III A
-r -h -1 -+- -r = constante = 7-9 pi pi pî '**
-Y -f- -5- -f- -T = constante = i . i .
Fa Pb Pc v*-- .., .
48. Maintenant, soient-^» -^> -^> ou simplement TTa, w^i ^r^ les
vitesses angulaires des projections des trois axes a, bj c sur le plan du couple, je dis qu'on aura les trois équations suivantes :
dont la démonstration directe est très-Êicile.
Et 9 en effet , il est clair que Ha dt ne désigne autre chose que l'angle P. ai
i56 THÉORIE NOUVELLE
décrit par la projection du rayon a sur le plan du couple pendant l'instant dt. Or la projection de a est usin X, et, par conséquent, l'ex-
pression a}ûv?\.Tta dt représente Taire décrite par cette projection de a : mais l'aire décrite sur un plan par la projection d'une ligne n'est autre chose que la proj.ection de l'aire décrite dans Tespace par la ligne elle-même. Nous n'avons donc qu'à chercher l'aire que le rayon a décrit dans l'espace , à la projeter sur le plan du couple, et à
l'égaler à l'expression a^ sin* X. nadt.
Or, dans un instant dt^ le corps tourne autour de a d'un angle Z?^/; mais, par cette première rotation, la ligne a demeure immobile et ne produit aucune aire dans l'espace : il ne reste donc à considérer que les deux autres rotations ({dt^ rdt qui ont lieu dans le même instant autour des deux autres axes b et c.
Par la première, le corps tourne autour de b d'un angle qdt\ et, par conséquent, le rayon a décrit un secteur a^qdt dans un plan perpendiculaire à 6, lequel ^ étant projeté sur le plan du couple, donne Taire
à^ q dt X cos fi.
Par la dernière rotation, le corps tourne autour de c d'un angle rdt, et le rayon a décrit un secteur a* rdt perpendiculaire à c, lequel y projeté sur le plan du couple, donne Taire
a^ rdt X cos V.
On a donc Téquation
a^ sin^ X . itadt = {a* q cos* fx -^ a' rcos v) dt,
ou bien, en divisant de part et d'autre par a?dt, et remettant, au lieu de q et r, leurs valeurs t et t>
. ,. • hfy^ z»\ h/ x^\
ce qui est la première de nos trois équations. Et il est évident qu'on aurait de même la seconde, en y changeant a en bj x enj^y etXen fi; et ensuite la troisième, en y changeant a en c j x en z , et X en v.
DE LÀ ROTATION DES CORPS. iS?
Ainsi on aura
ce qu'il fallait démontrer.
49. Si Ton multiplie la première de ces trois équations par sin^ X, la deuxième par sin' jx, la troisième par sin' v y et qu'on les ajoute , il
vient
sin*X.7ra-+- sin*fx.7r4+ sin*v.7rc = j(3 — i) = a j-
Or, qu'on prenne sur les axes principaux, et à partir du centre, trois lignes égales à l'unité, et l'on pourra voir sin X, sin /x, sin v comme les
trois projections de ces lignes sur le plan fixe du couple ; et sin* X . tt^,
sin* jx . TT^ I sin* v . tt^ comme les fluxions des trois aires décrites par ces projections sur le même plan. Donc, en considérant la somme de ces trois aires, on aura, pour cette somme, l'expression très-simple
OÙ l'on peut remarquer que t est la vitesse angulaire constante 6 cos i du système autour de l'axe fixe du couple d'impulsion G.
