YIII PRÉFACE DE LÀ PREMIÈRE ÉDITION

Coulomb et celle d'Ampère, c'est-à-dire l'ensemble des phénomènes d'électricité statique et d'électricité dynamique, mais qui rend compte aussi des phénomènes d'induction. Cette loi de Weber paraît destinée à jouer un rôle prépondérant dans l'étude de l'électricité.

Je fais hommage de mon Livre, et c'est pour moi un acte de justice et une satisfaction du cœur, à la Mémoire de mon collègue Verdet, dont la mort prématurée a été une perte si grande pour la Science. La Théorie mécanique de la chaleur était devenue son étude de prédilection ; il l'a professée pendant deux années à la Sorbonne ; j'ai été assez heureux pour assister à ses Leçons ; quelques-uns de ses élèves les ont recueillies et les publient en ce moment. Le lecteur trouvera dans les Leçons de Verdet le complément des miennes ; je me suis attaché surtout à la partie théorique ; les Leçons de Verdet contiennent des détails précieux sur les expériences qui ont servi de base à la théorie, ou qui en confirment les conséquences, une critique sûre et approfondie de la valeur et de la portée de ces expériences, dont les plus importantes sont dues à MM. Regnault et Joule.

Je dois des remerciments à M. Mascart, qui a rédigé mes Leçons, et qui a bien voulu m'aider dans le travail de revision et de perfectionnement nécessaire à leur publication.

DE

1. On explique la propagation de la lumière et de la chaleur rayonnante par les vibrations d'un milieu élastique qui est répandu dans l'espace et qui pénètre tous les corps. On regarde ce milieu, qu'on appelle éther, comme formé ^'atomes situés à distance et exerçant les uns sur les autres des actions répulsives dirigées suivant les droites qui joignent les atomes deux à deux; ces actions sont proportionnelles aux masses des atomes et fonctions des distances qui les séparent.

2. Les corps que nous appelons pondérables sont aussi formés d'atomes exerçant les uns sur les autres des actions à distance. Pour expliquer les phénomènes de réfraction, il faut admettre que la densité moyenne de l'éther n'est pas la même dans Jes milieux réfringents que dans le vide, et par suite que la matière pondérable exerce une influence sur les atomes d'éther. Supposons, par exemple, que cette action soit attractive : chaque atome pondérable sera alors entouré d'une atmosphère d'éther dont la densité est plus grande que dans le vide et décroît rapidement à partir du centre; l'excès d'éther accumulé autour de chaque atome est la masse de cette atmosphère. D'après cela, l'action totale qui s'exerce entre deux atomes pondérables de masses m et m' peut être considérée

comme la résultante de deux forces. Tune attractive, provenant des masses pondérables elles-mêmes, l'autre répulsive, provenant de la réaction mutuelle des deux atmosphères d'éther. Si, pour simplifier, on suppose que les expressions de ces deux forces soient de la forme

mm' a mm! h

r étant la distance des deux atomes, l'action résultante sera

m.m!a m.m!h mm'a f h

OU, en posant rj = - >

Il y a une position d'équilibre pour la distance /• = Tq.

La force est répulsive quand la distance est plus petite que /\), et elle augmente à l'infini quand la distance devient de plus en plus petite. Elle est au contraire attractive quand la distance est plus grande que ro; elle acquiert sa valeur maximum

à la distance r^ =: r^ i / —^ et elle diminue ensuite de manière à devenir infiniment petite à une distance très grande.

3. Concevons maintenant qu'un certain nombre d'atomes constituent un groupe régulier sous l'influence de leurs actions mutuelles; ce groupe sera une molécule. L'action d'une molécule A ainsi formée sur une molécule B n'a pas, en général, de résultante unique; elle se ramène à une force appliquée au centre de gravité de la molécule B et à un couple ; le couple fait tourner la molécule B et l'oriente d'une certaine façon par rapport à la molécule A ; la force est attractive ou répulsive et il y a une position d'équilibre. On peut expliquer de cette manière la cristallisation,

k. En résumé, on se représente les corps comme formés d'atomes que Ton assimile à des points matériels agissant les

uns sur les autres. L'action qui s'exerce entre deux points consiste en deux forces égales et de sens contraires, Tune appliquée au premier point, l'autre appliquée au second point. Cette double force est proportionnelle au produit des masses des points matériels et fonction de la distance qui les sépare; c'est une attraction ou une répulsion suivant qu'elle tend à rapprocher ou à écarter les points matériels; elle Yend à les ramener vers leur position d'équilibre quand ils en ont été écartés par une cause étrangère.

