I dr dr d^r

COSe COSÔ COSÔ' =: - - -, ^ r

2 2 ds' ds ds ds'

D'autre part,

à\fr I -^ dr

ds 2 ds

d^sfr I ~\ dr dr i -\ d^r

— zz: /• — 1 — r

dsds' 4 as ds' 2 dsds'

2 d^\/7' J [i dr dr d^r] 3 , ,,

F jTTT = "i - -T" T~/ — ^ -J-^f =0'OSe COSÔ COSÔ';

i/Ç dsds' r' L2 ds ds' dsds'j 2 '

il en résulte

fa\ I « u' dsds' ( 3 ^ ^,\ (6) J^ = 2a2 ~ ( COS£ COSÔ COSÔ' ))

3o4 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE Ylil. — ÉLEGTROMAGNtTISlifE, ETC.

c*esl-à-dire que Taction de deux éléments est en raison inverse du carré de leur distance quand les angles 6, ô' et e ne changent pas.

Travail des forces électrodynamiques.

277. Pour déterminer le travail des forces électrodynamiques entre deux courants fermés, nous poserons encore

(7) Vf=a^j' p.^îl^dsds' = a^f f'^dsds',

et le travail élémentaire relatif au déplacement relatif des deux courants a pour expression

Cette quantité W est ce que M. Helmholtz appelle le potentiel relatif à Faction mutuelle de deux courants d'intensité i, parcourant les conducteurs dans des sens déterminés. Si Ton change le sens de l'un des courants, cose change de signe, la valeur de W change elle-même de signe. On a en effet changé de signe les surfaces du feuillet magnétique équivalent au courant considéré.

Théorie du magnétisme d'Ampère.

278. L'analogie si frappante qui existe entre les propriétés des solénoïdes et celles des aimants conduisit Ampère à penser que les phénomènes magnétiques sont produits par des courants électriques. Il assimila les aimants à des solénoïdes et il fit rentrer ainsi le magnétisme dans Télectricité.

Un aimant quelconque peut être considéré comme formé d'une infinité d'aimants twès petits, disposés suivant une loi déterminée. Chacun de ces aimants pouvant être remplacé par un courant élémentaire, Taimant lui-même peut être remplacé par un système de courants. Dans les idées d'Ampère, une molécule magnétique est une molécule autour de laquelle circule un courant électrique élémentaire, et l'aimantation consiste dans la production ou simplement dans l'orientation de ces courants élémentaires.

ÉLEGTROMAGNÉTISME ET ÉLECTRODYNAMIQUE. 3o5

279. Nous avons vu (n<» 195) que raclion que des masses électriques données exercent à Textérieur d'une surface fermée qui les enveloppe est la même que celle d'une couche de même masse répandue sur cette surface suivant une certaine loi. Les forces magnétiques obéissant aux mêmes lois que les forces électrostatiques, ce théorème est applicable à un système magnétique quelconque, et en particulier à un aimant. Comme la somme algébrique des masses magnétiques dans un aimant est toujours nulle (n<» 253), il en résulte que l'action exercée par un aimant sur un point extérieur est la même que celle d'une couche fictive formée de deux parties ayant des masses égales et de signes contraires, distribuées suivant une certaine loi à la surface de l'aimant.

Cette couche fictive peut elle-même être remplacée, pour tout point extérieur, par un système convenable de courants électriques superficiels.

Soient {x la densité de la couche sur un élément <f S de la surface de l'aimant, Fi et F^ les composantes normales, comptées à partir de la surface, de l'action qu'elle exerce à l'intérieur et à l'extérieur. La quantité de magnétisme répandue sur l'élément d^ est {X dS et la quantité totale de force qui sort d'une petite surface fermée renfermant cet élément est égale à(Fi -hFj) dS. En appliquant le théorème du n'* 172, on a

(8) 4^h^=Fi + f;.

Considérons le potentiel intérieur V de la couché et les surfaces de niveau S auxquelles la force F est normale. Supposons que sur chacune de ces surfaces on applique des couches magnétiques égales et de signes contraires dont la den* site [X en chaque point soit déterminée par la condition

L^Tz L^Tz dn

L'action extérieure de cet ensemble de surfaces est nulle ; le produit {xcf/i est constant et égal à — ^ c?V entre deux surfaces de niveau voisines. Si donc on associe la couche positivé de la surface s où le potentiel est V avec la couche négative de la surface suivante s' où le potentiel est V — ûfV, on constitue un feuillet magnétique homogène dont l'intensité est {x dn. Un

B, — Chaleur, 20

3o6 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE YUI.

courant d'intensité - — qui suivrait sur la surface de l'ai-

mant la courbe déterminée par Tintersection du feuillet aurait la même action à Textérieur; on ferait de même pour tous les autres feuillets. Mais, en constituant ce feuillet [ic^n, on^ négligé une couronne de magnétisme négatif correspondant à la différence s' — s des deux surfaces, et comme raction totale du système nouveau est nulle à Textérieur, on en conclut que la résultante des actions de ces couronnes est égale et de signe contraire à celle des courants superficiels. Si Ton appelle t/s un élément de la couronne s' — s, dS Télément de la surface de l'aimant dont il est la projection, on a

Fi Fi dl,

F ~" 4iï{A "~ ^S ou

li.dl,= ^dS.

La quantité de magnétisme négatif qui existe sur Télément </2, si on la suppose distribuée sur l'élément c?S, y pro-

duirait une densité égale à — 7- • L'action extérieure du

système considéré de courants superficiels est donc la même que celle d'une couche de masse totale nulle, distribuée à la surface de l'aimant et dont la densité en chaque point serait

égale à + 7-^ •

On démontrerait de même, en imaginant dans le milieu extérieur des feuillets magnétiques indéfinis, interrompus

parla surface S, que l'action extérieure d'une couche de masse

F' nulle, dont la densité \»f est en chaque point égale à + -^ >

peut être remplacée par celle d'un système convenable de courants superficiels.

L'ensemble de ces deux systèmes de courants forme un nouveau système de courants superficiels qui équivaut, pour tout point extérieur, à une couche magnétique distribuée sur la surface S et dont la densité a pour expression

^^(F.-hF'.).

ÉLEGTROMAGNÉTISME ET ÉLEGTRODTNAMIQUE. 307

Cette densité, d'après Téquation (8), n'est autre chose que celle de la couche fictive.

La distribution des courants superficiels dont Taclion extérieure est égale à celle de Taimant est ainsi déterminée par la forme de la couche fictive équivalente â Tairnant et, par suite, par la distribution du magnétisme à l'intérieur de l'aimant;

Remarquons encore que la surface S peut être une surface fermée enveloppant un système magnétique. On peut donc énoncer ce théorème plus général que l'action d'un système magnétique quelconque à l'extérieur d'une surface fermée S qui l'enveloppe est égale à celle d'un ensemble de courants électriques distribués d'une manière convenable sur cette surface.

3o8 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IX.