Des deux équations (89) et (4i) on déduit
2 d{iw) i d{i'W) (43)
* ~" *' X' dt X dt
2 dji^sv') I djiW) * X" dt X' dt '
t'i et i[ représentant les valeurs -r et -^ relatives à un régime
permanent. Afin de mettre en évidence ce second mode d*induction, nous supposerons les forces électromotrices constantes et les conducteurs de forme invariable. Quand il n*y a pas de mouvement relatif, W étant constant, les intensités prennent les valeurs constantes h et i[, La même chose a lieu lorsque l'appareil passe par une position pour laquelle le potentiel W est maximum ou minimum ; car, la dérivée
dW
--7— devenant nulle, les équations précédentes sont vérifîéeè
, , ...,., di di^
par les valeurs i = «j, r == i^, ^- == o, -3- := o.
Ces équations (43) deviennent d'ailleurs
dW , . 2w di W di' dt ^ ^* 1 dt 1 dt'
dV( . ., 2«^' di' W di dt ^ ^' V dt \' dt'
I dW ., X dt ^'
2wdi W di' I ^W /2 w' di' W di\ l dt l dt ^ l dt \l' dt ^ y dt)
i fdwy
^ XX' \dt )
idW .
r dt ''
iw' di' W di I dVf (2v^di WrfA X' dt V dt^ V dt\\ dt ^ l dt)
' XX' V dt )
34o DEUX^Èafi PARTIE. — CHAPITRK IX.
Les forces électromotrices des piles étant constantes, si le potentiel W varie d'une manière uniforme, les intensités sont constantes et égales à :
A dt '
XX' \dr)
I dW .
)/ dt '»
I fdwy
303. Dans le cas particulier où le second conducteur ne renferme pas de pile, i[ =0, et ces équations se réduisent à
I dW
* XÀ' \dt ) ' XV \dt ) .
Lorsque le dénominateur est positif, t' est de signe con-
iraire a —7— et « > i^.
dt ' .
Supposons, comme au n"* 2^, que Ton ait déterminé le potentiel W en prenant dans le conducteur C le sens du courant /, et dans le conducteur C un sens tel que le potentiel ait une valeur positive. On voit qu'une diminution du potentiel W fait naître, dans le conducteur C, un courant de même sens et qu'une augmentation fait naître un courant de sens contraire. Une augmentation ou une diminution du potentiel produit donc le même effet qu'une augmentation ou une dimiiiution dans l'intensité du courant inducteur.
Moteurs électriqaes et machines électromotrices.
304. L'appareil que nous venons d'étudier, et qui est formé de deux conducteurs mobiles, dans lesquels circulent des courants i et 1", peut servir de machine motrice. Supposons que le mouvement des conducteurs soit périodique, comme cela a lieu dans la plupart des machines, et soit T la durée de la période. La force vive sensible des conducteurs reprenant la même valeur, le travail des forces électrodynamiques, pendant chaque période, est égal à celui des forces extérieures
■ * PHÉNOMÈNES D'iNDUCTiON»- * 3^^
éi dé signe coMrâirie. Rour évaîu^r le potentiel W,.nous imaT ginons deux courants d'intensité i, parcourant, Tun le conducteur G dans le sens même du courant i, l'autre le conducteur Gf dans un sei>s choisi à. volonté; pendant une période, le potentiel W passe par un minimum W, et par un maximum Wj. Pour que la machine fonctionne utilement, il est nécessaire de changer alternativement le signe de l'un des courants, par exemple du courant i'. Quand la machine va de la position du minimum a celle du maximum, dW ayant une valeur positive, on fait marcher le courant i' dans le conducteur G' dans le sens choisi pour l'évaluation de W; de cette manière, l'intensité i' devant être regardée comme positive, le travail iï'dW des forces électrodynamiques est positif. Mais, quand la machine va de la position du maximum à celle du minimum, dW ayant une valeur négative, on fait marcher le courant dans le conducteur G' en sens inverse de la direction précédente ; l'intensité i' devant alors être regardée comme négative, le travail ii'dW des forces électrodynamiques est encore positif. On rétablit alors le sens primitif du courant dans le conducteur G', et ainsi de suite.
Il est évident que le changement de sens d'un courant s'opère d'une manière continue, quoique dans un temps très court, et que par conséquent l'intensité i' devient nulle à chaque inversion. Si Ton intègre l'équation (42) pour une période du mouvement, on aura
(46) f (Ei-hE'i')dt--^ f (\i'-^\'i'^)dt-^ ( ii'dW. Jq Jq Jq
Ainsi l'action chimique des piles, pendant chaque période, est égale à l'énergie calorifique dégagée sur les conducteurs, plus le travail extérieur accompli.