5. De ces déplacements résultent des mouvements vibratoires intérieurs qui peuvent affecter différentes formes : — ou les atomes matériels oscillent dans la molécule dont ils font partie ; c'est ce qui paraît avoir lieu lorsqu'un métal, mis dans une flamme, se vaporise et devient lumineux; la nature de la lumière émise par la molécule métallique, c'est-à-dire le nombre des vibrations par seconde, dépend du nombre des atomes qui la constituent et de leur disposition géométrique (*); — ou es molécules tournent sur elles-mêmes, soit d'un mouvement oscillatoire, soit d'un mouvement continu ; dans ce cas, l'influence de la forme de la molécule disparaît en partie ; elle disparaîtrait même complètement si la rotation était continue et si les axes de rotation des molécules étaient orientés dans tous les sens ; — ou les molécules se déplacent les unes par rapport aux autres, soit qu'elles oscillent autour de leurs positions d'équilibre, ce qui a lieu dans les corps solides, soit qu'elles soient animées de mouvements de translation rectilignes, dans diverses directions qui changent à chaque instant par les chocs des molécules entre elles ; c'est ainsi que l'on se représente la constitution des gaz et des vapeurs.

L'ensemble de tous ces mouvements constitue la chaleur. Les naouvements calorifiques, produisant des changements dans l'état physique des corps, et principalement dans leur volume, donnent naissance à des actions extérieures ; par exemple, quand un corps se dilate sous l'influence de la chaleur, il repousse les corps environnants. Réciproquement, une ac-

(t) Note sur les mouvements intérieurs des molécules, par M. Briot {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1868),

lion extérieure, comme une pression, s'exerçanl sur un corps, peut modifier les mouvements moléculaires et produire des phénomènes calorifiques. La Thermodynamique est Tétude des relations qui existent entre les phénomènes calorifiques, leurs causes et leurs effets. La chaleur, considérée ainsi comme un mouvement, rentre dans les lois générales de la Mécanique, et la Thermodynamique a pour bases les principes de la Mécanique rationnelle.

Force. — Travail. — Masse. — Force vive. — Mouvement des systèmes. — Mouvement du centre de gravité. — Théorème des moments des quantités de mouvement. — Théorème des forces vives. — Travail des forces intérieures. — Conservation de l'énergie. — Énergie des mouvements vibratoires. — Influence du mouvement vibratoire sur l'énergie potentielle. — Cas où il y a des forces extérieures. — Travail des pressions extérieures.

Force.

6. Nous acquérons Tidée de force par le sentiment de notre propre activité, quand nous agissons sur les corps extérieurs, pour les déplacer, ou les* modifier d'une manière quelconque. Lorsque nous soutenons un corps pour Tempêcher de tomber, l'effort plus ou moins grand que nous exerçons nous donne l'idée de la grandeur de la force. Quand nous traînons un corps sur un plan horizontal, à Taide d*une corde, la droite suivant laquelle se dispose la corde tendue nous donne l'idée de la direction de la force; le point du corps où est attachée la corde est le point d'application de la force.

Nous assimilons à notre propre activité l'action musculaire des animaux, et, par analogie, nous étendons cette idée à toutes les forces physiques, comme la pesanteur, la pression du vent, celle de la vapeur, les attractions ou répulsions électriques ou magnétiques, etc. Nous arrivons ainsi à la notion générale de la force considérée comme une grandeur ayant une direction déterminée. L'unité de force est le kilogramme.

Travail.

7, La considération simultanée de la force et du déplacement du point d'application conduit à la notion complexe du travail

des forces. Quand le déplacement du point d'application a lieu dans la direction de la force, le travail est le produit de la force par le déplacement du point d'application. L'unité de travail est le kilogrammètrey c'est-à-dire le travail nécessaire pour élever un kilogramme à un mètre de hauteur. L'unité de travail dépend à la fois de l'unité de force, le kilogramme, €t de l'unité de longueur, le mètre. Lorsque le déplacement du point d'application s'effectue dans une direction quelconque, le travail est le produit de la force par la projection du déplacement sur la direction de la force. Enfin, dans le cas général, lorsque la force est variable et le déplacement curviligne, on considère le déplacement comme une suite de déplacements rectilignes infiniment petits, et l'on fait la somme des travaux élémentaires.

Masse.

