CHAPITRE IX
Action mutuelle de deux courants d'intensités constantes dans des condacteurs fixes. — Formule de Weber. — Action mutuelle de deux courants d'intensités variables dans des conducteurs fixes. — Induction d'un courant sur lui-même par le changement d'intensité. — Induction entre deux courants par le changement d'intensité. — Action mutuelle de deux courants dans des conducteurs mobiles. — Induction d'un courant sur lui-même par le changement de forme du conducteur. — Induction entre deux courants par le mouvement des conducteurs. — Moteurs électriques et machines électromotrices.
Action mutuelle de deux courants d'intensités constantes dans des conducteurs fixes. — Formule de Weber.
280. Nous avons étudié deux catégories principales de phénomènes électriques : les phénomènes d'électricité statique qui sont régis par la loi de Coulomb
mm'
et les phénomènes électrodynamiques qui sont compris dans la formule d'Ampère ( n* 276 )
^ii'dsds' d'^\/T'
^f ds ds'
La première donne l'action mutuelle de deux masses électriques m et m' au repos, la seconde celle de deux éléments de courant. M. Weber est parvenu à réunir ces deux lois dans une expression plus générale, qui comprend les deux catégories de phénomènes, en admettant que l'action mutuelle de deux masses électriques n'est pas la même suivant que ces masses sont en mouvement ou en repos.
PHÉNOMÈNES d'induction. SoQ
M. Weber raisonne dans Thypothèse des deux fluides ; dans cet ordre d'idées, on regarde un courant d'intensité i comme formé de deux courants d'électricités contraires, marchant dans des sens opposés avec la même vitesse m, et ayant chacun
une intensité égale à -• Si l'on appelle lo la section très petite
du conducteur et k la densité des fluides électriques, la quantité de chacun des fluides qui traverse la section du fll dans l'unité de temps est A: wi/; on a alors, pour chacun des courants,
- z=z kiau
et, par suite,
iz=z 2k(i>U»
Un élément ds du conducteur contient des masses égales 4- m et — m de fluide positif et de fluide négatif, et Ton a
d'où
(i) imu-z=iids,
281. Considérons deux courants d'intensités constantes i et t' dans des conducteurs fixes C et C'{/ig.S'j), et supposons d'abord que les aires w et w' des sections soient constantes; les vitesses u et u' de l'électricité sont alors constantes le long
Fig. 87.
de chacun d'eux. La position d'une masse m de fluide positif se mouvant sur le premier conducteur, avec la vitesse u, dans le sens de la flèche, est déterminée à chaque instant par l'arc s compté à partir d'un point fixe sur le conducteur.
3lO DEUKIÈMB PARTIE. — CHAPITRE IX.
De même, la position d'une masse m! de fluide positif se mouvant sur le second conducteur avec la vitesse m', dans le sens de la flèche, est déterminée à chaque instant par Tare 5' compté à partir d'un point fixe 0' sur ce conducteur. On doit donc regarder s et 5' comme des fonctions du temps,
et Ton a
ds ds' ,
dt ' dt
La distance r des deux masses en mouvement est une fonction des arcs s et s\ et par conséquent une fonction du temps.
