III I

p' Ph p.- «

-y H — j H — j = constante = i .

Pa Pb Pc

jr4=-

.« ,. . dl^a d^b '^^e . , ♦ • ,

48. Maintenant, soient — r-> — r— » — r-» ou simplement ir., tt^, ir^ les

dt dt dt ^

vitesses angulaires des projections des trois axes a^byC sur le plan du couple ; je dis qu^on aura les trois équations suivantes :

k ^'sin'fi h c'-^z^ A- c' sin^ V

dont la démonstration directe est très-facile.

Et, en effet, il est clair que Ta^t ne désigne autre chose que Pangle décrit par la projection du rayon a sur le plan du couple pendant Tinstant dt. Or

la projection de a est asin^, et, par conséquent , l'expression a}svD}\.it,dt représente Taire décrite par cette projection de a : mais Taire décrite sur un plan par la projection d'une ligne n'est autre chose que la projection de Taire décrite dans Tespace par la ligne elle-même. Nous n'avons donc qu'à chercher Taire que le rayon a décrit dans Tespace, à la projeter sur le plan du

couple, et à Tégaler à Texpression à^sui^X.iradt,

Or, dans un instant dt^ le corps tourne autour de a d'un angle pdt\ mais, par cette première rotation , la ligne a demeure immobile et ne produit aucune aire dans Tespace : il ne reste donc à considérer que les deux autres rotations q dty rdt qui ont lieu dans le même instant autour des deux autres axes b et c.

Par la première, le corps tourne autour de b d'un angle qdt'yCtj par conséquent, le rayon a décrit un secteur a}qdt dans un plan perpendiculaire à by lequel , étant projeté sur le plan du couple , donne Taire

a^qdty<, cosfA.

Par la dernière rotation, le corps tourne autour de c d^un angle r^/r, et le

rayon a décrit un secteur à^rdt perpendiculaire à c, lequel , projeté sur le

plan du couple , donne Taire

a^rdty<, cosv.

On à donc Téquation

a^ sin' "k ifadt==^[a}q cos' |x -h a* r cos v) dt^

ou bien^ en divisant de part et d'autre par a^dt^ et remettant, au lieu de q

et r, leurs valeurs t et j »

. ^ . A /jr' z'\ h l x'\

sin' A.ira=T(7-H )=--(| ) :

ce qui est la première de nos trois équations. Et il est évident qu'on aurait de roérae la seconde, en y changeant a en b, x en y, et X en p; el ensuite la troisième 9 en y changeant a en c, a; en z, et > en v. Ainsi ou aura

h a} — X* k a^ sm^ A

(n) ;,, = *. *^iz!,

k ^*sin*f*

ce qu'il fallait démontrer.

49. Si Ton multiplie la première de ces trois équations par sin^>, la deuxième par sin^ {x, la troisième par sin' v, et qu'on les ajoute , il vient

sin^^.TTaH- sin^fA.TTft + sin'v.TTc = -r(3 — i)= 2 j-

Or, qu*on prenne sur les axes principaux, et à partir du centre, trois lignes égales à Tunité, et Ton pourra voir sinX, sinfi, sin v comme les trois pro-

jections de ces lignes sur le plan fixe du couple; et sin^X tt^, sin'/A.Tr^,

sin^ V . TTc comme les fluxions des trois aires décrites par ces projections sur le même plan. Donc, en considérant la somme de ces trois aires, on aura, pour cette somme, l'expression très-simple

où l'on peut remarquer que - est la vitesse angulaire constante 6 cos i du

système autour de l'axe fixe du couple d'jmpulsion G.

80. Si, en considérant les mêmes équations (II), on multiplie la première

sinU ., sin> , . . .s sin'v ., .

par — -— > la deuxième par , ' > la troisième par « il vient

--Sin'A.7ra=— - — - --, a^ ko} k a^

^SinV.TT.zz:^,---,

d'où, en ajoutant, on tire cette équation remarquable,

^ smn.TT^ + ^sin-f*.7r, + - sm'v.TTe = ^ ( - + ^, + ^, - - \.

