Au reste, comme on a
il en résulte (en faisant le produit) qu'on a entre les deux polynômes désignés par D et A , la relation très-simple
A == D» : hK
65. Tous ces préliminaires étant posés, passons au développement des calculs indiqués au commencement de ce paragraphe.
Équation de la polhodie entre rare s et le rayon vecteur u.
Les trois équations (A) du n® 60, étant dîfférentiées, nous donnent
__^a*e^Ku^du^ ^Vr aW . , ^^'-"'^tt' .
on a donc , en ajoutant ,
«^^' = — r- -:: : + -:: tt. +
ou bien , si l'on réduit au même dénominateur, et qu'on ordonne le numérateur suivant les puissances de a% on aura
où Ton peut reconnaître à priori que le numérateur doit avoir tous ses termes divisibles par s® ; car il est facile de voir que chacun des coefficients 2 a* e'% 2 û* e" ( fl* -H 7*) , 2 a* e^^ P' 7% s'évanouit en y faisant
soit e^ = o ou a^ = ô% soit ^'' = ou b^ = c', soit «''' = o ou c' = fl' ;
et que, par conséquent, il est actuellement divisible par le produit
Mais il s'a{j;it ici de trouver le quotient sans faire la division. Or, d'après la relation (i) , on a d'aboid
2 a* tf'» = £«.
Ensuite , le coefficient
(si l'on y met, au lieu de p* + 7% sa valeur P — a*) prend la forme
p 2 a^ e'» — 2 a* e'^ a% quantité qui, d'après les relations (i) et (4) 9 se réduit à s* P. Ainsi l'on a
2aV(p»4-7') = ï«.P.
Enfin , le dernier coefficient
[si l'on y met, pour p^ 7% sa valeur Q — a' (p* 4- 7*)] se change d'abord en
qia'e^'—la' e"" a» (p' + 7') = 8«Q — 2 a' e'^a' (P — a') , ou , par la relation (4)9
or, si Ton met, pour (û*a'), sa valeur
ce coefficient devient
d'où, par les relations (3) et (5) , on conclut enfin
2fl*e'«P'7' = e« f Q — B -^ ^ j
On aura donc, en substituant ces valeurs, et supprimant le facteur com-
mun 8%
ou, en tirant la racine carrée, et mettant le dénominateur sous la forme
w« — Pa*-f-Qtt' — R,
. / ti* — Pu' + Q — B + 2C : A'
^uduy „e p^. ^Q^.__R '
ce qui est Téquation cherchée de la polhodic s. 64. Dans le cas singulier de A = 6, ce qui donne
a = 7 = è, P=:2^»+p» et Q — B + 2C:A'=r^'(^' — P'), réquation devient
C'est, en effet, entre Tare et le rayon vecteur émané du centre, Téquatioii différentielle d'une ellipse aux rayons principaux ^ et p , ce qui s'accorde entièrement avec ce qu'on a vu, et confirme ainsi notre analyse.
On a donc, pour l'intégrale de cette équation :
s égal à la longueur de l'arc correspondant au rayon u dans une ellipse dont les rayons principaux sont 6 et p ; ce qu'on peut indiquer de cette manière ,
s = arc (ray == u) (ellipse ft, p).
Équation de Vherpolhodie (t.
6S. Si, dans l'équation précédente de la polhodie j(n® 65), on change simplement ds en rfc", et a' en v^ + A', ce qui donne
uduz=:çdvy
on aura sur-le-champ
d — d 4 / (^'' -^ A^)» — P(p» 4- A') -h Q — B -f- 2C : A^ ^ — ''^ y (pi -f. A'f -. p(p3 -,- h^y + Q(pi + ^2) R '
|30ur réquatioD[*de Therpolbodie entre son arc o- et le rayon veeteur p émané du centre de cette courbe plane.
Équation polaire de la même courbe.
66. En nommant tp l'inclinaison du rayon vecteur v sur une droite fixe ({uelconque menée dans le plan de la courbe , on a évidemment
d'où Ton tiro
sjdd- — dv^
Il ne s'agit donc que de mettre dans cette équation , au lieu de da, son expression précédente en f, pour avoir l'équation de l'herpolbodie entre son rayon vecteur v et Tangle y qu'il décrit autour du centre de cette courbe.
Or, si l'on fait cette substitution, qu^on réduise au même dénominateur, et qu'on ordonne le numérateur par rapport aux puissances de p', on trouve, en changeant à la fois les signes des deux termes de la fraction ,
Or je remarque que le numérateur de la fraction soumise au radical est un carré parfait : car, en y mettant, au lieu de PA', sa valeur 2 A//' — B, ce numérateur devient
OU ( d'après les abréviations précédentes (n° 61 ) et la relation A = ~ J ?
trinôme où l'on voit le carré parfait du bindroe hu^ + 71* ^^ ^ «lonc cette
expression plus simple
du hv^ -h D : A^
V ^^ — Q(<''' 4- H") + P(p'^ -h fi^Y — [v^ -h /i^f
pour réquation polaire cherchée.
67. Au reste, on peut encore présenter l'équation sous cette autre forme, où Ton ne verrait que le polynôme désigné par A, avec ses dérivés A', A", pris relativement à A'.
Car, comme on a fait, pour abréger,
si Ton fiiit de même
A'= 3/i' — 2PA^-4-Q
et
Texpression précédente de d^^ en y mettant encore, au lieu de D : A% sa valeur yÂ", prendra la forme
dv hv^ -4- v/a
df9 = -
expression où il faut remarquer qu'il n'y a , au fond , rien d'imaginaire , parce que le polynôme i/* -f- A'V -f- A'c' -h A, qui est sous le radical, est essentiellement négatif, comme le produit
auquel il est équivalent : de sorte que y' — i.^«^-h A'V-h A'f*+ A est toujours réel, tant qu'on ne donne à v (comme cela doit être) que des valeurs prises dans les limites ou elles sont natiurellement renfermées. Si l'on fait p' = p, l'équation précédente prend la forme
{^+hp)dp 2 p ^f^ V^p* -h A"p' -+- A'p -h A dont l'intégrale se rapporte évidemment aux transcendantes elliptiques.
Cas singulier de h=: by où l'herpolhodie devient une spirale,
68. Quand on suppose A = 6, la polhodie s devient , comme on l'a vu , une ellipse aux rayons principaux b et p, et dont l'équation différentielle est
ds = udu -
Si Ton fait
ds = da et u^=v^-hb\
on a donc , pour Therpolliodie d,
dfT= dv j ^ ,
équation en apparence plus simple que la première, mais dont l'intégrale exige également la rectification d'un arc d'ellipse; car il est clair qu'on a
