",,.

celles dont le rayon est plus grand que agissant sur un point intérieur, donnent un potentiel égnl à

xk( a >-p>).

Le potentiel <U: hi sphère entière est donc

Si l'on ïcut calculer l'action de celte sphère sur le point P, on remarquera que les couches dont le rayon est supérieur ;'i p n'exercent aucune action sur le point P, et que les cou-

If)4 DIMIBM PARTIE. — Cil AUTRE I.

ches dont lo rayon esl inférieur à p agissent comme si elles étaient concentrées au cenlreO; la résultante esl une forée égale à

dirigée suivant la droite 01'; ses projections sur désaxes passant par le point 0 sont

on voit qu'elles sont égales et de signes contraires oui dérivées partielles du potentiel.

CAS OU LE POIKI ATTIRE EST SITCÊ A l'imCIU H. H DE LA MASSE AGISSANTE.

101. Il faut d'abord déiinir nettement la signification des intégrales V, X, V, Z. Imaginons une sphère, décrite du point P comme centre avec un rayon égal à l'unité, et considérons le eùnc qui a pour sommet le point P, et pour base un élément d',i de la surface de cette sphère; deux sphères décrites, du point P comme centre, avec des rayons r et r +■ dr, découperont dans le cône un élément de volume

et l'on aura

dq — kr'dudr,

k désignant la densité de l'électricité libre dans cet élément. Concevons une surrace fermée et convexe très-petite S, enveloppant le point P; appelons p et H les distances du point P à la surface S et ;t la surface extérieure du corps sur un même rayon mené par le point P. Le potentiel de la masse située à l'extérieur de la surface S est

quand p tend ïers zéro, l'intégrale (*krdr

«LÏCTHOSTATIQUE.

lend vers une limite déterminée

krdr\

la limite de l'intégrale multiple est le potentiel de la masse entière. 11 en est de même des composantes de la force; la composante, suivant l'axe des x, de l'action de la masse extérieure à la surface S est (n° lîifl)

-2^ =-/•*" jf""*'

elle lend vers une limite déterminée, quand p tend vers zéro.

162. Ainsi la masse agissante qui environne le poinl P n'introduit dans les intégrales V, X, Y, 7., malgré la petitesse de ia dislance, que des quantités irés-pctiles. On en conclut que ces intégrales sont des fonctions linics et continues de x, y, z. Soient, eh effet, V, le potentiel de la masse comprise dans la surface S, et V, celui de la masse extérieure, agissant sur le point P; V* et V, les potentiels des mêmes masses agissant sur un point P', voisin de P, et silué aussi à l'extérieur de la surface S; on a

le potentiel V, de la masse extérieure, agissant sur un poinl P non situé dans cette masse, étant en fonction continue de x, y, z, ia différence V, — Vi est très-petite; d'autre part, chacune des quantités V, et V, est très-petite : donc la différence V — V est elle-même très-petite. On verrait de la même manière que X, Y, Z sont des fonctions continues.