Il en est de même de la quantité >/r. On a donc, en différentiant une première fois cette fonction composée,
d\/r d\fr ds dsfr ds' d\fr , d\fr
^'^^ 'W'drdi'^Wdi-'^'d^'^'^ ~d^'
Les dérivées partielles ~- y --p- sont elles-mêmes des fonctions de s et s\ et par conséquent des fonctions de ^; on aura donc, en différentiant une seconde fois,
dt^ "" "V às^ dt'^ dsds' dtj'^^ \dsds' dt "^ ds'^ d Oa en déduit
Les masses électriques ±:m et ±: w' en mouvement dans les éléments des conducteurs ds et ds^ sont déterminées respectivement parles équations (i)
2 mu =z idSy im}u!z=z i' ds\
La somme des valeurs de l'expression (4) pour les deux combinaisons de la masse H- m avec les masses zb m! est égale
PHÉNOMÈNES d'INDUGTION. 3iI
à ù^mm'uu' ^\ , y car on doit, en changeant m' en — m', remplacer aussi u' par — u , La somme des valeurs de cette expression pour les deux combinaisons ( — m, zb m') est la même, puisqu'il suffît de changer en même temps les signes de m et de M, Pour les quatre combinaisons (zt m, ±: w'), on aura
(5) 2,'^m'-^=Smm'uu'^^=2udsds'-^^r La formule d'Ampère (n'^âTG) peut donc s'écrire
dt'
le signe ^ s'étendant aux quatre combinaisons des masses
± m de l'élément ds avec les masses ih w' de l'élément ds\
Ainsi la force électrodynamique i];, relative à deux éléments ds eids' des conducteurs traversés parles courants i et i', peut être regardée comme la résultante de quatre forces
2à^mm' d*\/r
s'exerçant entre les masses élémentaires en mouvement dans ces deux éléments, suivant la droite qui les joint.
En y ajoutant la force électrostatique de Coulomb (n** 162), on peut admettre que l'action /'de deux masses électriques m et m' en mouvement a pour expression
, . -, mm' 2a^mm'd^sfr ,/i ia^ d^\fr
Cette formule de Weber comprend, en effet, les phénomènes électrodynamiques, puisque le premier terme, relatif à l'action électrostatique, disparaît dans la combinaison des masses (±:/7z, zb/n') renfermées dans les deux éléments ûI!s et ds* ; elle comprend aussi les phénomènes électrostatiques, puisque le dernier terme est nul lorsque la distance des masses est invariable, La loi de Weber présente, en outre, l'avantage
3l2 DEUXIÈHB PARTIS. — CHAPITRE IX.
d*expliquer complètement une autre catégorie de phénomènes découverts par Faraday, qui constituent Vinduction électro^ dynamique.
282. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que chaque conducteur a une égale section dans toute sa longueur; si la section est inégale, il faudra regarder to comme une fonction de 5; la vitesse u du courant ne sera pas la même aux différents points du conducteur, ce sera aussi une fonction de s. La vitesse u de la masse -h /w se mouvant dans le conducteur C sera donc variable, et Ton aura
du du ds du
dt ds dt ds
On aura de même, sur l'autre conducteur,
du' , du' dt ds'
Quand nous avons différentié l'expression (2) de -^—y nous
avons regardé u et a' comme des constantes; ces quantités étant maintenant des fonctions du temps, il faudra à Texpres-
sion (3) de — -^ ajouter les termes
d\f/' du d\/r du'
ds dt ds' dt ou
du d\[r , du' d\fr
ds ds ds' ds'
c'est-à-dire ajouter au second membre de l'équation (4), les termes
jfu—^-^u'— ^V ds ds ds' ds' )
mm
Quand on considère les deux combinaisons de la masse -h/w
avec les masses ± m'y ces termes additionnels restent les
du'
mêmes dans la parenthèse, puisque les facteurs u' et ^-j-
changent de signe en même temps; comme le signe est changé en avant de la parenthèse par le facteur m'y ces termes dispa-
PHÉNOMÈNES D'iNDUGTION. 3i3
raissent dans la somme (5). Ainsi l'inégalité de section ne change pas l'expression de la force électrodynamique.
283. La force exercée par l'élément ds' sur la masse m de l'élément d$ est, d'après la formule de Weber,
2, / I 2a} d} \fr\
le signe ^^ s'étendant aux deux combinaisons de la masse m
avec les masses ±: m' de l'élément ds\ Comme le facteur m' change de signe ainsi que la vitesse u' dans l'expression (4), il reste simplement
, 2a* . , d^s/r [\a^mui' ds' d^\/r
Jp ds as' Jf' ds as'
2a^u'dsds' d^\/r ^ y/^ âs âs' 2
L'action totale de ds sur ds' se campose donc de deux forces
égales à - agissant séparément sur les masses + m et —m,
