SS-T
rexpression
wzzzVy—
mnx^
représentant l'énergie potentielle relative des deux systèmes. On a d'ailleurs
V désignant le potentiel du premier système au point où se trouve la masse m! du. second.
Si le premier système est un feuillet homogène d'intensité * et que w désigne l'angle solide sous lequel de la masse m! on voit la face positive du feuillet *, on a V = *a) et, par suite,
(3) W =2 mJ^isi = *y m'o) :=: *N.
Le produit m'ai étant la quantité de force émanant du pôle
m' qui traverse le feuillet*, l'expression Vm'a) = N est la
somme algébrique des quantités de force émanant du second système qui traversent le feuillet.
Entre les deux états (i) et (2)^ le travail de l'action mutuelle des deux systèmes est
258. Si le second système est aussi un feuillet homogène d'intensité *', on aura de même
N' étant la somme des quantités dcforce émanant du premier feuillet qui traversent le second.
Les deux expressions de l'énergie relative donnent la relation
Si l'on a *i=*', il en résulte N = N'. Ainsi, pour deux feuillets homogènes d'égale intensité, la quantité de force émanant du second feuillet qui traverse le premier est égale à la quantité de force émanant du premier qui traverse le second.
MAGNÉTISME. â85
En désignant par dL cette quantité de force commune, lorsque l'intensité des feuillets est égale à Funité, on aura
et, par suite,
(5) W = ^^'Sf^,
Remarque, — Il résulte de ce qui précède que l'action mutuelle de deux feuillets magnétiques homogènes S et S' ne dépend que de leurs intensités * et <ï>' et de leurs contours C et G; elle est indépendante de la forme des surfaces S et S'.
Action d'un pôle sur un feuillet.
259. Théorème 1. — Le système des forces /exercées par u/i pôle m,agnétique sur un feuillet hom,ogène S peut être rem^ place par un système de forces cp appliquées aux éléments du contour C du feuillet.
Considérons un feuillet homogène C d'intensité * et un pôle magnétique de masse h- m' situé au point P {fig.yS),
Supposons que, le pôle m' restant fixe, le feuillet se déplace infiniment peu, de C en Ci, comme un corps solide; on peut imaginer que la surface du feuillet a une forme telle qu'elle glisse sur elle-même ; il suffit, pour cela, de concevoir une surface S passant par les deux courbes C et Ci qu'occupe suc-
cessivemeat le contour du feuillet. Si Ton désigne par N et Ni les quantités de force émanant du pôle m! qui traversent le feuillet dans ses deux positions, la somme des travaux, pendant le déplacement considéré, des forces / appliquées au feuillet est
Comme on peut supprimer la partie de la surface S commune aux deux feuillets, on obtiendra la différence N — N, en prenant les quantités de force qui traversent des éléments de surface tels que aô^i^i, limités par les deux positions successives aô et ai 61 d'un même élément du contour, et retranchant celles qui traversent les éléments de surface tels que cdc^d^. Si Ton mène la normale H à la surface S le long du contour, de façon que, pour les points tels que a, la normale soit dirigée vers la face négative du feuillet, et pour les points c vers la face positive, il suffira, pour évaluer la différence N -— Nj, de faire la somme algébrique des quantités de force qui traversent les éléments de surface aba^b^y cdc^di, dans le sens de la normale H ainsi définie. En appelant d(j un de ces éléments
de surface, r sa distance au point P, F^i: — j- la force magnétique produite par le p^e m' sur l'élément da, on- aura
^(rcos(F.H) ■
Imaginons qu'un mobile parcoure le contour C dans un sens tel que, pour un observateur placé dans la normale H, Tangle de rélément ab avec son déplacement aa^ soit décrit de gauche à droite; la normale au point c, définie précédemment, jouira de la même propriété.
260. Projetons l'élément de surface d(5 sur un plan perpendiculaire à la droite Pa; cette projection d<s' est
(ij' = ^<TCos(F.H).
Soient ds l'élément ab du contour {fig. 79) compté dans le sens du mouvement du mobile, 6 l'angle de la force F avec l'élément dsy a© la normale au plan Y ds dans une direction telle
que, pour un observateur situé dans la normale, Tangle 6 de l'élément ds avec la force F soit décrit de gauche à droite, enfm s le déplacement aa,. La projection ab'b\a\ de la surface d^ est
drs' = aV "X ae-=.ds sin 6 x e cos ( «p . e)
et, par suite, d^
,^rd^' ,,rds%\n^ . .
