DU MOUVEMENT DES CORPS CONSIDJÉRÉ EN LUI-MEME

Idée de la rotation simple et de la vitesse angulaire.

1. Le seul mouvement de rotation dont nous ayons une idée claire est celui d'un corps qui tourne sur un axe immobile, ou dont la direction reste la même et dans le corps et dans l'espace. Car on voit

[*] Séance dn 19 mai i834.

clairement tons les différents cercles que les points du corps décrivent dans des plans perpendiculaires à cet axe : et il est évident que tous ces mouvements simultanés sont possibles, je veux dire qu'ils peuvent s^exécuter ensemble sans que la disposition mutuelle des points, ou ce qu'on peut nommer \2i figure du corps j exi soit en rien changée.

2. Nous avons également une idée nette de la quantité ou de la mesure de cette rotation. Car, comme tous les points décrivent en même temps des arcs de cercle semblables, c'est-à-dire de longueurs proportionnelles à leurs rayons, le rapport de la vitesse d'un point au rayon du cercle qu'il décrit est le même pour tous les points du corps; et c'est ce rapport constant qui fait la mesure, ou ce qu'on nomme la vitesse angulaire, de la rotation. Cette vitesse angulaire n'est donc autre chose que la vitesse absolue d'un point quelconque du corps pris à l'unité de distance de l'axe de rotation : de sorte que, en nommant Q cette vitesse, on a 5r pour la vitesse d'un point pris à la distance r du même axe.

Composition des mouvements de rotation.

3. On peut voir avec la même clarté que de semblables rotations , que des causes quelconques tendraient à imprimer à un corps autour de différents axes passant par un même point, se composent exactement par la même loi que de simples forces appliquées en ce point. C'est ce que la théorie des couples rend manifeste en considérant plusieurs couples appliqués sur une sphère homogène. Car il est évident, par la régularité parfaite du corps, que chaque couple, s'il agissait seul , ferait tourner la sphère sur le diamètre perpendiculaire au plan de ce conple, et, par conséquent, sur l'axe du couple lui-même, et avec une vitesse angulaire proportionnelle à son moment; que, par conséquent, si tous les couples agissent à la fois, comme leur effet est le même que celui du couple résultant, la sphère doit tourner sur l'axe de ce couple avec une vitesse angulaire proportionnelle à son moment. D'où l'on voit que les mouvements de rotation se corn-

posent et se décomposent exactement par les mêmes lois que les couples, et partant que les simples forces.

4- Mais cette composition des mouvements de rotation, il faut ici FiG. i. la démontrer par la simple géométrie; puisque, dans ces premiers principes, on ne s'occupe que du mouvement des corps considéré en lui-même, c'est-à-dire abstraction faite des forces qui le produisent, et de la nature du corps qui le reçoit. Mais pour avoir ici des expressions aussi claires que dans la théorie des couples, nous représenterons de même les rotations par de simples lignes terminées Op, O9, etc., prises sur leurs axes; et cbaciuie de ces lignes, telle que Op, représentera à la fois Vajce et la grandeur de cette rotation p , et en indiquera encore le sens par cette convention qu'en se plaçant à l'extrémité p considérée comme le nord, pour regarder devant soi le point O considéré comme le midi, la rotation se fera de droite à gauche, comme se fait, à nos yeux, le mouvement du soleil.

Parallélogramme des rotations,

5. Sij par deux causes quelconques, un corps tend à la fois à FiG. 12. prendre deux rotations p et q, représentées par les deux côtés Op, Oq d'un parallélogramme OpQq, le corps prendra une rotation unique d représentée par la diagonale Od de ce parallélogramme.

En effet, considérez un point quelconque m du corps, pris dans le plan du parallélogramme, et, par exemple, vers la droite dans le supplément de Vangle que font entre eux les deux côtés ; et nommons X et jr les deux perpendiculaires abaissées de ce point m sur ces cotés. Il est clair que , par la seule rotation p^ le point m tend à s'élever audessus du plan avec une vitesse px (n^ 2); et que, par la seule rotation 9, il tend à s'élever avec une vitesse qj", et qu'ainsi, en vertu des deux causes agissant à la fois, il a, suivant la normale, la vitesse px + qjr. Or, en nommant h la perpendiculaire abaissée du point m sur la diagonale d , on a toujours l'équation

px ■+■ qjr =: 9b^ comme on le sait par un théorème très-connu de géométrie. Donc la

vitesse que prend le point m est égale k Qh^ c'est-à-dire à la vitesse qu'il aurait si le corps tournait sur la diagonale avec la vitesse angulaire 0. Et comme la même chose peut se dire de tout autre point du plan , et que le mouvement du plan entraine celui du corps , on peut dire qu'un point quelconque du corps prend, par les deux rotations p et q^ le même mouvement qu'il prendrait par la seule rotation 0. Donc , etc.

