I. — Équations du mouvement de rotation

75. Toutes les dénominations précédentes étant conservées , qu'on reprenne un instant les simples lettres A, B, C, pour désigner les trois moments principaux d'inertie du corps.

Les trois quantités A/?, B^, Crseront les trois composants L, M, N, du coupe G dont le corps est animé : et les rotations p, q, r étant regardées comme des fonctions du temps r, les trois fonctions différentielles ou fluxions

dp dq dr . , , ...

A — î B — î C ~j que je dénoterai plus simplement par A/?, B^, Cr, seront

les trois composants du couple accélérateur qui peut faire varier l'axe et la grandeur du couple acquis G. Or il n'y a ici d'autre couple accélérateur que celui qui naît des forces centrifuges dues à la rotation même du corps, et notre théorème dit :

1°. Que l'axe du couple g est perpendiculaire à Taxe du couple acquis G, ou, en d'autres termes, que le cosinus de leur inclinaison mutuelle est nul. On a donc, en prenant l'expression de ce cosinus, qui est évidemment

Ay^.Ayi-h Bq.Bq -\-Cr.Cr

GTg '

et, l'égalant à zéro,

(i) A^pp-hB^qq '^C''r'r= o,

ce qui est la première équation du mouvement.

tP, Le même théorème dit que l'axe de ce couple g est aussi perpendiculaire à Taxe instantané de la rotation actuelle 6 dont les trois projections sur les axes

principaux sont respectivement /?, q, r. On a donc, comme ci-dessus ^ en prenant le cosinus de rinclinaison mutuelle et régalant à zéro ,

(2) A/?/?-4-B^<7-h^Crr =r o,

seconde équation du mouvement.

3°. Enfin , le même théorème dit que Ton a , pour la grandeur du couple g, le produit de G par 6 sin/; C6 qui donne Péquation

g'^ = G^0^(I — cos^ij,

i étant Tinclinaison de G à G. Donc, en mettant au lieu de G% 0% cos'i, leurs valeurs en/?, ^, r, et pour g^ son expression générale

on aura

(3)...A*^'-f-B*^^-+- CV» = (A — B)»/?»çr» 4- (B — C)»^V>-4-(C--A)'/?V% troisième et dernière équation du mouvement.

Corollaire.

74. Si, de ces trois équations, on tire les valeurs séparées de A/>, B^, Cr, on trouve sur-le-champ ces transformées équivalentes :

ce sont les équations d*Euler, et qui se trouvent ainsi démontrées de la manière la plus simple. Nous pourrions en donner *encore d'autres démonstrations aussi rapides; mais celle-ci me paraît la plus lumineuse, parce qu*ôn y voit parfaitement ce que ces équations expriment en dynamique.

Et en effet, dans la première par exemple, le premier membre Âp ou

A ~- est l'expression générale du couple accélérateur estimé autour de l'axe

principal Ox; et le second membre (B — C) qr est la valeur du couple provenant des forces centrifuges, estimé autour du même axe, comme il est facile de s'en assurer en cherchant ce couple d'une manière directe. Or, puisque le corps est ici abandonné à lui-même, c'est-à-dire ne reçoit l'action d'aucun couple étranger, il est clair que la quantité (B — C) gr est ici la seule à

laquelle il faille égaler l'expression générale A—-- Et la même chose se voit

pour les deux autres équations toutes semblables , qui se rapportent aux deux autres axes principaux Oj et Os.

Remarque.

7S. On peut encore remarquer que cette démonstration nous mène de suitr

aux équations du mouvement, dans le cas général où le corps est soumis à Taction de forces accélératrices étrangères; car il est évident qu'il faudrait alors ajouter au second membre le couple qui provient de ces forces accélératrices autour de Taxe que l'on considère. Ainsi, en désignant par X , Y , Z les forces accélératrices qui agissent sur chaque molécule dm du corps parallèlement aux trois axes principaux , on aurait f{7éy — Yz) dm pour le couple dû

à ces forces autour de Taxe principal Ox : et le premier membre A—-? qui

est l'expression générale du couple accélérateur dont le corps est animé, devrait être égalé à la somme des deux couples (B — C) yr et /[Zy — Yz) û?/w , l'un dû aux forces centrifuges et l'autre aux forces accélératrices étrangères. D'où Ton voit avec évidence que les équations générales du mouvement de rotation d'un corps sollicité par des forces quelconques, sont

^=z{Ji-C)qr+J{Zy-Yz)dm, S^={C — A)pr+f(Xi — Zx)dm,

C^ = {A-B)pq-hf(Yx-Xj^)dm,

X, Y, Z étant les forces qui sollicitent chaque molécule du corps, suivant les directions des trois axes principaux.

