Les trois équations (a) du n^ 47 donnent

a^ sin* X = a' — A* ^»

b c^ sin' V = c^ — A^ — ;

DE LA ROTATION DES CORPS. i6i

doDC, en ajoulant, on a l'équation

(A) a* sin* X H- ft* sin* /x -h c* sin* 7 = û' -h 6* -f- c' — A* = constante.

Les mêmes équations ( a ) donnent

sin*X= I — A*-T» sin*tt= 1 — A*^:» s*ïï* v = i — A' — :

donc, en ajoutant, on a

(R) sin* X -h sin* /x -h sin* v = 3 — 1=2 = constante ^

ce qui revient à Téquation connue

cos' X -t- cos*/x + cos* V = I, comme cela doit être.

Donc, si Von considère les trois pôles A, R, C ^ Vellipsoïde central, il résulte de Véquation précédente (A), que la somme des carrés de leurs distances à ïaxejixe du couple d*impulsion est constante dans tout le cours du mouvement.

On peut r^rder sin'X comme a*^n'X x -^9 c'est-à-dire comme le produit du carré de la distance du pôle A à Taxe du couple, multijdiée par le carré du bras - de l'inertie du corps. Il résulte donc de l'équation (R) cet autre théorème :

La somme des carrés des bras d^ CinerUe du corps respectivement nudtipliés par les carrés des distances variables des pôles à l'axe du couple, est constante clans tout le cours du mouvement.

Des courbes a^, a^, a« décrites sur le plan du couple par les projections des trois pôles A, R, Cde Fellipsoute central.

56. Si l'on considère les trois courbes a«, a^, a^ que décrivent les trois pôles A, R, C projetés sur le plan du couple, on voit que ces trois courbes, dont le cours est infini, et qui, en général, ne se fer*

i62 THÉORIE NOUVELLE

ment point » sont de même genre que Therpolbodie a décrite sur le même plan par le pôle instantané de rotation.

Si À est > 69 par exemple, et que a soit ainsi Taxe que l'orbe elliptique s du pôle instantané entoure comme un essieu, la courbe a^ décrite, sur le plan du couple, par la projection du pôle A, sera, comme Therpolbodie c, formée par une suite d'ondes égales et régulières autour du même centre P. Et même , comme le maximum du rayon vecteur i^a = ^ ^î^ ^ répond au minimum de ^ , et ce minimum au minimum du rayon vecteur v de la courbe a, on voit que les sommets supérieurs des ondes de la courbe Qa répondent aux sommets inférieurs de la courbe 7, et les inférieurs aux supérieurs.

57. Pendant ce temps, les projections des pôles B et C décrivent aussi, autour du même centre P, des courbes a^, de qui ont des sommets alternatifs de maximum et de minimum^ où ces deux pôles passent aux mêmes époques, mais Tun B passant par un sommet supérieur, quand Tautre C passe à un sommet inférieur, et réciproquement : et cela, à un angle droit de distance entre le rayon vecteur ^ô de Tun et le rayon vecteur s^c de Tautre.

Si h est < 6, auquel cas l'orbe elliptique s entoure le petit axe c comme son essieu, on aura les mêmes propriétés pour les courbes décrites par les projections des trois pôles.

Ce qu'on peut remarquer dans les deux cas, c'est que la courbe a^, décrite par le pôle moyen B, est la seule dont les sommets répondent toujours à des sommets de même nom dans l'herpolhodie a, et que le contraire a toujours lieu pour les deux autres courbes a^, (r«..

Cas singulier de h = b.

58. Enfin si A = 6, auquel cas singulier l'orbe s est une ellipse passant par l'axe moyen by et la courbe a une spirale autour du centre P, 1^ le pôle moyen B décrira de même une spirale autour du même centre, se rapprochant sans cesse de ce point comme la spirale a, sans jamais pouvoir l'atteindre; ià? le pôle A décrira aussi une spirale, mais qui ira sans cesse en s'éloignant du même centre, depuis sa

distance minimum a • i/ ,^ > jusqu'à sa distance maximum a

DE LA ROTATION DES CORPS. i63

qu'elle ne pourra jamais atteindre : cette spirale , décrite par le pôle A, va donc sans cesse en s'épanouissant vers une circonférence de cercle du rayon a^ qui' en est comme l'asymptote; 3° enfin, il en sera de même de la spirale décrite par le pôle G, et dont le plus petit rayon

sera = c • \/-t~;^ ^* ^® P^"^ grand = c.

Cas où l'ellipsoïde central est de ré\H)lution.

59. Si l'ellipsoïde central est de révolution , l'orbe s est un cercle autour de l'axe de révolution, la courbe a est un cercle sur le plan du couple, et la projection du pôle de la figure décrit aussi un cercle concentrique. Dans ce cas, il n'y a point, à proprement parler, d'autre pôle de la figure que celui qui fait l'extrémité de l'axe de révolution. Mais si l'on voulait en marquer arbitrairement deux autres sur l'équateur du sphéroïde, pris à un angle droit de distance l'un de l'autre, et considérer les deux courbes que leurs projections décrivent, on aurait deux courbes parfaitement égales, qui ne seraient point circulaires, mais qui formeraieVit des ondulations régulières autour du même centre : les sommets de noms dififérents sur les deux courbes étant toujours à un angle droit de distance angulaire l'un de l'autre.