8. L'expérience nous apprend que, pour imprimer à différents corps un môme mouvement, il faut leur appliquer des forces inégales : de là vient la notion de masse. On dit que deux corps ont des masses égales lorsque, partant du repos et sollicités par des forces égales, ils prennent le même mouvement. Le rapport des masses de deux corps est égal à celui des forces qui leur impriment le même mouvement. L'unité de masse est la masse d'un corps qui, sollicité par une force égale à un kilogramme, acquiert après l'unité de temps, c'està-dire après une seconde, une vitesse égale à un, c'est-à-dire une vitesse de un mètre par seconde. D'après cela, l'unité de masse dépend à la fois de l'unité de force, le kilogramme, de l'unité de longueur, le mètre, et de l'unité de temps, la seconde.

Force vive.

9. Quand un corps est en mouvement, la considération simultanée de la masse du corps et de la vitesse qu'il possède conduit à la notion d'une quantité complexe à laquelle on a donné le nom ÙQ force vive. Nous appellerons /orce v^Ve d'un corps en mouvement la moitié du produit de sa masse par le carré de sa vitesse. Voici d'où provient cette dénomination. On remarque d'abord que, si un corps de masse m est en repos, pour lui

imprimer une vitesse v il faut dépenser une quantité de tra-

vail moteur égalera Réciproquement, lorsqu'un corps de

masse m est en mouvement et possède une vitesse r, s'il rencontre une résistance qui diminue peu à peu sa vitesse et

l'amène au repos, il accomplit un travail égal à > travail

égal à celui qu'a accompli la force motrice pour mettre le corps en mouvement, s'il était primitivement en repos.

Dans le premier cas, une certaine quantité de travail se change en une quantité égale de force vive communiquée au corps; dans le second cas, au contraire, la force vive que possède le corps en mouvement se change en travail. On démontre, d'une manièlre générale, que, lorsqu'un corps est soumis à des forces quelconques, la variation de sa force vive, pendant un certain temps, est égale à la sommé algébrique des travaux de toutes les forces qui agissent sur le corps, pendant le même temps.

Pour bien comprendre cette transformation du travail en force vive, et réciproquement, imaginons deux ressorts à boudin, identiques et placés en regard l'un de l'autre. On comprime le premier ressort à la main, puis on introduit un taquet métallique pour empêcher le ressort de se détendre ; le travail que l'on a effectué pour comprimer le ressort, et dont on a parfaitement conscience, est en quelque sorte emmagasiné dans le ressort. On place devant ce ressort une bille de masse m, et l'on soulève le taquet; le ressort se détend, pousse la

bille et lui communique une quantité de force vive — y égale

au travail développé par le ressort pendant sa détente, travail qui est égal au travail effectué primitivement à la main pour la compression du ressort. La bille, lancée avec la vitesse i^, vient frapper le second ressort et le comprime progressivement jusqu'à ce que sa vitesse soit nulle, et, au moment où la vitesse est nulle, on introduit un taquet pour empêcher le ressort de se détendre. La bille en mouvement a opéré sur le second ressort une compression égale à celle que la main avait effectuée sur le premier; le travail est le même, et par conséquent égal à la quantité de force vive que possédait la bille ; cette quantité

de travail effectuée par la bille en mouvement est actuellement emmagasinée dans le second ressort. Si l'on soulève le taquet, le second ressort, en se détendant, restitue cette quantité de travail et communique à la bille une quantité égale de force vive; la bille, venant frapper le premier ressort, le comprime, et sa force vive se change de nouveau en travail, et ainsi de suite.

Telles sont les quatre notions fondamentales sur lesquelles repose la Mécanique, savoir : les notions de force et de travail des forces, et, parallèlement, celles de masse et de force vive des corps. L'idée de masse correspond à la force, celle de force vive au travail (*).

Mouvement des systèmes.

10. Considérons un système de points matériels soumis en même temps à leurs actions mutuelles et à des forces extérieures. Il est clair que le mouvement de chaque point matériel est produit par l'ensemble des forces, tant intérieures qu'extérieures, qui agissent sur lui. Si donc on appelle m la masse d'un point matériel, Xy y, z ses coordonnées par rapport à trois axes fixes rectangulaires, X, Y, Z, Xj, Yi, Zj, ... les composantes des forces qui agissent sur ce point, on aura les trois équations

772 — 7-T- = X -4- Xi H- . . . ,

Chacun des points du système donne lieu à trois équations de

( ' ) Leibnitz, qui a introduit cette notion dans la Science, appelait force vive d'un corps en mouvement le produit de sa masse par le carré de sa vitesse. Mais, comme le travail que le corps en mouvement est capable d'accomplir n'est que la moitié de ce produit, nous proposons, par un léger changement à l'usage, de donner le nom At force vive à cette moitié.

même forme. On peut déduire de ces équations plusieurs théorèmes imporlants.