Quand ces forces sont de nature à se réduire à une. force unique passant toujours par le centre de rotation, les trois couples y (Z^ — Yz)dm^ y(Xz — Zx) dm , f(Yx — Xj) dm sont nuls , et les équations reviennent aux trois précédentes, comme si le corps était libre de toute action étran> gère; c'est ce premier cas simple et naturel qui fait le principal objet de notre analyse.

II. — Comment.on aurait pu déduire notre théorie des trois équations qui

précèdent.

76. Considérons les trois équations (i), (2), (3), et voyons les premiers

corollaires qui en découlent.

Corollaire 1.

On voit d'abord que l'équation différentielle (i) s'intègre immédiatement

et donne

A'/?' -4- B' ^2 4- C r' = constante = G%

où je fais la constante égale à G% parce qu'il est évident que le premier membre exprime le carré du couple G dont le corps est animé. Ainsi cette intégrale répond au théorème de la conservation de la grandeur du couple d'impulsion.

Corollaire II.

L'équation (2) s'intègre de même et donne

AjD* -h B^' H- Cr* = constante = F.

Pour savoir à quoi répond la constante F, j'observe que le premier membre étant divisé par 0', exprime le moment d'inertie I du corps autour de l'axe de la rotation (n° 1 ). On a donc la constante F égale à 1 0% qui est évidemment l'expression des forces vives de toutes les molécules du corps; d'où résulte le théorème de la conservation des forces vives dans tout le cours de

la rotation.

Corollaire III.

Si, au lieu de diviser le premier membre par 0% on le divisait par le produit G , il est clair que ce premier membre exprimerait le cosinus de l'inclinaison i de l'axe G à l'axe 0. D'où-l'on voit que G0 cosî est encore l'expression de la constante F; et comme G est constant (corollaire I), il en

résulte

cos i = constante;

ce qui donne le théorème de la conservation de la vitesse angulaire du corps estimée autour de l'axe du couple d* impulsion G.

Corollaire IV.

On peut encore remarquer que l'équation ( 2 ) qui , vue sous la forme

A/? X/? -+- B(7 X ^ -h Cr X /- §-X0 exprime l'égalité à zéro du cosinus de l'inclinaison de g' à 0, et , par conséquent, la perpendicularité de ces deux axes , exprime encore , si on la regarde sous la forme

A/? X/> 4- Bç- X 7 + CrX /•

GXV^'-H^^'

la perpendicularité de l'axe G à celui de la rotation sjp'^ ^ q^^ r* qui serait due au couple g, D'oii l'on voit que cet axe, sur lequel les forces centrifuges tendent à faire tourner, est toujours situé dans le plan même du couple d'impulsion.

Corollaire V.

Enfin, l'équation (3), qu'il est facile de ramener à la forme

2— - = sinide, G

montre, comme on Ta déjà vu (première partie) , que si , au bout d'un instant dty l'axe OG du couple a passé de sa position actuelle à celle de la diagonale

00' dn rectangle construit sur les deux lignes G et ^ r/r, et de cette manière

s dt a décrit tians le corps un angle ^— ; d*un autre côté , par la rotation du corps,

cette droite OG' a tourné en sens contraire d*un angle G sin idt égal au premier, et se trouve ainsi revenue au même lieu OG dans l'espace absolu; ce qui répond au théorème de V invariabilité du plan du couple G dans toute la suite du mouf>ement.

COKOLLAI&E VI.

Si , dans les deux équations intégrales précédentes , que je mets sous la forme