Remanjue I.

60. On a trouvé pour la vitesse angulaire ^ du pôle instantané I autour du centre , de l'axe du couple ,

de ^ k"^ h*ÂP^ '

i^ étant le rayon vecteur de l'herpolhodie a. Voyons quelle est, en fonction de son rayon vecteur Uaj l'expression de la vitesse angu-

laire -^ du pôle A de l'ellipsoïde autour du même axe fixe.

Cette vitesse angulaire est exprimée, comme on l'a vu plus haut, par

dva h a^ — x'

i64 THÉORIE NOUVELLE

Or, a^ sin^X étant le carré du rayon vecteur Va ^^ 1^ courbe a^, on a d'abord

rfir^ h à* — x'

mais, de

on tire

dt k v\

V^ = l3' sur A = ; 1

on a donc , en mettant pour a* — x^ cette valeur,

r/r ^ A Ah . (^

d'où l'on voit que l'expression de la vitesse angulaire -^ du pôle A de

la figure est semblable à celle de la vitesse angulaire -^ du pôle instantané I, l'une et l'autre se composant d'une partie constante et d'une partie réciproque au carré du rayon vecteur.

Et il est évident qu'on peut dire la même chose des deux autres pôles B et C, puisque leurs mouvements angulaires sont donnés par la même expression que la précédente en y changeant simplement a en A, et a en c.

Remarque IL

61. Si le corps était de révolution , autour de Taxe principal a par

exemple, il est certain que la vitesse angulaire -^ du pôle A serait

égale à celle du pôle instantané L On doit donc trouver, dans le cas de 6 = c ,

C'est, en effet, ce qui a lieu, car il est aisé de voir que, dans le cas de fe = c, le carré du rayon vecteur v de l'herpolhodie q est constant

DE LA ROTATION DES œRPSj i65

et qu'il a pour valeur

d'un autre côté, on a, pour le carré du rayon vecteur Va de la courbe a^,

or y en mettant ces valeurs de v^ et (^^ dans les expressions respectives de -r et -^? on trouve d'abord

dt di

et ensuite

même valeur que la précédente, comme cela devait être.

Remarque III.

62. Comme dans notre analyse la quantité jr exprime la grandeur du couple d'impulsion 9 on tire de l'expression précédente,

dv, b' dt ~ hÂ'

qui ne renferme que le produit hk et le carré de b^j cette conséquence remarquable : c est que, dans un corps dont l'ellipsoïde central est de

révolution, le mouvement -^ des nœuds de Téquateur sur le plan

fixe du couple ne dépend que de la grandeur de ce couple, et point du tout de sa direction; que ce mouvement ne dépend pas non plus du moment dHnertie autour de l'axe a du corps, mais du seul moment d'inertie autour du rayon b de l'équateur. Ainsi, quelles que soient la position du couple par rapport à Taxe, et la valeur du moment

d'inertie -; autour de cet axe, le pôle A du corps tournera toujours avec

lOG THÉOKIE SOUVELLE

la Ui^fiîï^ >tlebbe angulaire -^ autour de J'axf fixe du couple dinjpui-

btOD .

Or il uebt pas difficile de reconnaître que, mem^ sans cLaii^er la ui'<xbbt d'un corps, on en pourrait cLanger la figure dune irjfimté de nianieret» telles, que le sphéroïde central y aurait pour tous un equateur de même rayon b , mais un axe a qui diflférerait de Tun k Tautre. On peut donc dire qu'un même couple G, appliqué comme on voudra a Tun quelconque de ces corps, y produirait exactement la même pféceéiion^ c'est-à-dire le même mourement angulaire de la li^rne des riffiÀdb de i'équateur stir le plan 6xe de ce couple.

É<^uations différentielles dei courbes c^, 7^,, y^.

05. Si Ton voulait avoir Téquation polaire de Tune des courbes z^. f^nXre son rayon vecteur v^ et Tangle ir^ q« il décrit sur le plan fixe .

j| suffirait de chercher Texpression de -^ en fonction de r^, et de la comparer à celle de -^ qui nous est déjà connue.

Ainsi, comme on a

rï' — i^* = — JT*,

et d'ailleurs

on aura, en faisant, pour abréger,

Téquation

d'où Ton tire

Or on a trouvé précédemment (n° 8)

îi*;=.lv/(««-a')(P»-««)(««-/), et Ton a, d'après l'équation (i) ci-dessus,

^. „. ^ liEiiflhiiflzill),

donc, en substituant ces valeurs, on aura

dv.

