Mais, en y faisant

pour avoir l'équation polaire de la même courbe, on trouve l'équation différentielle

laquelle s'intègre par logarithmes : car, en faisant, pour abréger.

c'est-à-dire en nommant n rexcentricité de Tellipse roulante s qui produit lu courbe c, on a, pour l'intégrale,

? = - log ( -=== \

où l'on suppose que l'angle ç soit nul ou commence quand le rayon verteur v

est égal à /ï ou v^p* — è% qui est sa valeur maximum : ce qui place l'origine au sommet de la courbe.

On a donc, en passant des logarithmes aux nombres,

r' désignant ici, suivant l'usage, la base des logarithmes naturels. Ou bien , si l'on veut tirer p en f , on a

np n^

ce qui est la forme la plus simple de l'équation polaire de la courbe a dans le cas singulier dont il s'agit.

70. Par cette expression de v en ^ , on voit que le rayon vecteur ç ne change point de grandeur quand on change le signe de l'angle cp : de sorte que la courbe jette , à gauche et à droite de son sommet , deux branches parfaitement égales. On voit encore que p diminue lorsque <]> augmente , et que ce rayon (f ne peut toutefois devenir nul qu'en supposant f = =b oo ; d'où il résulte que la courbe est une spirale double dont les deux branches continues font, en sens contraires, une infinité de révolutions autour du même centre, se rapprochant sans cesse de ce point, et de plus près que tout ce qu'on voudra, sans pouvoir jamais l'atteindre : ce qui confirme tout ce qu'on a dit précédemment sur la nature de cette spirale.

Au reste, pour une précision parfaite dans les termes, il faut bien remar- (fuer que le centre n'est pas, à la rigueur, un point asymptotique ; je veux dire, ne pourrait être regarde comme un cercle infiniment petit que la spirale tend sans cesse à venir toucher. Car, en nommanty l'inclinaison de la courbe gau rayon vecteur v qui la décrit , on trouve aisément , par le triangle rectangle formé sur les trois côtés ^cr, dv, f t/cp, l'équation

s\nj = : \

V P' — ^'' d'où l'on voit que, si la spirale est perpendiculaire au rayon vecteur v

lorsque

c'est-à-dire au sommet de la courbe , elle y est inclinée partout ailleurs , et même jusqu'au centre, puisque, en faisant p =: o, on trouve

ce qui répond à un angle J différent d'un droit , à cause de b<^p.

7i. Je ne parle point de ces cas particuliers de a=z b, bz=zCy où l'ellipsoïde central du corps est un ellipsoïde de révolution : car, si Ton a, par

exemple ,

b = c, il s'ensuit

M =r p = y = constante ;

et alors il est clair que la polhodie est un cercle décrit autour de l'axe a , d'un

rayon -r\/ —^ r^» et l'herpolhodie est un autre cercle décrit autour de

Taxe ^xe du couple , d'un rayon

VII. — Idée de la détermination du lieu du corps au bout d'un temps donné, 72. Après avoir reconnu la nature des deux courbes s et <7, il est naturel de chercher la vitesse — ou — avec laquelle le pôle instantané décrit en

même temps l'une et l'autre ; et cette recherche, qui mène à celle du lieu du corps au bout d'un temps donné, n'a pas plus de difficulté que les précédentes.

Pour nous en faire une idée, considérons les variables x^y-yZ et u comme des fonctions du temps t. Si, aux trois équations précédentes (n^ SI) déjà posées entre les variables, on joint l'équation qui exprime la quantité du couple accélérateur dû aux forces centrifuges, il est facile d'en tirer la valeur

j /Idxy fdyy ldz\ . ds ^ . ,

de i / I — j -} r -^ I -f. ( - I ou de -- en fonction du rayon vecteur u :

de sorte qu'on aura d'abord l'équation

y désignant une certaine fonction déterminée de u.

Mais , par les mêmes équations , on trouvera aussi d'une manière facile la

valeur de — en fonction du même rayon w ; et de cette équation , qui ne sera

qu'entre les variables « et /^, on pourra passer, par une simple quadrature, à

l'expression de u en /. Si donc on met cette valeur à la place de u , dans Féquation précédente

on aura, entre ^ et f , une équation différentielle de la forme

ce qui donnera la vitesse du pôle sur Tare s^ en fonction du temps t : vitesse

~dt

parfaitement égale à la vitesse — avec laquelle le pôle décrit en même temps

Tare (T dans l'espace absolu.

De cette dernière équation

où F(^) sera évidemment une fonction périodique, il ne restera donc plus qu'à remonter par une seconde intégration à la longueur même des deux arcs s et (T en fonction du temps t employé à les décrire : car, sitôt qu'on aura cette intégrale, que je représenterai par

on pourra dire que le problème de la rotation des corps est entièrement résolu ; c'est-à-dire qu'on est actuellement en état d'assigner le lieu précis de l'espace où se trouvera le corps au bout d'un temps quelconque donné.

Et, en effet, on saura qu'au bout de ce temps le pôle instantané doit être, sur la surface de l'ellipsoïde central , à l'extrémité S de l'arc s qui répond à ce temps donné t\ et que ce même pôle doit être , sur le plan fixe, à l'extrémité 2 de l'arc er de même longueur qui répond au même temps donné. Or, le centre de l'ellipsoïde étant retenu immobile en O à la hauteur donnée h au-dessus du plan fixe, on n'aura qu'à mettre cet ellipsoïde en contact avec ce plan , de manière qu'il touche par le point déterminé S de sa surface, et au point dé* terminé 2 du plan dont il s'agit : et , de cette manière , l'ellipsoïde central se trouvera posé dans le lieu précis de l'espace où il arrive par son mouvement naturel au bout du temps donné t.

On voit combien cette analyse est claire et naturelle : on peut encore la simplifier et la varier de plusieurs manières en considérant d'autres quantités relatives à la position du corps; il ne nous reste donc qu'à la développer, et c'est ce qu'on va faire dans la troisième partie de ce Mémoire. Mais auparavant , je crois bon de rapprocher notre méthode de l'analyse ordinaire ; de montrer, par exemple, comment le seul théorème (n® 15) relatif aux forces centrifuges , étant traduit en analyse , donne sur-le-champ les trois équations

fondamentales que l'on doit à Euler; et comment, de ces équations, qui étaient connues, ou aurait pu tirer notre solution nouvelle, à Taide de quelques simples transformations analytiques : rapprochement toujours instructif en ce qu'il éclaire à la fois les deux méthodes.