III. — Milieu hémiêdriqce ou xon hémiédrique
Ayant :
e = sinSCTTï;*
Il convient de montrer qu'il faut attribuer un signe à T, comme à s:
En effet, la molécule vibrante étant, en O, à Tétat de repos, son déplacement initial pourrait être dirigé suivant A ou B. On doit donc, dès V origine du temps, tenir compte de ce fait et prévoir un mouvement vibratoire -|- e ou - e pour t voisin de zéro ; par suite on devra compter
le temps, soit de / = o à < = -f- T' soit de / = o à f = — — • Or la
FiG. 8.
valeur effective de la force élastique sera évidemment indépendante de la direction initiale du mouvement vibratoire dans vn milieu non hémiédrique. C'est précisément ce que nous donne la formule :
montrant que F est indépendant du signe de T, c'est-à-dire de la direction initiale du mouvement vibratoire, et, par suite, nous montrant que Ton admet implicitement une oscillation dans un milieu non hémiédrique. Or, si nous supposons que la lumière passe du vide dans ce milieu non hémiédrique, il en résultera que dans la zone d'attraction la relation (p. 10)
ne saurait contenir des termes en (^) à des puissances impaires. Dans
un milieu non hémiédrique, on aura donc :
-[.+ 3 (iy+ 5 (!)'+...]•
Cherchons maintenant la véritable expression de l'indice et il nous sera alors facile de trouver la seconde relation fondamentale entre l'indice et la longueur d'onde.
Tous les auteurs modernes ont admis a priori la relation : n ^ — >
qui n'était démontrée ni théoriquement dans la théorie de la dispersion, ni expérimentalement, l'expérience ayant conduit pour une lumière à V > u, mais ayant été impuissante à prouver l'inégalité de propagation des lumières simples.
Nous allons donc, comme Newton, chercher à déterminer l'indice, en tenant compte de l'attraction de la matière pondérable, non plus sur une molécule d'éther susceptible de marcher dans le sens de la propagation, mais vibrant dans un plan perpendiculaire.
C'est ce que nous allons faire en montrant que l'expression de l'indice est nécessairement de la forme :
lorsque l'on tient compte et de la formule générale de Newton sur la
Fi». 9.
propagation des ondes dans les milieux élastiques et de l'attraction de la matière pondérable sur les molécul;es d'éther en vibration.
MILIEU HÉMIÉDRIQUE OU NON HÉMIÉDRIQUE 55
L'épaisseur de la zone à partir de laquelle Tattraction de la matière pondérable commence à se faire sentir et est représentée par une résultante effective o étant infiniment petite, si h est la distance de la molécule d'éther m au milieu pondérable, celui-ci peut être considéré comme indéfini par rapport à A. L'attraction, dans tous les plans menés par A, sera analogue à celle dans le plan du papier. Et, dans celui-ci, l'attraction de tout le bloc sera analogue à celui dune épaisseur infiniment petite. Il suffit donc de calculer l'attraction d'une file de molécules pondérables agissant en raison inverse du carré de la distance sur la molécule d'éther m.
Or, en électricité, on sait, d'après le calcul et les expériences de Biot et Savart, que l'action d'un fil indéfini sur une molécule est exprimée par:
km
on aura par suite :
ktn
La molécule, ne pouvant vibrer que dans un plan perpendiculaire à la direction du rayon incident, on aura donc, pour la force /, contraire à la force de répulsion F des molécules d'éther entre elles ou de même sens:
/ = o sm i = on a encore
/ = o sm i = —r- sm i, ; n
T ,, , ^ km ^
xcosi = h; dou: /^=— -tangt.