Mouvement du centre de gravité.

11. En ajoutant membre à membre toutes les équations qui se rapportent à Taxe des x^ et de même celles qui se rapportent à Taxe des j ou à Taxe des z^ on a les trois équations suivantes :

rf»r

OU bien

dz

Le signe somme, dans le premier membre, s*étendà tous les points du système, et, dans le second membre, à toutes les forces qui agissent sur ces différents points. Comme les forces intérieures sont deux à deux égales et opposées, leurs projections sont égales et de signes contraires, et par conséquent disparaissent des seconds membres des équations (3). Ces équations ne renferment donc que les forces extérieures; on en conclut :

Théorème I. — La dérivée par rapport au temps de la somme des projections, sur un axe fixe quelconque, des quantités de mouvement de tous les points dunsystèm,e est égale à la som,m,e des projections des forces extérieures sur cet axe.

12, Si les points du système ne sont soumis à aucune force extérieure, les seconds membres des équations précédentes

>c>Dl nuls: OD en déliait les lrc»i> équations

dans les-quelles A, B, C s-Mit -3e> '^TiâLi'îés c-iDsîii-îes- Aliisi :

d.<s '^rinrtîUij' ie mc-uocTiti-Ttî ,?> i'- us les frÎJiU du f^^f:i^:.-f i^ur un az*' il z <r o v t . :• ' ^ti.n- r*/ c .v* ; 7 // /r.

13- La cv'DSj'iêr-aîion du o^Lir^ de srâ^iîê du système f'emiel

liVDTicer le iL<r rvme précédent d'une âulre njénîere. Si r«>n sty\**rV:^r .r , T., z^ les c«>'>rd':.Lrjres du cenlre de zTh\^AKr ei AI la masse î'.iàle, <:n a

Mr ::> -7?;,

^l les équâlîons 2 preDnenl la f^jrme

TBÉ»fti3o: n. — L^ mou rem {nt du cerjjre d.c ^rj*\U- d'u^ fy^Srtlmie est l€ ntiTriç qu.-esi t:-:jtf /ti mjsse r ii.iSx r.''Zi..''f r^rrrr W

Corollaire. — Quand un système n*est soumis à aucune force extérieure, le centre de gra{>ité reste en repos, ou se meut dUin mouvement rectiligne et uniforme.

Théorôme des moments des quantités de mouvement.

ik. Si l'on multiplie la première des équations (i) par y, la deuxième par x et que Ton retranche la première de la seconde membre à membre, on a

dt^ ^ dt

y-Tm h=^(Y + Y,-h...)-7(X + Xi -+-...).

En ajoutant toutes les équations de même sorte qui se rapportent aux différents points du système, on obtient Téquation

En combinant de même la deuxième des équations (i) avec la troisième et la troisième avec la première, on a les trois équations

d'je cPs

OU bien

dx dz

L'expression xY — ylL est le moment d'une force F par rapport à Taxe des z. Comme les forces intérieures sont deux 3 deux égales et opposées, leurs moments par rapport à un

axe quelconque sont égaux et de signes contraires; les forces intérieures disparaissent donc des seconds membres. De même

l'expression mlx-j- — Jt/t) représente le moment, par rapport à Taxe des ^, de la quantité de mouvement du point matériel m. Ainsi :

Théorème III. — La dérivée par rapport au temps de la somme des moments f par rapport à un axe fixe quelconque, des quantités de mouvement des différents points d'un système est égale à la somme des moments des forces extérieures par rap~ port au même axe,

15. Si le système n*est soumis à aucune force extérieure, les seconds membres des équations qui précèdent sont nuls ; on en déduit

A', B', C étant des quantités constantes. Ainsi :

Corollaire. — Quand un système n'est soumis à aucune force extérieure, la somme des moments des quantités de mouvement, par rapport à un axe fixe quelconque, est constante,

16. Ce théorème peut être appliqué à un axe mobile de direction constante et passant par le centre de gravité. Appelons, comme précédemment, x^y ji, z^ les coordonnées du centre de gravité et $, if), Ç les coordonnées d'un point matériel quelconque par rapport à des axes menés par le centre de gravité parallèlement aux axes fixes; si dans la première des équations (7) on remplace x^ y, z par leurs valeurs

X—X^-^-X, Jzzz/iH-Ti, ^=:3i-hî,

et si Ton remarque que

^m$=:o, ^mT,z=o, ^mÇ=:o,

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT DES SYSTÈMES. l3

on a

En vertu des équations (6), cette équation se simplifie et devient

elle a même forme que les équations (7 ).

