CHAPITRE II. — NoDVBLLE wacb dk u bot&tiuh dis cokh

Résumé de notre théorie 147

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Pab m. poinsot

f Elirait du Journal de Umihématiiittespure$ et appliquées, tome XVI, i85f.]

Voici une des questions qui m'ont le plus souvent occupé, et, si Ton me permet de parler ainsi, une des choses que j'ai le pins désiré de savoir en Dynamique.

Tout le monde se fait une idée claire du mouvement d'un point, c'est-à-dire du mouvement d'un corpuscule qu'on suppose infiniment petit , et qu'on réduit en quelque sorte par la pensée à un point mathématique. Car il ne reste plus alors qu'à se représenter la ligne , droite ou courbe, que ce point peut décrire, et la vitesse avec laquelle il se meut suivant cette ligne. Mais, s'il s'agit du mouvement d'un corps de grandeur sensible et de figure quelconque, il faut convenir qu'on ne s'en fait qu'une idée très-obscure.

A la vérité, cette idée parait d'abord s'éclaircir ou se résoudre naturellement en deux autres. Car, si l'on s'attache à regarder un seul et même point du corps, on peut suivre^ d'un côté, le mouvement de ce point qui ne peut décrire qu'une certaine ligne dans l'espace, et, de l'autre côté, le mouvement du corps qui ne peut que tourner en même temps sur ce point , comme autour d'un centre fixe. Mais ce second mouvement, c'est-à-dire celui d'un corps mobile autour d'un point , sur lequel il a la liberté de pirouetter dans tous les sens , ne présente lui-même qu'une idée très-obscure.

Ce n'est pas qu'en rapportant les points du corps à des plans ou objets fixes dans l'espace, on n'ait su trouver ce qu'on appelle les équations différentielles de ce mouvement, et même qu'on ne soit P. 1

venu à bout à^ intégrer ces équations, ou du moins d'en ramener les intégrales aux quadratures^ dans le cas simple d'un corps libre de toute action étrangère. Euler et d'Alembert , à peu près dans le même temps, et par des méthodes différentes, ont les premiers résolu cette importante et difficile question de la Mécanique; et Ton sait que depuis , l'illustre Lagrange a repris de nouveau ce fameux problème , pour l'approfondir et le développer à sa manière , je veux dire par une suite de formules et de transformations analytiques qui présentent beaucoup d'ordre et de symétrie. Mais il faut convenir que, dans toutes ces solutions, on ne voit guère que des calculs, sans aucune image nette de la rotation du corps. On peut bien , par ces calculs plus ou moins longs et compliqués, parvenir à déterminer le lieu où se trouvera le corps au bout d'un temps donné ; mais on ne voit point du tout comment le corps y arrive : on le perd entièrement de vue ; tandis qu'on voudrait l'observer et le suivre , pour ainsi dire , des yeux dans tout le cours de sa rotation.

Or c'est cette idée claire du mouvement de rotation que j'ai tâché de découvrir, afin de mettre sous les yeux ce que personne ne s'était encore représenté.

Il en résulte une solution toute nouvelle du problème de la rotation d'un corps abandonné à lui-même, soit qu'il tourne librement sur son centre de gravité, ou sur tout autre point fixe autour duquel il serait forcé de se mouvoir: véritable solution du problème, en ce qu'elle fait image, et qu'on y voit le mouvement du Corps avec autant de clarlé que le mouvement d'un point. Et si, de cette démonstration géométrique de la rotation des corps, on veut passer au calcul, pour mesurer toutes les différentes propriétés ou affections de ce mouvement, on n'a plus que des formules directes et toujours claires, parce que chacune d'elles n'y est que l'expression d'un théorème dynamique dont on a l'idée, et qui tend à son objet. Ainsi, notre analyse présente encore cet avantage, que tout s'y exprime et s'y développe par les seules données immédiates du problème, sans aucun mélange de ces angles ou de ces coordonnées étrangères qui ne tiennent point à la nature de la question, et qui ne viennent que de la méthode indirecte qu'on emploie pour la résoudre. Car c'est une remarque que nous pouvons faire dans toutes nos recherches mathématiques : ces quan-

DE LA ROTATION DES œRPS. 3

tités auxiliaires, ces calculs longs et difficiles où Ton se trouve entraîné, y sont presque toujours la preuve que notre esprit n*a point, dès le commencement, considéré les choses en elles-mêmes et d'une vue assez directe , puisqu'il nous faut tant d'artifices et de détours pour y arriver; tandis que tout s'abrège et se simplifie sitôt qu'on se place au vrai point de vue.

J'ai donc pensé qu'une solution si simple, et si propre à jeter un nouveau jour sur les questions les plus difficiles de la Dynamique, pouvait servir à l'avancement réel de la science, et méritait ainsi l'attention des géomètres; et c'est cette considération philosophique qui m*a surtout déterminé à composer le nouvel ouvrage qu'on va lire, et dont j'ai présenté l'analyse à l'Académie [*].

Je le divise en trois parties : dans la première, après avoir considéré le mouvement des corps en lui-même, je cherche les forces qui seraient capables de le produire, afin de voir réciproquement quel est le mouvement que doit prendre im corps en vertu de forces quelconques données, ce qui est le problème naturel de la Dynamique; dans la deuxième partie, je donne la solution du problème de la rotation des corps libres; et, dans la troisième, je développe les calculs qui se rapportent à cette solution.