Si, d'un autre côté, on nomme Y, la vitesse de propagation d'une onde dans un milieu élastique conformément à la formule de Newton
c'est-à-dire indépendante de la longueur d'onde, on aura x = Y.t, il
, „ km tans i . , , , .,. km
viendra / = "y p-' et dans le second milieu f = — tangr;on voit
FiG. 10.
que la molécule d'éther étant soumise à une force constante F = — -^i
pendant qu'elle effectue ses oscillations en dehors de la zone d'attraction, se trouve au contraire maintenant, sous l'influence d'une force essentiellement din"érente, à droite et à gauche du centre d'oscillation, savoir F — /"et F -f- /".'
Si y est la durée que met .la molécule pour elTecliier sa plus grande
T" élongation à droite, sous l'influence de la force F — /", — sa plus
grande élongation à gauche, sous l'influence delà force F -j-/', la durée t d'une oscillation complète pour parcourir le chemin )«A, Km., mB, B;>i, sera :
rr>r 'T'//
or
T' u T' rr
Mais, /"variant de o à o et devant être toujours beaucoup plus petit que F, sans quoi il n'y aurait plus oscillation, mais entraînement de la molécule dans le plan perpendiculaire à la propagation des ondes, on a donc :
VF
Ainsi, dans la zone d'attraction, on peut regarder le mouvement oscillatoire comme régi à chaque instant par la formule habituelle:
e' ^ ô' sin2ny-5
et une force <I>, constante dans un intervalle de temps infiniment petit, sollicitant la molécule d'éther conformément à la relation:
à condition de poser :
Vi " s/F L ^ « F-^ ^ 8.16 F^ ^ J
MILIEU HÉMIÉDRIQUE OU NON HÉMIÉDRIQUE 57
qui donne :
en supposant négligeables les termes en ^» •••
On voit que, dans celte démonstration, nous avons supposé, dans la
formule /" = — ^ang i, la valeur de i sensiblement constante pour le
même milieu. Ceci admet implicitement, i devant varier de i à i' dans le trajet total du centre d'oscillation de l'onde, que nous n'étudions le mouvement oscillatoire dans le premier milieu que de A en A' {fig. 9) et, par suite, la valeur de F variera seulement de :
km . . , km
, sm^ a -z— smi, h h„
ou de
km . . ^, km . .
f=:—T-sini a / =-7— smt.
Au-delà de A, l'action de la matière pondérable est insensible, donc ç> ^ o et/" = o.
Par conséquent :
La valeur de - sera donc essentiellement variable dans la zone AA' ; donc, quand nous parlerons de la valeur de l'oscillation dans la zone d'attraction, il ne peut être question que d'une valeur moyenne T, . Dans ces conditions nous poserons:
De même /", désignera la moyenne des différentes valeurs de /" et *, de <ï> ; c'est dans ces conditions que l'on peut admettre que l'on a, non plus dans un intervalle de temps infiniment court, mais quelconque, dans la zone d'attraction :
e' = 5'sin2n> ;;^> ^^ — 4», e', *, = F I l — ï p4 r
T,' dl^
Cela posé, si l'on multiplie par 2</e' les deux termes de l'expression
en -Tj^i il viendra, en intégrant et remplaçant <ï>^ par sa valeur <I> à l'entrée de la zone quand t = T :
[(IT--]=-i/f-=li./^-'-
et en remplaçant f par sa valeur, multipliant les deux membres par cos-i, on aura:
[(f;-F.^]eosn = 2|f(^)yi
■rfe'
Si Ton avait t = e, auquel cas la molécule vibrerait en dehors de la
zone d'attraction, l'expression (-f-) — Fe'^ serait constante. La
variation de cette valeur avec l'obliquité {i) du rayon incident est donc uniquement due à l'attraction de la matière pondérable sur la molécule d'éther en vibration ; c'est le travail effectué sous Tinfluence de l'attraction de la matière pondérable seule.