Remarque.

Fi G. 3. C'est uniquement pour abréger la démonstration que j'ai pris le point //i dans le supplément de Tangle que font entre eux les deux côtés du parallélogramme. Si ce point était pris entre les côtés mêmes, on trouverait que s'il s'élève au-dessus du plan avec la vitesse pXy il s'abaisse au-dessous avec la vitesse qj^ : de sorte que sa vitesse suivant la normale serait la différence px — qjr. Mais , par le même théorème de géométrie, on aurait alors

px — qjr = eh;

c'est-à-dire que le point a toujours la même vitesse Oh que si le corps tournait sur la diagonale.

6. Au reste, ceci nous donne l'idée d'un théorème de géométrie plus général que le précédent, et dont celui-ci n'est en quelque sorte qu'un cas particulier.

FiG. 4. Car, supposez le point m pris où l'on voudra dans l'espace, et nommez de même x^j- et h les trois perpendiculaires abaissées de ce point sur les deux côtés /? et 9, et la diagonale 9 du parallélogramme pOqd; vous aurez de même pXy qjr et Oh pour les vitesses que les trois rotations p, q et tendraient à imprimer au point m. Mais ici ces vitesses, au lieu d'être dans la même direction, seraient respectivement perpendiculaires aux plans des trois triangles mOp, mOç, mOO : les lignes qui les représentent font donc entre elles les mêmes angles que les plans de ces triangles; et elles sont d'ailleurs proportionnelles à leurs aires respectives.

Or, puisque le point m, en vertu des deux rotations petq^ doit se mouvoir comme il le ferait en vertu de la simple rotation , il s en-

suit que la ligne 6 h doit être la diagonale du parallélogramnie <H>nstn]it sur les deux autres px et qjr.

On a donc ce théorème de géométrie :

•^1^ d^un point quelconque m de Vespacej comme sommet^ on mène trois triangles qui aient pour bases les deux côtés O/?, O^ et la diagonale O d'un parallélogramme, il y a toujours entre les aii es de ces trois triangles la même relation qu'entre les côtés et la diagonale d'un parallélogramme construit sous les inclinaisons mutuelles de ces trois plans.

Ainsi les deux premiers triangles se composent en quelque sorte pour former le troisième, comme se composeraient entre elles, pour former leur résultante, deux forces proportionnelles aux aires de ces triangles, et qui auraient entre elles la même inclinaison.

7. Et maintenant remarquez que ce théorème, tiré de considérations dynamiques, se voit sur-le-champ par la géométrie. Car, au lieu des trois triangles, considérez les trois parallélogrammes ou rhombes faits sur le même côté Om, appuyés sur les même bases O/7, Oçr, Od, et dont les aires sont mesurées par px^ qy^ $h. Il est évident que ces rhombes, qui forment les deux plans adjacents avec le plan diagonal d'un même rhomboïde , étant vus comme appuyés sur la commune base O/7», sont entre eux comme leurs hauteurs, et, par conséquent, comme les trois lignes qui résulteraient de l'intersection du rhomboïde par un plan perpendiculaire à l'arête Om. Or ces lignes forment évidemment les deux côtés et la diagonale d'un parallélogramme construit sous les inclinaisons mutuelles des trois plans. Donc, etc.

Actuellement, si l'on imagine que le point m descende de l'espace, perpendiculairement au plan du parallélogramme, et pour tomber dans le supplément de l'angle pOq des deux côtés, ou de son opposé au sommet, il est visible que l'inclinaison mutuelle des deux triangles mOp^ mOq va en diminuant, et devient enfin nulle; et alors le triangle mOO construit sur la diagonale devient égal à la somme des deux autres, comme la diagonale d'un parallélogramme devient égaie à la somme des deux côtés qui la comprennent, quand l'inclinaison de ces côtés devient nulle.

Si le point m descend de même pour tomber dans l'angle même

pOq, ou dans son opposé au sommet, il est visible que l'inclinaison mutuelle des deux triangles mOp, mOq va en augmentant et devient enfin égale à deux angles droits: et alors le triangle mOQ construit sur la diagonale devient égal à la différence des deux autres; comme la diagonale d'un parallélogramme devient égale à la différence des deux côtés quand leur inclinaison mutuelle devient égale à deux angles droits.

Ainsi ce théorème très-connu, que Lagrange attribue a Yarignon y et qu'il regarde comme un beau théorème de géométrie, n'est qu'un cas particulier du nôtre: et comme celui-ci est très-facile à démontrer directement y on en peut tirer réciproquement une démonstration du parallélogramme des rotations, encore plus nette que la première, puisqu'on y prend où Ton veut le point m dont on examine le mouvement, sans avoir besoin de supposer que ce point est situé dans le plan des axes des deux rotations composantes.