Théorème des forces vives.

17, On sait que la variation de la force vive d*un point matériel, pendant un temps quelconque, est égale à la somme des travaux des forces qui agissent sur ce point, pendant le même temps. Si Ton fait la somme de toutes les équations semblables qui se rapportent aux différents points du système, on obtient l'équation

(ïF désignant le travail de la force F, Ainsi :

Théorème IV. — La variation de la somme des forces vives de tous les points d'un système, pendant un temps quelconque, est égale à la somme des travaux de toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, qui agissent sur ces différents points, pendant le même temps.

Appliquons ce théorème à un déplacement infiniment petit. Soient ds le déplacement du point m, dx, dy^ dz ses projections sur les axes des coordonnées ; le travail d'une force F appliquée à ce point étant égal à la somme des travaux de ses composantes, on a

trav. élém. de Y ^=^^dx -^-X dy -\-"Ldz et, par suite,

(11) ^2^=::2(Xt/a:-hY^7-hZ^^).

1 4 PRÉLIXI5iJR£S.

18. 11 existe une relation très simple entre la force vive du mouvement d'un système par rapport à des axes fixes et celle de son mouvement par rapport à des axes mobiles, de directions constantes, et passant par le centre de gTa\ité du système.

Désignons, comme au n« 16, par j:-,, Viy Zi les coordonnées du centre de gravité, et par ;, t,, l les coordonnées d'un point matériel quelconque par rapport à des axes menés parle centre de gravité, parallèlement aux axes fixes ; on a

2?= J2»[(^i'Ht)'-(S)']

.^ V ^^ ^^ ^ dt dt dt dt)

Si Ton appelle v la vitesse du centre de gravité, u celle d'un point quelconque par rapport aux axes mobiles passant par le centre de gravité, et si Ton remarque que les dernières sommes sont nulles, l'équation précédente se réduit à

/wi** Mv* v^ mu-

Ainsi :

Théorème V. — La force vàe d'an système est égale à la Jorce vive de la masse entière supposée concentrée au centre de gravité, plus la force vive de ce système dans son mouvement relatif à des axes de directions constantes passant par le centre de gravité.

19. Ceci va nous permettre d'étendre au mouvement relatif le théorème des forces vives. L'équation (ii) devient en effet

^^ ^^2^ =(i;x-'-. +2y<»-. +i;z.rf--.)

+2(X c^ + Y rfr, -1- Z rf?).

Mais nous avons démontré (n° 13) que le mouvement du centre

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT DES SYSTÈMES. l5

de gravité est le même que si toute la masse y était concentrée et toutes les forces transportées parallèlement à elles-mêmes'. En appliquant à ce point de masse M le principe des forces vives, on a

et réquation précédente se réduit à

Ainsi le théorème des forces vives subsiste quand on considère le mouvement relatif du système par rapport à des axes de directions constantes passant par le centre de gravité :

Théorème VI. — Si Von évalue la force vive de chaque point et le travail de chaque force dans le mouvement relatif à des axes de directions constantes passant par le centre de gravité, la variation de la somme des forces vives de tous les points du système est égale à la somme des travaux de toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, qui agissent sur ces différents points.

Travail des forces intérieures.

20. Dans l'application du théorème des forces vives, il est bon de distinguer les forces intérieures des forces extérieures. L'action mutuelle de deux molécules m et m'y dont la dislance est r, se compose de deux forces égales et opposées mm'o{r), appliquées, l'une au premier point, l'autre au second point, et dirigées suivant la droite qui les joint. La fonction ?(/•) est positive ou négative, suivant que la force est attractive ou répulsive. Soient x, j, z les coordonnées du point m par rapport aux axes fixes, x', y, z' celles du point m' ; les composantes de la force appliquée en m sont

^■=Lmm' ^{r) -^ — ^

\—.mm'^{r) - — ^^

Z^=imm'^{r) ?

l6 PRÉLIMINAIRES.

et le travail élémentaire de cette force dans le mouvement absolu a pour expression

^dx-^Xdy-^Zdz

^=.mm' -i-^ [{x' — x) dx -^ {y' —■ y) dy -\- {z' — z) dz\.