Or ( — J — Fs'^ cos^ i est la composante horizontale de ce travail,
et est perpendiculaire à la résultante des forces d'attraction. Elle en est donc indépendante, quand i varie dans un même milieu et, par suite, constante. On a donc :
Cela posé, admettons, à l'exemple de Lorentz, que la densité de l'éther ne devienne uniforme dans le milieu pondérable qu'à partir d'une certaine épaisseur h^^ il en résultera que, dans la couche d'air h^, elle commencera, sous l'influence de Tattraction, à devenir plus grande que dans l'air, que, dans la même couche A^ dans le milieu pondérable, elle pourra être considérée comme sensiblement la même, puis ira successivement en augmentant jusqu'à la valeur définitive, qu'elle acquiert à partir d'une certaine profondeur h^ . Dans ces conditions, on pourra considérer Téther et la matière pondérable, jusqu'à cette épaisseur h^, comme formant un éther fictif de densité intermédiaire entre celle du vide et celle du milieu réfringent à partir de 7^^ . Par conséquent l'attraction de la matière audessous de la ligne BB^ agit encore sur le mouvement oscillatoire de
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cet éther fictif, exactement comme nous venons de l'indiquer pour Téther de la première zone d'attraction dans lair.
Dans le mouvement oscillatoire t fonction de l'attraction se maintient
dans cette deuxième zone où 1 on a encore «p, = — —7 et -7— = q>,e, ,
jusqu'à la limite inférieure de cette zone où ^^ redevient égal à F et Ta T.
Si donc V est la vitesse dans cette seconde zone, T, la valeur moyenne de T, en appliquant la formule ci-dessus (m), on aura :
/sin A ^ Ct[ch[ ^.^
Cela posé, les zones des deux milieux étant infiniment minces, on peut admettre la même valeur pour la résultante des attractions sur les molécules d'éther des deux zones.
Les compulsantes du travail dues à l'attraction et parallèles à la surface de séparation conserveront donc la même valeur, et dans chaque milieu et dans les deux milieux, puisque la résultante des actions de la matière pondérable reste normale à la surface. Les deux constantes ont donc la même valeur dans les deux milieux, et l'on aura :
/sin iy Ctrit /sinr\- fz[ds.[
\\t)J t' -\vtJJ f'
d'où
sm i
vtV//^ V/^
Ainsi c'est le rapport des longueurs d'onde et non des vitesses, qui s'est nécessairement introduit dans cette démonstration. Pour expliquer la dispersion, nous avons vu que Ion avait :
D'un autre côté, pour retomber sur la relation des expériences n = — > il suffit que les coefficients sous le signe / deviennent sensiblement
égaux, ce qui exige que e' soit voisin de e',, savoir <I> sensiblement égal à 4>,, c'est-à-dire ,que le mouvement oscillatoire soit le même dans la première et la seconde zone. Ceci peut être admis si la densité de Téther va en croissant de la surface à la profondeur, comme l'admettait Lorentz. Dans ces conditions, on retrouve la formule des indices en fonction des longueurs d'onde, telle que les auteurs l'avaient admise. En ce qui concerne les vitesses, on voit que l'on a :
dans laquelle V est la vitesse dans le premier milieu et v dans le second. On se rend compte de Terreur commise jusqu'ici lorsqu'on
écrivait : n = —> et que l'on enseignait que u' représentait la vitesse
dans le second milieu. 11 n'en était rien, puisque l'on devait admettre que Ton avait : *
•y' := u ( 1 dz ™
V étant la vitesse dans le second milieu et ( 1 ± ™ j un coefficient dont
dépend la dispersion.
Dans les substances fluorescentes il est probable que l'hypothèse de Lorentz ne se vérifie pas. Dans ces conditions on a alors :
et le dernier coefficient ne pouvant plus se réduire à l'unité, on voit pourquoi la loi de Descartes ne s'applique plus.
Il nous est facile maintenant d'arriver à la formule générale de la dispersion, après avoir fait remarquer que pour la première fois nous avons démontré la formule des sinus, en partant d'une hypothèse rationnelle, celle de Newton sur l'attraction, et n'invoquant pas comme Fermât «une cause finale », « hors de la portée de l'intelligence humaine '), et qui, de plus, ne convenait qu'à la théorie de l'émission.