Or -î -, , - ne sont autre chose que les bras de I*inertie du corps autour des abc

axes principaux : si donc, à partir du centre O, on porte sur les axes, trois

lignes égales aux bras respectifs de Vinertie autour des mêmes axes, on pourra

considérer- sin>, -r sioF» -sinv comme les trois projections de ces lignes a b c

sur le plan dn couple, et — sin'X tt^, Tisin'a.iri, --sin'v.7r« comme les

ûf' b c

fluxions des trois aires que ces projections décrivent sur le même plan pendant le mouvement du corps ; donc , en multipliant par dt et intégrant , on aura, pour la somme de ces aires décrites dans le temps r,

iSl. Voilà donc deux propriétés nouvelles du mouvement d'un corps libre qui tourne sur son centre de gravité :

1®. Si, à partir de ce centre, on porte sur les axes principaux du corps trois lignes égales entre elles y et d'une longueur quelconque a, la somme des aires décrites par leurs trois projections sur le plan fixe du couple d'impulsion

sera proportionnelle au temps ; et elle sera exprimée par 2 - r' r ;

2®. Si ton porte sur les mêmes axes principaux trois lignes proportionnelles aux trois bras de Vinertie du corps autour des mêmes axes , la somme des trois aires décrites par leurs projections sur le plan du couple sera aussi proportionnelle au temps ; et celle somme sera exprimée par

j étant le commun rapport des trois lignes aux trois bras d'inertie ; ce qui forme deux théorèmes très- remarquables dans la théorie de la rotation d'un corps libre de toute action étrangère : théorèmes en quelque sorte géométriques , et qu'il ne faut pas confondre avec ceux qui regardent le principe ordinaire de la conservation des aires , quoiqu'ils en dépendent au fond , et qu'on puisse en rapprocher les expressions , comme on peut le voir dans Tarlicle suivant.

S2. Et, en effet, si Ton considère tous les rayons vecteurs menés du centre à toutes les molécules égales du corps, et la moyenne de toutes les aires que leurs projections tracent sur le plan fixe du couple , on aura évi-

demment , pour cette aire moyenne^ l'expression —; G étant la grandeur du

couple dHmpulsîon , et m la masse du corps, ou le nombre de toutes ses roolécules. Ainsi, comme on a représenté G par —9 on aura, pour l*expres sion de cette aire moyenne, décrite dans le temps f,

53. Si donc on voulait que Taire précédente 2 - • r'. f , due aux mouvements des trois rayons égaux &, pris sur les trois axes du corps, fût égale à cette aire moyenne — • ^ du système de tous les rayons vecteurs menés aux

Kil

particules du corps, il faudrait choisir la longueur du rayon & de manière

qu'on eût

/ kh '

ce qui donne, pour r, l'expression

h sjn Ainsi , en prenant , sur les axes principaux du corps , trois lignes égales à

— -—, on peut dire que , pendant le mouvement du corps, ces trois lignes

projetées sur le plan du couple y décrivent trois aires dont la somme est égale à Taire moyenne du système : de sorte qu'en multipliant cette aire par la masse m du corps , on â Taire totale due au couple d'impulsion G.

^4. On pourrait chercher de même les rayons inégaux Ra, R^» Re» mais

proportionnels aux bras respectifs de l'inertie -,-,-, qu'il faudrait prendre

sur les axes, pour que Taire décrite fût égale à Taire moyenne du système.

En désignant , comme ci-dessus , par j le rapport inconnu de Ra à -? de r^ à

-7-9 de Rc à -, on aurait, pour déterminer y, Téquation

d'où Ton tire

et , par conséquent , en faisant a» fc' + ^» r» -h a» c* = B et a' ft» c* = C ,

^B/i»— C ac

Bc =

ab

v/ba»— C*

Ainsi, en prenant les aires décrites par les projections de ces trois lignes , on aurait en somme une aire égale à Taire moyenne du système.