De même, le travail élémenlaire de la force appliquée au point m' est

^{y^dx'-^\dy-\-Zdz')

= - ''''^'^^''\ {x'^x)dx' + {y'-y)df-^{^'^z)dz'^.

En ajoutant ces deux quantités, on a le travail élémentaire de Faction mutuelle des deux molécules :

^'^'^'^}'\{x^-^x){dx'-dx)

iy-y){dy'^dy)-^{z'^z){dz'^dz)].

Or l'équation

r^=:{x'—xy-^{y—yy-h{z'-'zy

donne

rdr ={x'— x) {dx'— dx)-^{y'^y) {df— dy)-^{z'— z) {dz'— dz).

L'expression du travail devient ainsi

— m7n'o{r)drz=z mm' d ^{r)y

si Ton désigne par ^{r) une fonction ayant pour dérivée

— ?('•)• La somme des travaux élémentaires des forces intérieures

sera donc

^^mm'd^{r) ^= d^^mm'^{r).

11 y a dans le second membre autant de termes que de combinaisons des points matériels deux à deux.

Cette expression ne renfermant que les distances mutuelles des points du système, il est clair que le travail des forces in-

lérieures est le même dans le mouvement relatif que dans le mouvement absolu.

La distance r de deux points s'exprimant par les différences

des coordonnées des deux points, la quantité 7^ mm' ^^ (r) est

une fonction des coordonnées de tous les points du système, fonction que nous désignerons par /(j?, /,>:?, ^', y, ^', ...), et qui ne dépend que des positions relatives des points les uns par rapport aux autres. La somme des travaux élémentaires des forces intérieures est la différentielle totale df[x,y,Zy x'^y, z'y . . .) de cette fonction. Concevons maintenant que le système passe de l'état caractérisé par l'indice i à l'état caractérisé par l'indice 2, on aura, pour cette transformation finie,

^GF int. —f{x^y j2, -2, ^'^y . . • ) —/(-a?!, Ji, -1, <, . . .), ou plus simplement (i4) ^tBl^mi.^f,-/,.

Il sera utile, comme nous le verrons, de remplacer la fonction/ par une fonction égale et de signe contraire, que nous désignerons par n. De cette manière, la somme des travaux des forces intérieures, quand le système passe de la position [i] à la position [2], est égal à lli— 1I2.

21. Cherchons à préciser le sens de la fonction II. Nous avons posé

cp(r):=4.'(r), ^mm'^{r)^f et Hzzz:-/.

La fonction ^, et par conséquent les fonctions / et n, qui en dépendent, renferment une constante arbitraire. On démontre en Mécanique que lorsque, pour un certain état du système, la valeur de la fonction/, que Ton appelle /onc^wn des forces, est un maximum, cet état est un état d'équilibre stable. Si la fonction/ présente plusieurs maxima, nous considérerons le plus grand d'entre eux. Or on peut concevoir que l'on ait dé-

l8 PRÉLIMINAIRES.

terminé la constante de manière que ce plus grand des maxima delà fonction / soit précisément égal à zéro. De cette manière, la fonction /conservera une valeur négative, et par conséquent la fonction n, qui lui est égale et de signe contraire, restera toujours positive.

Imaginons que le corps parte de la position d'équilibre stable qui correspond au plus grand des maxima de la fonction des forces, et vienne à sa position actuelle, le travail des forces intérieures pendant cette transformation est/(^, j, ^, ...) — o. Cette quantité négative représente le travail qu'il faut dépenser pour tirer le corps de la position d'équilibre dont nous avons parlé et l'amener à sa position actuelle. Inversement, si on laisse le corps revenir à cette position d'équilibre, les forces intérieures produiront un travail positif

La fonction n représente donc le travail positif que le3 forces intérieures seraient capables d'effectuer, si le corps quittait la position actuelle et revenait à la position idéale d'équilibre stable, qui correspond au plus grand des maxima de la fonction des forces.

Conservation de l'énergie.

22. Supposons que le système ne soit soumis à aucune force extérieure ; la variation de la somme des forces vives de tous les points du système, quand le système passe de l'état [i] à l'état [2], est égale à la somme des travaux des forces intérieures, c'est-à-dire à/2— /i, ouàlli— 112. On a donc l'équation

ou

-Uj,

y^ /wp|

-f-Hj:

H-Hi.