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La quantité V quelconques du système, conserve une valeur constante pen-
dant toute la durée du mouvement, et Ton a (i5) 2d HH^const.
Le premier membre de cette équation se compose de deux parties essentiellement positives dont la somme est constante. Ces deux parties peuvent se transformer l'une dans Tautre; quand Tune d'elles diminue, l'autre augmente d'une quantité égale. La première est la somme des forces vives de tous les points du système, la seconde le travail potentiel des forces intérieures, ou le travail maximum qu'elles peuvent produire. Il est utile de donner à ces deux grandeurs des noms qui rappellent leurs analogies mécaniques.
Nous adopterons les dénominations proposées par Rankine; nous appellerons énergie cinétique d'un système la somme des forces vives de tous les points du système, et énergie potentielle le travail maximum que peuvent produire les forces intérieures. La somme de ces deux quantités est Vénergie totale, ou simplement Vénergie, du système. Nous désignerons l'énergie cinétique ou la force vive par V, l'énergie potentielle par W, et l'énergie totale par U, de manière que U = V -h W. L'équation (i5) signifle que :
Théorème VIL — Lorsqu'un système n'est soumis à aucune force extérieure, son énergie reste constante.
Tel est le théorème connu sous le nom de conservation de l'énergie. Cette énergie se compose, comme nous l'avons dit, de deux parties : la première, la force vive, dépend de la grandeur des vitesses des différents points du système; la seconde, l'énergie potentielle, de leurs positions relatives. L'exemple du ressort comprimé (n° 9) fait bien comprendre ce qu'on entend par énergie potentielle. L'énergie potentielle du ressort est le travail qu'il est capable de produire en se détendant; ce travail est égal à celui qu'il à fallu effectuer pour le comprimer.
23. Le principe de la conservation de l'énergie s'applique au mouvement relatif à des axes de directions constantes passant par le centre de gravité. Nous avons vu, en effet (n* 18), que la force vive du mouvement absolu du système est égale à la
force vive du mouvement de translation, c'est-à-dire à la force
vive de la masse entière supposée concentrée au centre de
gravité, plus la force vive du mouvement relatif. Si Ton désigne
par Yi cette dernière force vive et par U, l'énergie V,- 4- W du
système, quand on fait abstraction du mouvement du centre
Mv^ de gravité, on a L =UjH Lorsqu'il n'y a pas de force
extérieure, le dernier terme étant constant, Vénergie intérieure U,- conserve aussi une valeur constante.
24. Il est aisé de comprendre que l'énergie d'un corps mesure en quelque sorte sa puissance mécanique. Considérons, par exemple, deux corps A et B {fig. i ), unis par un fil
Fig. I.
inextensible et sans masse CD. Supposons qu'il n'y ait pas de forces extérieures ; l'énergie totale du système formé par ces deux corps restera constante. L'énergie du fil est nulle; en effet, sa masse étant nulle, sa force vive est nulle; d'autre part, comme il est inextensible, les deux tensions donnent des travaux égaux et de signes contraires, et, par suite, l'énergie potentielle du fil est aussi nulle. On a donc simplement, pour ce système, en appelant U l'énergie du corps A, et U' celle du corps B, l'équation
U -h U' =1 const.
Les deux parties de cette somme peuvent se transformer l'une dans l'autre par l'intermédiaire du fil. Lorsque U diminue, U' augmente d'une quantité égale; c'est là ce qui caractérise l'action mécanique du corps A sur le corps B. Suppoposons que l'énergie U diminue jusqu'à devenir nulle, et, à ce moment, supprimons la communication des deux corps en coupant le fil ; la nouvelle énergie U" du corps B est égale, d'après
le théorème général, à la somme des deux précédentes, et l'on a
A partir de ce moment, Ténergie du corps A reste constamment nulle; ce corps est arrivé à un état d'équilibre stable au repos, qui persistera tant que des forces extérieures n'interviendront pas. L'énergie totale U du corps A mesure donc l'action mécanique maximum que ce corps peut exercer sur les corps extérieurs.
25. En résumant ce qui précède, on voit que, lorsqu'un système n'est soumis à aucune force extérieure, trois quantités restent constantes :
1° La somme des projections des quantités de mouvement sur un axe fixe quelconque ;
2° La somme des moments des quantités de mouvement par rapport à un axe fixe quelconque, ou par rapport à un axe mobile de direction constante passant par le centre de gravité ;
3<> L'énergie totale, ainsi que l'énergie intérieure du système.
Énergie des mouvements vibratoires.
26. La force vive d'un système se compose, comme nous l'avons dit, de la force vive du mouvement de translation du centre de gravité et de la force vive du mouvement relatif à des axes de directions constantes passant par le centre de gravité.
Mais il y a lieu de distinguer encore dans cette dernière énergie ce qui se rapporte au mouvement sensible et ce qui se rapporte au mouvement vibratoire, qui est en général très rapide et impossible à observer directement.
La force vive de chaque molécule varie pendant sa vibration; par exemple, si la vibration est rectiligne, la force vive est nulle aux extrémités de l'oscillation et maximum au milieu. Mais un volume, même très petit, contient un grand nombre de molécules qui sont à toutes les phases de leurs oscillations. Pour évaluer la force vive de l'ensemble des molécules, il suf-
lira donc de prendre la force vive moyenne d'une molécule et de la multiplier par le nombre des molécules.
Considérons d'abord un système de points matériels sans mouvement sensible et animés seulement d'un mouvement vibratoire. Chaque point matériel oscille autour d'une position moyenne. Nous représenterons par œ, r, z les coordonnées de cette position moyenne, et par ^-f-$, j-f-T), xj-+-Ç celles du point matériel en mouvement. Puisqu'il n'y a pas de mouvement sensible, les coordonnées .r, j, z sont indépendantes du temps, et l'on a
On peut regarder un mouvement vibratoire quelconque comme la superposition de vibrations simples de la forme
$ — A cos
T, " B cos
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