II. — Propriétés des mouvements de natation des trois axes principaux vers

V axe fixe du couple d'impulsion,

IS5. Les trois équations (2] du n® 47 donnent :

fl' sin* X = a* — A' — î

^»'sin'u = fc» — A»*^,

c' sin' V = c' — f^^-^'-i

cr

donc , en ajoutant , on a l'équation

(A) fl' sin' > -t- ^' sin' ^ +• c* sin' v —«'-+- ^' -h c» — A' = constante.

Les mêmes équations (2) donnent

sin' ^ = I — A* — > sin* pt = i — A' —, sin' v = i — A' -- ;

Éi* o* {r

donc, en ajoutant, on a

^B) sin' \ -h sin' pi -f- sin' v = 3 — ir=2 = constante ,

ce qui revient à l'équation connue

cos' \ 4- cos' fx 4- cos' V = 1 , <*omme cela doit être.

Donc, si Von considère les trois pôles k^ By C de l'ellipsoïde central, il résulte de Inéquation précédente (A), que la somme des carrés de leurs distances à l'axe fixe du couple d'impulsion est constante dans tout le cours du mouvement.

On peut regarder sin' \ comme a^ sin- X X — ? c'est-à-dire, comme étant

égal au produit fait du carré de la distance du pôle A à Taxe du couple ,

par le carré du bras - de Tinertie du corps autour du rayon principal. Il

résulte donc de l'équation (B) cet autre théorème :

La somme des carrés des bras de Vinertie du corps respectivement multipliés par les carrés des distances variables des pôles à l'axe du couple, est constante dans tout le cours du mouvement.

III . — Des courbes tTay^b^ ^c décrites sur le plan du couple par les projections

des trois pôles A , B , C ^^ l'ellipsoïde central,

86. Si l'on considère les trois courbes c^ , (74 , (Tc que décrivent les trois pôles A , B , C projetés sur le plan du couple , on voit que ces trois courbes , dont le cours est infini , et qui , en général, ne se ferment point, sont de même genre que Therpolhodie <t décrite sur le même plan pair le pôle instantané de rotation.

Si h est "^b par exemple , et que a soit ainsi Taxe que Torbe elliptique s du pôle instantané entoure comme un essieu , la courbe Va décrite, sur le pltin du couple, par la projection du pôle A, sera, comme riierpolhodie a-, formée par une suite d'ondes égales et régulières autour du même centre P. Et même , comme le maximum du rayon vecteur p« =r a sin \ répond au minimum de X, et ce minimum au minimum du rayon vecteur p de la courbe <t, on voit que les sommets supérieurs des ondes de la courbe (t^ répondent aux sommets inférieurs de la courbe ff , et les inférieurs aux supérieurs.

67. Pendant ce temps, les projections des pôles B et C décrivent aussi, autour du même centre P, des courbes (tb, <Tc qui ont des sommets alternatifs de maximum et de minimum, où ces deux pôles passent aux mêmes époques , mais Tun B passant par un sommet supérieur, quand l'autre G passe à un sommet inférieur, et réciproquement : et cela, à un angle droit de distance entre le rayon vecteur vi, de l'un et le rayon vecteur Vg de l'autre.

Si h est < b, auquel cas l'orbe elliptique s entoure le petit axe c comme son essieu , on aura les mêmes propriétés pour les courbes décrites par les projections des trois pôles.

Ce qu'on peut remarquer dans les deux cas, c'est que la courbe 0-4, décrite par le pôle moyen B , est la seule dont les sommets répondent toujours à des sommets de même nom dans l'herpolhodie g , et que le contraire a toujours lieu pour les deux autres courbes (7«, 0-^.

Cas singulier de h :=2 b.

