IV. — Équations différentielles des courbes ff«, a^, or

65. Si l'on voulait avoir l'équation polaire de l'une des courbes (7^, entre son rayon vecteur Ca et l'angle tto qu'il décrit sur le plan ûxe^ il suffirait de

chercher l'expression de -— en fonction de Pay et de la comparer à celle de

— T— qui nous est déjà connue.

Ainsi , comme on a

a^ — Va = —- JS^y

et d'ailleurs

on aura, en faisant, pour abréger.

l'équation

(i) «» — PÎ = «(«» — «'),

d'où Ton tire

(^a dua u du

dt dt

Or on a trouvé précédemment (n° 8)

du I ;

— = -v/(«'-a')(P'-«')(«'-V'), et l'on a, d'après l'équation (i) ci-dessus,

donc , en substituant ces valeurs , on aura dp^

Va

^/tt,

Maintenant , comme on a pour l'expression de -j- 5

dt kh V

on aura, en divisant cette équation par la précédente, *• • * ". . ^{ol—a' )[i''a — «'+ « ( P'—a' ) ] [pi— «»+ « (7»— a» )]

ce qui est, entre le rayon vecteur Va et Tangle na qu'il décrit sur le plan fixe du couple d'impulsion, Téquation cherchée de la courbe (Ta.

On trouverait de même les équations polaires des deux autres courbes ai, , Vc décrites sur le même plan par les projections des deux pôles B et C de Tellipsoïde central : il suffirait de changer a en 6, et ^i en c dans l'équation précédente, mais avec cette attention de faire le même changement dans l'expression du nombre n , qui étant ici ,

serait pour .„ n = ^^,^.^ ^^,^.^ ,

et pour ff, , n = r-, ■ .

Des trois courbes (Ta', o"y, (Tc' décrites sur le plan fixe par les trois points

où les axes du corps vont couper ce plan,

64. Si, au lieu de la courbe day décrite par la projection du pôle A , on voulait considérer la courbe (Saf tracée par le point A' où Taxe a prolongé va rencontrer le plan du couple, il est clair qu'en nommant Va' l^ rayon vecteur de cette nouvelle courbe (laf , on aurait d'abord entre Va et Va' > cette relation

a'vl.

W <=Tr-r^..

Va'

Or, ces deux rayons vecteurs Va ^^^af étant toujours dans une même direction , il est évident que le mouvement angulaire du rayon p^^ est parfaitement égal à celui du rayon Pa, et que, par conséquent, pour avoir la vitesse angulaire

-j ^ du rayon Pa', il suffit de mettre, dans l'expression précédente de —^5 dt dt

au lieu dei'a > sa valeur en (v qui est donnée ci-dessus. On aura donc de suite

l'équation

dita' h vl -\- h^^ a^

dt k V

fit

A présent , pour obtenir l'équation polaire de cette nouvelle herpolhodie da',

dv I il faudrait chercher l'expression de — pen fonction de v^'* Or l'équation (R)

étant différentiée donne d'abord

dVgi ^ [h'-^-vl^f dUa

dt ah'- ' dt''

il ne reste donc qu'à trouver le facteur -~ en fonction du rayon\'.

Or oous avons trouvé plus haut — ^ en fonction du rayonna; et celui-ci,

I at

par Téquation (R) , est donné en Va» : donc, en faisant ces substitutions, on aura l'expression de — ^ en fonction du rayon vecteur Va'»

\ Donc enfin , si Ton divise l'expression de — -^ par celle de—r^, il viendra

= jonction de cvj

di

af

ce qui donnera Téquation polaire de la courbe «Ja'.

On trouverait les deux autres courbes''o'6, Cc par le simple changement de a en b, et de a en c dans la précédente.

6S. On peut remarquer entre ces nouvelles courbes et les premières une différence assez notable. Chacune des trois premières courbes (Ta'i ^by <^c est, comme l'herpolbodie o-, toujours renfermée entre deux cercles de rayons finis, dont elle va toucher alternativement Tune et l'autre circonférence. Mais, des trois courbes Ca/, o-y, Cc/, il n'y en a qu^une seule qui circule ainsi entre deux circonférences limitées ; et cette courbe est ou (Taf ou exc' , selon qu'on a

h'^ b ou h <^ b.

Pour chacune des deux autres, elle touche bien, par les sommets inférieurs de ses ondes, une circonférence de cercle de rayon fini, mais elle va porter ses sommets supérieurs sur un cercle de rayon infini. C'est ce qu'il est facile de reconnaître par la simple comparaison du rayon vecteur v^ au rayon vecteur Vq/,

66 Par les deux variables iza et Va^ déterminées en fonction du temps r, on aurait la projection du pôle A sur le plan fixe, et comme la hauteur de

ce point au-dessus du plan est exprimée par \Jà^ — f à , on connaîtrait la position du pôle A dans Tespace absolu : et ainsi pour les deux autres pôles B

et C du corps. Mais l'intégration de ces expressions —-^ et -r^ a les mêmes

difficultés et demande l'emploi des mêmes fonctions elliptiques que les pré-

df^ dp cédentes -~9 — relatives au pôle instantané I de la rotation. Etc. Etc.

dt dt ^

67. Mais je n'irai pas plus loin dans ces détails : nous n'avions ici d'autre but principal que de bien démontrer notre théorie nouvelle de la rotation des corps , et de l'élever, s'il était possible , à un degré de clarté qui la mît au rang des théories élémentaires. Or il me semble que, par les nouveaux théorèmes et les images variées qui précèdent, cet important objet se trouve entièrement rempli.

J'ajouterai seulement, sur la nature du mouvement de rotation d*un corps libre, ce dernier corollaire : c'est que relHpsoïde central du corps est perpétuellement coupé par le plan fixe du couple d'impulsion suivant une ellipse dont la forme varie , mais dont Taire est constante.

Cela se voit presque immédiatement si Ton considère que tous les rhom- \

boîdes construits sur trois diamètres conjugués de Fellipsoîde sont égaux en !

volume , et qu'il en est de même de tous les cylindres inscrits à ces rhom- I,

boîdes; que, par conséquent, de cette infinité de cylindres égaux, ceux {

qui ont même hauteur ont des bases équivalentes. Or c'est précisément ce |

qui a lieu pour les cylindres dont les deux bases parallèles touchent l'ellipsoïde |

central aux deux bouts de l'axe instantané de rotation; car la distance mutuelle de ces deux plans tangents reste la même dans tout le cours de la rotation.

Cette démonstration suffit au cas particulier où le couple est dans un plan diamétral de l'ellipsoïde. Si ce couple est dans un plan parallèle , qui reste éga- |

lement fixe dans l'espace absolu , l'ellipsoïde est coupé suivant une autre ellipse semblable à la première et variable de forme avec elle. Or, si l'on compare les aires de ces deux ellipses , on trouve , par un calcul très-simple , qu'elles sont entre e|les dans un ra(>port qui ne change point , je veux dire , qui reste le méode , à quelque époque du mouvement qu^on veuille faire cette comparaison. Donc, puisque Paire de la première ellipse est constante , celle de la seconde Test aussi, comme étant toujours une même fraction de la première.

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