50. Si , en considérant les mêmes équations (II), on multiplie là premiere par — p^> la deuxième par -tt^j la troisième par — j-> il vient
-r Sin À . 71^ = T— : ^ "jL ~: >
^sin ^.7:*= jp~-jf-^-,
ai..
i58 THÉORIE NOUVELIJE
d'où, en ajoutant , on tire cette équation remarquable,
-sinU.TT^-f- ^sin» /* • ^* -^ ;? s*"^ • ^^ = ^ i^;^ -^ 6î "^ ? "" Â^ j'
Or -, T> - ne sont autre chose que les bras de l'inertie du corps autour des axes principaux : si donc, à partir du centre O, on porte sur les axes, trois lignes égales aux bras respectifs de y inertie autour des
mêmes axes , on pourra considérer - sin X , t sin /x , - sin v comme les
trois projections de ces lignes sur le plan du couple, et -^ sin^ X . tt^,
7-sin*|x.7r^, — sin^v.TTc comme les fluxions des trois aires que ces
projections décrivent sur le même plan pendant le mouvement du corps; donc, en multipliant par dt et intégrant, on aura pour la somme de ces aires décrites dans le temps t,
51. Voilà donc deux propriétés nouvelles du mouvement d'un corps libre qui tourne sur son centre de gravité :
1°. Sij à partir de ce centre^ on poHe sur les axes principaux du corps y trois lignes égales entre elles et d'une longueur quelconque r , la somme des aires décrites par leurs trois projections sur le pla^ijixe du couple d'impulsion sera proportionnelle au temps; et elle sera
exprimée par a t • R* ^ ;
a**. Si l'on porte sur les mêmes axes principaux ^ trois lignes proportionnelles aux trois bras de l'inertie du corps autour des mêmes axeSj la somme des trois aires décrites par leurs projections sur le plan du couple sera aussi proportionnelle au temps; et cette somme sera exprimée par
y étant le commun rapport des trois lignes aux trois bras d'inertie; ce qui forme deux théorèmes très-remarquables dans la théorie de la
DE LA ROTATION DES CORPS. iSg
rotation d'un corps libre de toute action étrangère : théorèmes en quelque sorte géométriques, et qu'il ne faut pas confondre avec ceux qui regardent le principe ordinaire de la conservation des aires, quoiqu'ils en dépendent au fond, et qu'on puisse en rapprocher les expressionsy comme on peut le voir dans l'article suivant.
52. Et, en effet, si l'on considère tous les rayons vecteurs menés du centre à toutes les molécules égales du corps , et la moyenne de toutes les aires que leurs projections tracent sur le plan fixe du couple, on aura évidemment, pour cette aire moyenne^ l'expres-
sion —\ G étant la grandeur du couple d'impulsion, et m la masse
du corps, ou le nombre de toutes ses molécules. Ainsi, comme on
a représenté G par ^» on aura, pour l'expression de cette aire
moyenne, décrite dans le temps ^,
53. Si donc on voulait que l'aire précédente 27 - R^./, due aux
mouvements des trois rayons égaux r, pris sur les trois axes du corps, fut égale à cette aire moyenne tt* / du système de tous les
rayons vecteurs menés aux particules du corps, il faudrait choisir la longueur du rayon r de manière qu'on eût
ce qui donne, pour r, l'expression
Ainsi, en prenant, sur les axes principaux du corps, trois lignes égales à — p? on peut dire que, pendant le mouvement du corps, ces
trois lignes projetées sur le plan du couple y décrivent trois aires dont la somme est égale k l'aire moyenne du système : de sorte qu'en multipliant cette aire par la masse m du corps , on a l'aire totale due au couple d'impulsion G.
i6o THÉORIE NOUVELLE
54. On pourrait chercher de même les rayons inégaux b^, R»» Rc» mais proportionnels aux bras respectifs de Tinertie -9 t» -9 qu'il
faudrait prendre sur les axes, pour que Taire décrite ftit égale à Taire moyenne du système. En désignant, comme ci-dessus, par J le rapport inconnu de r^ à -> de r^ à t9 de r^ à -5 on aurait, pour déterminer/, Téquation
d'où Ton tire
J '^ h^(a^b^'hb^c^-ha^c') — a^b^c*'
et, par conséquent, en faisant a^b^-h b^c^'ha^c^=B et a^b^c^=C,
bc
Bc =
s/ba»— C
ac V^BA»— C
ab V^BA»— C
Ainsi, en prenant les aires décrites par les projections de ces trois lignes, on aurait en somme une aire égale à Taire moyenne du système.
Propriétés des mouvements de nutation des trois axes principaux
vers l'axe fice du couple d'impulsion.