^rn'^j —=zm'^J --— s cos(cp.£).
Concevons suivant la direction acp une force ayant pour expression
m'^dssin^ (7)
on aura
dG =^ I (fz COs(cp, e),
et Texpression comprise sous le signe / représente le travail de la force cp appliqué à Vêlement ds du contour C. La somme
des travaux des forces «p étant égale à celle des travaux des forces / appliquées au feuillet S, pour un déplacement quelconque du feuillet, le système des forces «p est équivalent à celui des forces/, c'est-à-dire se réduit aux deux mêmes résultantes.
Le système des forces — /appliquées au pôle m' admettant une résultante unique,. il y a de même une résultante unique pour le système des forces / et, par conséquent, pour le système de forces cp.
261. Pour déterminer les composantes de la force cp, nous appellerons Xy'y^ z les coordonnées d'un point a du contour du feuillet {fig. 80) ; a, p, ^ les cosinus des angles que fait
Fig. 80.
avec les a\es la force F; a', p', y' et a", ^\ / l^s cosinus des angles que font avec les axes Félément ds et la force cp. Cette dernière direction étant perpendiculaire aux deux autres, on a
OU
y dz — z dy z dx — xdz x dy — y dx r ds sin6
Il en résulte pour les composantes «p^j Ty> Tz de la force <p, parallèlement aux axes,
, y dz — z dy ^x = rn'^ • •- y
, , z dx — x dz < ?r = »i'* -i '
f , ^ X dy — y dx \ ^z^m'^ —-^
262. On peut vérifier que les forces cp appliquées aux divers éléments du contour G admettent une résultante unique passant par le point P.
MAGNÉTISME. âSg
Le moment de la force cp par rapport à Taxe des z est ^?y— y^x-^- -—r [-^(^ dx — xdz)—y(^ydz--z dy)'\
[z{x dœ '-\- y dy) — {x^ +J*) ^^]
=1 — ^ {xr dr — r* c?^)
zdr—rdz ,^j(^\
La somme des moments des forces cp appliquées au contour entier C est donc .
263. Les forces — / appliquées au pôle m' étant égales et contraires aux forces /appliquées au feuillet, leur résultante est égale et contraire à celle des forces cp; on a donc
'(Cl
ydz —
zdy
Z dx —
X dz
X dy —
• y dx
chacune des projections s'exprime ainsi par une intégrale simple étendue au contour du feuillet.
264-. L'expression de la force <p a été trouvée par Laplace à propos des actions magnétiques exercées par les courants, comme nous le verrons plus loin. Pour interpréter cette force géométriquement, imaginons que l'élément ab du contour
B. — Chaleur. 19
agO DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VII.
kfig' 8i) soit remplacé par un aimant élémentaire de longueur ds dont les pôles sont -i- €» et — *, et dont l'axe magnétique soit dirigé de b en a, en sens contraire de la direction de Télé-
ment ds. Le moment du couple produit par l'action du pôle m! sur cet aimant tournant autour de son milieu c est égal à
m!*^ ds%\w^
et le plan du couple est perpendiculaire à la force <p. Cette force représente donc l'axe du couple considéré.
Action réciproque de deux feuillets.
265. Théorème II. — Le système des forces f exercées par urt feuillet magnétique homogène S' sur un feuillet m,agnétique homogène S peut être remplacé par un système de forces ^ appliquées à chacun des éléments du contour C du feuillet S et dirigées suivant les droites qui joignent les éléments des deuao contours deux à deux.
Nous avons vu que les forces / exercées par un pôle m' sur le feuillet S peuvent être remplacées par des forces <p appliquées aux éléments ds du contour G. Considérons les forces «p appliquées à un même élément ds et provenant de divers pôles ± m' du feuillets'. Leur résultante est égale à Taxe du couple produit par l'action du feuillet S' sur Télément ds considéré comme un petit aimant (+* — *) tournant autour de son milieu. La résultante des actions du feuillet S' sur le pôle — * a pour projections, en prenant l'origine des coordonnées au milieu c de Félément ds {fig. 82), appelant x'y y, z' les
coordonnées de Félément ds' et r la distance des deux éléments ds et ds'y
r' dz' — z' dy
dx'
dz'
dV
dx'
Si Ton désigne par a, p, y les cosinus des angles de Télé-
Fig. 82.
ment ds avec les axes des coordonnées, les cordonnées du point b sont a — , p— , ^—^ et Taxe du couple a pour projec-
