Nous allons démontrer que les composantes de la force

tielles du potentiel. C'est ce que l'on vérifie aisément lorsque la densité k du fluide est constante; parlageons la masse agissante en deux parties : celle qui est comprise dans une petite sphère à l'inlérieurde laquelle est situé le poinl P, et la partie t3.

extérieure; appelons V, el Vi les potentiels de ces deux parties, X, et X, les composantes des forces qu'elles exercent sur le point P. Le point P n'étant pas situé dans la seconde partie,

D'après les propriétés des (ii" 160), on a de même

un en conclu!

1(H. Considérons maintenant le cas où la densité est variable. Décrivons du point P, comme centre, avec un rayon irès-pelit p, une sphère S. et prenons un point P' voisin de P el silué à l'intérieur de lu vplièn:; appelons n la distance PP';

nous ferons voir que le rapport :t une limite quand a

force suivant la droite PP', En effet, le rapport — — — diffère peu de X„ cette dernière quantité différant peu elle-même de X, on peut écrire

e s'évanouissant avec a el p.

Pour évaluer V, clV',, nous prendrons pour coordonnées d'un poinl quelconque M les deux distances PM, P'M, que nous désignerons par r et r', el l'angle ij* que fait le plan PMP' avec tin plan fixe passant par la droite PP'; un élément du plan PMP' a pour expression rtlrdO. 0 étant l'angle MPP'. Si, dans la relation

couches spheriques homogènes

nous faisons varier 0, laissant r constante, nous aurons rVr' = orsin0(/0,

ELECTROSTATIQUE. I97

et l'élément de surface deviendra

r'drdr' rr'drdr' asinfS "~ <y- V étant la distance de l'élément à l'axe PP'. Cel élément de surfane, en tournant autour de l'axe, engendre un clément de volume

. rr'drdr' dty

V,= - ^kr'drdr'dty, V, = - ^hrdrdr'dty.

Intégrons d'iibord par rapport à ty, et posons

H étant une fonction de r et /■', les expressions précédentes deviennent

V,= ^Br'drdr', V, = l - Brdrdr',

d'où

V, — V, =^ H drdr'.

La quantité H conservant le même signe, et le rapport

étam compris enlre — i et + i , on poutra écrire