De réquation (32) on déduit
i- dw = </B — dG ext.
Sous celte forme on voit que le travail i^dw des forces électrodynamiques est égal au travail extérieur accompli ou reçu par l'appareil, plus la variation de la force vive sensible du conducteur. Aûn de simplifier les énoncés, nous comprendrons dans le travail extérieur cette variation de la force vive sensible, en la regardant comme un travail accompli ou reçu, suivant qu'elle est positive ou négative, et nous dirons, d'une manière générale, que le travail des forces électrodynamiques est égal au travail extérieur accompli ou reçu par Tappareil. D'après cela, l'équation (33) signifie que l'action chimique de la pile est égale à l'énergie calorifique dégagée sur le conducteur, plus l'accroissement d'énergie potentielle du courant, plus encore le travail extérieur accompli ou reçu. On en déduit
ou
. d(2^vi)
at
Si le potentiel w varie d'une manière uniforme, c'est-à-dire
div si -1- est constant, la force électromotrice E de la pile étant
elle-même invariable, l'intensité du courant sera constante et égale à
. dw
2 dw
'-^x dt
On voit par là qu'une augmentation du potentiel w diminue l'intensité du courant et que, au contraire, une diminution de ce potentiel augmente l'intensité du courant.
300. Considérons le potentiel sv comme une fonction quelconque du temps et supposons que la force électromotrice E de la pile et la résistance X du circuit restent constantes.
£n posant
pb£ï(omènes d'induction. 335
réquation (34) devient
Supposons que le potentiel w soit resté constant jusqu'à l'époque ^==0; les conditions initiales sont alors
^0 — s~' yo — ^) "^0 — ^«
Si Ton égale à zéro le second membre de l'équation (35), cette équation a pour intégrale
^ = AF(0, en posant
F(0 = e Vo /^\
L.a fonction F(^) a une valeur positive inférieure à i, puisque f{t) est toujours positive, et elle va en diminuant.
Pour avoir l'intégrale complète de l'équation (35), on fera varier le facteur arbitraire A, ce qui donne
J=AF'(0H-F(0f.
Portant cette valeur et celle de x dans l'équation différentielle, on obtient
Comme on a A = o lorsque ^ = o,
336 DEUXIÈME PARTIE. — GHAI^ITRE IX.
ce qui donne^ pour le courant induit,
^ ^ -^ 2^V X/(OJo J^(^)
Le signe du courant induit est contraire à celui de /\t),
c'est-à-dire à celui de -5- •
at
Désignant par 6 un nombre compris entre zéro et i, on a
d*où
et, puisque F(^) est plus petit que F (6^), la valeur absolue du courant induit est moindre que ^
Remarque, -— Si, après avoir varié depuis Tépoque tz=zo jusqu'à répoque t\ le potentiel w reste ensuite constant, on aura, pour des valeurs de t plus grandes que t\
X /(^)Jo /(^)"^X
d'où
et
\n \tt—f'\
^''^ ^ — ^7(ôJo ^^"
Comme la fonction F(^) tend vers zéro, le courant induit y tend vers zéro, et le courant principal tend à reprendre sa valeur initiale
Induction entre deux courants par le mouvement des conducteurs.
301. Considérons le cas général de deux courants fermés i et i' dans des conducteurs mobiles et déformables. Le travail de toutes les forces que le premier courant exerce sur luimême est -—d{i^w). De même, pour le deuxième courant, le travail est — d{i''w). Le travail de toutes les forces qui s'exercent entre les deux courants est — d{u'W). Le travail total est
La quantité
est rénergie potentielle du système. C'est le travail que le système développerait si chacun des deux courants se repliait sur lui-même, de manière à former deux courants égaux et de sens contraires, car alors on aurait w=:o, w'=:o, W=:o. Le mouvement sensible de chacun des conducteurs C et C étant déterminé par les forces électrodynamiques et les forces extérieures qui lui sont appliquées, on a
dB = i^ dw + ^S 4^C -h d^ ext. C, dB'= r- dw' -^d^^G-^d^ ext. C,
^ désignant les forces électrodynamiques provenant de l'action mutuelle des deux courants, et, par suite,
dB -^ dB'- i" dw 4- i'2 dw' -^ iV dW -h d^ ext.,
le dernier terme désignant le travail des forces extérieures qui agissent sur lès deux conducteurs. On en déduit
i^dw-hi'^diP'-^ii'd\\=dB^dB'—dGe\i.
En comprenant dans le travail extérieur la variation de la force vive sensible, comme nous l'avons fait précédemment, nous dirons encore que le travail i^dw ■+- i'^dw' -{- ii' dW des forces électrodynamiques est égal au travail extérieur accompli ou reçu par l'appareil.
Considérons maintenant le conducteur C et le courant î qui
B. — Chaleur » 22
le parcourt; le théorème des forces vives, appliqué à l'ensemble, donne l'équation
dB -h li'dtz^Eidt — d{i^w) 4- [é/S^/C — wf(i'W)] h-^S ext.C.
Le premier membre est la variation de la force vive totale, le second membre contient l'action chimique de la première pile, le travail du premier courant sur lui-même (n<> 298), le travail du second sur le premier (n^ 297), et enfin le travail des forces extérieures qui agissent sur le premier conducteur. En vertu de l'une des équations précédentes, cette équation se réduit à
(39) li^dt=:Eidt—2id{iw)--id{i'W).
Cette équation, mise sous la forme
Eidt — 2id{iw) — id{i'W) = \i^ dt,
signifie que le travail de la pile, plus le travail des forces électromotrices provenant de l'action du courant sur luimême et de celle que le second exerce sur le premier, est égal à la chaleur dégagée. En écrivant
diiiv) d(i'W)
^^^^t dr-=^''
on voit que la force électromotrice d'induction est
On a de même, pour le second courant,
(4i) Vi'^dt = YJi'dt'-2i'd{i'w') — i'd{iyi^).
En ajoutant membre à membre les deux équations (39) et (4i), on obtient
'£.idt + 'EJi'dt = \i^dt^Vi'^dt
(42) \ ^di.i'w-^i'^w'-^-ii'y^)
(i^div-^ i'^ dw' 4- W dW).
Cette équation signifie que la somme des actions chimiques
PHÉNOMÈNES d'iNBUCTION. SSg
fournies par les piles est égale à Ténergie calorifique dégagée sur les conducteurs, plus Taccroissement de Ténergie potentielle du système, plus encore le travail extérieur accompli ou reçu.