305. Une pile suffit pour faire fonctionner la machine. On peut, en effet, disposer l'appareil de manière que le même courant parcoure les deux conducteurs G et G', et que le sens du courant soit changé alternativement dans le conducteur G'. Pendant la première phase du mouvement, on aura i' = i et, pendant la seconde, i' = — L L'équation (42) donne, pour la
première phase, en représentant toujours par ij Tintensité r r-,> et supposant les conducteurs de forme invariable,
(47) ^-h X + X' dt X-+-X' dt '
et, pour la seconde phase,
2iw^iv')di 2 d{iW)
(48) 1 = 1,- ^^^, di-^îTT'—dt-'
Si la force électromotrice est constante et qu*on néglige les variations de l'intensité i dans le second membre, on a la formule approchée
, . . 22j dW
(49) '"^'^-^TTVdf'
le signe supérieur se rapportant à la première phase, le signe
inférieur à la seconde; mais, comme —r— est positif dans le
at
premier cas, négatif dans le second, l'intensité t, variable
pendant le jeu de la machine, est constamment moindre que
l'intensité constante i, que produirait la pile si la machine
était en repos, et elle est d'autant plus petite que la valeur
dW absolue de --r-- est plus grande, c'est-à-dire que la machine
marche plus vite.
L'équation (46), appliquée aux deux phases d'une période, donne
f i'dW=f i[E — {l-^r)i]de;
l'énergie transformée en travail est égale à l'excès du travail des actions chimiques sur la chaleur dégagée dans les conducteurs. En désignant par Ii l'intensité moyenne du courant et I^ le carré moyen de l'intensité pendant chaque phase, on a
^•«GfW = (X + X')(^ll,~IÎ)T.
PHÉNOMÈNES d'iNOUCTION» 3^3
Cette expression est déterminée dans chaque cas particulier par la loi du mouvement.
Si Ton appelle im une valeur moyenne de i, définie par la condition imih — hn) = hh — ^y l'expression du travail pendant une période peut être mise sous la forme
Le travail pendant Tunité de temps
est maximum lorsque, pour un circuit déterminé, le jeu de la
machine est réglé de telle sorte que l'on ait i^=: -^^
Le coefficient économique de la machine, ou le rapport de Ténergie chimique transformée en travail à Ténergie totale dépensée par la pile est
il II il *
f El
dt
in* étant aussi une valeur moyenne de i définie par le rap-
port Y ' On peut rendre ce coefficient économique aussi voi-
Ai
sin de l'unité que l'on veut, et par conséquent la machine parfaite au point de vue théorique. Il suffit pour cela que l'intensité i soit très petite, ce qui a lieu quand la machine marche très vite; mais alors la quantité de travail produite dans l'unité de temps est aussi très petite, ce qui rend l'avantage illusoire.
306. Pour réaliser une machine inverse, c'est-à-dire un électromoteur, avec deux conduûtpurs C et C fermés et séparés l'un de l'autre, il suffit d'une pile E interposée dans le conducteur G; le mouvement périodique des conducteurs, mouvement produit par des forces extérieures, donne naissance à un courant marchant dans le conducteur C, alterna-
livement dans un sens et dans l'autre. D'après la seconde des équations (4^), on a d'une manière approximative
' ~" V dt '
Quand l'appareil va de la position où le potentiel est maximum à celle où il est minimum, l'intensité i' ayant une valeur positive, le courant induit marche dans le sens qui a été choisi pour évaluer le potentiel W; mais, lorsque l'appareil va de la position du minimum à celle du maximum, le courant t' change de signe et marche en sens contraire. De cette manière, et par le jeu naturel de la machine, le travail des forces électrodynamiques ii'dW est toujours négatif. Dans chacune des phases du mouvement, la machine reçoit un travail extérieur qui est transformé en énergie électrique, laquelle se dépense sous une forme quelconque, chaleur, lumière, décompositions chimiques, etc.
307. On obtient aussi une machine motrice en faisant réagir sur un courant produit par une pile un aimant naturel ou un électro-aimant. Le travail des forces électrodynamiques qui s'exercent entre un courant fermé i et un aimant a pour expression icTW (n<» 273), W étant un certain potentiel qui dépend de la position relative du courant et de l'aimant. Le mouvement étant périodique, le potentiel passe par un minimum Wi et un maximum Wj. Afin d'avoir toujours un travail positif, on changera alternativement le sens du courant.
La machine inverse n'exige pas de pile ; le mouvement relatif de l'aimant et du conducteur fait naître dans celui-ci un courant induit, qui change de sens alternativement, de manière que le travail des forces électrodynamiques idW soit toujours négatif.