Maintenant y comme on a pour l'expression de —^

dt "" hA

on aura, en divisant cette équation par la précédente y

ce qui est, entre le rayon vecteur Va et l'angle «« qu'il décrit sur le plan fixe du couple d'impulsion, Téquation cherchée de la courbe a^. On trouverait de même les équations polaires des deux autres courbes o^^, Cc décrites sur le même plan par les projections des deux pôles B et C de l'ellipsoïde central : il suffirait de changer a en b, et a en c dans l'équation précédente , mais avec cette attention de faire le même changement dans l'expression du nombre n , qui étant ici ,

serait pour a„ 11 = (^./.')^'^.,.j '

etpoura., » = (^.-c»'k1'-c') -

f68 THÉORIE HOUVELLE

64. Si. au lieu cie la courbe 7«, décrite par la projecboo du pôle A, on voulait considérer la courbe 7^ tracée par le point A' où Taxe a prolongé va rencontrer le plan du couple, il est clair qu'en nommant i^y le rayon vecteur de cette nouvelle courbe ?^, on aurait d'al>ord entre ^a ^ ♦'^j cette relation

Or, ces deux rayons vecteurs i^a ^^ ^^ étant toujours dans une même direction, il est évident que le mouvement angulaire du rayon 1^^ est parfaitement égal à celui du rayon Vat ^^ 4"^? P^^* conséquent, pour

avoir la vitesse angulaire -^ du rayon vjj il suffit de mettre, dans

l'expression précédente de -^» au lieu de i^^, sa valeur en vj qui est donnée ci-dessus. On aura donc de suite Téquation

A présent, pour obtenir Téquation polaire de cette nouvelle herpolhodie Of^, il faudrait chercher l'expression de -^ en fonction de i^^'. Or réquation (R) étant diflférentiée donne d'abord

dp]^ [h^-i-pif dP^

dt a(v,,' — apj -H A') dt '^

il ne reste donc qu'à trouver le facteur -^ en fonction du rayon v^.

Mais nous avons trouvé plus haut -^ en fonction du rayon m^, et

celui-ci, par Téquation (R), est donné en t;^; donc, en faisant ces

substitutions, on aura l'expression de —- en fonction du rayon vecleur sff^.

Donc enfin, si Ton divise l'expression de -^ par celle de -r^^ il

viendra

-^ = fonction de v^' ,

ce qui donnera l'équation polaire de la courbe qj.

On trouverait les deux autres courbes o-^^ (7c par le simple changement de a en h^ çt de a en c dans la précédente.

65. On peut remarquer entre ces nouvelles courbes et les premières une difiérence assez notable. Chacune des trois premières courbes a^, a^, o-^. est, comme Therpolhodie o-, toujours renfermée entre deux cercles de rayons finis, dont elle va toucher alternativement Tune et l'autre circonférences. Mais, des trois courbes c^', (7^, (Te', il n'y en a qu'une seule qui circule ainsi entre deux circonférences finies; et cette courbe est ou a^ ou a^ selon qu'on a

h> b ou h < b.

Pour les deux autres, elles vont porter les sommets supérieurs de leurs ondes sur des circonférences de cercle d'un rayon infini. C'est ce qu'il est facile de reconnaître par la simple comparaison du rayon vecteur îf^ au rayon vecteur if^; etc.

66. Par les deux variables tt^ et t^^, déterminées en fonction du temps tj on aurait la projection du pôle A sur le plan fixe, et comme

la hauteur de ce point au-dessus du plan est exprimée par y a* — s^^ , on connaîtrait la position du pôle A dans l'espace absolu : et ainsi pour les deux autres pôles B et C du corps. Mais l'intégration de ces

expressions -^ et -^ a les mêmes difficultés et demande l'emploi des

mêmes fonctions elliptiques que les précédentes ^9 -^ relatives au pôle instantané I de la rotation, etc., etc.

67. Mais je n'irai pas plus loin dans ces détails : nous n'avions ici d'autre but principal que de bien démontrer notre théorie nouvelle de la rotation des corps, et de l'élever à un point de clarté où elle devînt, pour ainsi dire, élémentaire: or il me semble que, par les nouveaux théorèmes et les images variées qui précèdent, cet important objet se trouve entièrement rempli.

J'ajouterai seulement, sur la nature du mouvement de rotation d'un corps libre , ce dernier corollaire : c'est que l'ellipsoïde central du corps est perpétuellement coupé par le plan fixe du couple d'impulsion suivant une ellipse dont la forme varie, mais dont l'aire est constante.

Cela se, voit presque immédiatement si l'on considère que tous les rhomboïdes construits sur trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde sont égaux en volume, et qu'il en est de même de tous les cylindres inscrits à ces rhomboïdes; que, par conséquent, de cette infinité de cylindres égaux, ceux qui ont même hauteur, ont des bases équivalentes. Or cest précisément ce qui a lieu pour les cylindres dont les deux bases parallèles touchent l'ellipsoïde central aux deux bouts de l'axe instantané de rotation.

PABIS. — IMPRIMVBIK DE BACHELIER,

rue du Jardinet, n^ 13.

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