68. Enfin si // = b, auquel cas singulier l'orbe s est une ellipse passant par l'axe moyen 6, et la courbe <t une spirale autour du centre P, i« le pôle

moyen B décrira de même une spirale autour du même centre, se rapprochant sans cesse de ce point comme la spirale ts , sans jamais pouvoir Vaxteindre ; ^^ le pôle A décrira aussi une spirale , mais qui ira sans cesse en

s'éloignant du même centre , depuis sa distance minimum a • 4 / —^ ^ 9

jusqu'à sa distance maximum a qu'elle ne pourra jamais atteindre : cette spirale, décrite par le pôle A, va donc sans cesse en s'épanouissant vers une circonférence de cercle du rayon a , qui en est comme l'asymptote ; 3° enfin, il en sera de même de la spirale décrite par le pôle C , et dont le plus petit

rayon sera = c • i / -^ -^> et le plus grand =

Cas ou l'ellipsoïde central est de révolution,

59. Si l'ellipsoïde central est de révolution, Torbe s est un cercle autour de l'axe de révolution , la courbe 0- est un cercle sur le plan du couple , et la projection du pôle de la figure décrit aussi un cercle concentrique. Dans ce cas , il n^ a point , à proprement parler, d'autre pôle de la figure que celui qui fait l'extrémité de l'axe de révolution. Mais si Ton voulait en marquer arbitrairement deux autres sur l'équateur du sphéroïde , pris à un angle droit de distance l'un de l'autre , et considérer les deux courbes que leurs projections décrivent , on aurait deux courbes parfaitement égales , qui ne seraient point circulaires , mais qui formeraient des ondulations régulières autour du même centre : les sommets de noms différents sur les deux courbes étant toujours à un angle droit de distance angulaire l'un de l'autre.

Remarque I.

60. On a trouvé pour la vitesse angulaire -j- du pôle instantané I autour de l'axe du couple ,

dt^ k'^ h^kv" '

p étant le rayon vecteur de l'herpolhodie g. Voyons quelle est , en fonction

dit de son rayon vecteur f^ , l'expression de la vitesse angulaire — r^ du pôle A

de l'ellipsoïde autour du même axe fixe.

Cette vitesse angulaire est exprimée , comme on l'a vu plus haut, par

di^a h a"^ — x^

dt k a^ sin^ \ Or, fl'sin'> étant le carré du rayon vecteur Va de la courbe fT„, on a

d'aboid

mais, de

on dre

pâ = a- sin' 1 = —

on a donc, en mettant pour a^ — x^ cette valeur,

d'où Ton voit que Fespression de la vitesse angulaire --j^ du pôle A de la

figure est semblable à celle de la vitesse angulaire -j- du pôle instantané I,

dt

Tune et l'autre étant composées d'une partie constante et d'une partie réciproque au carré du rayon vecteur. '

Et il est évident qu'on peut dire la même chose des deux autres pôles B et G , puisque leurs mouvements angulaires sont donnés par la même expression que la précédente en y changeant simplement a en 6, et a en c.

Remarque II.

61. Si le corps était de révolution, autour de l'axe principal a par exemple ,

d ir il est certain que la vitesse angulaire — ^ du pôle A serait égale à celle du

pôle instantané I. On doit donc trouver, dans le cas de 6 = r,

d Ka d(f

"dt^ Ht'

C'est, en effet, ce qui a lieu, car il est aisé de voir que, dans le cas de b=:Cy le carré du rayon ^vecteur u de l'herpolhodie o* est constant et qu'il a pour valeur

d'un autre côté, on a , pour le carré du rayon vecteur p« de la courbe (ta >

1 * Il ^ ' •

Or, en mettant ces valeurs de p' et v]i dans les expressions respectives de —

dt

Additions i854. q

et -r-^, on trouve d'abord dt

di~^ A'^ h'A.(a*^h^)(h'—b')'''Â h'k '^ kh

et ensuite

dTta^^h h (A' — fl»)(A»-~^') h h h» -^ b^ b^ 'dF'^J'^J' h^a'--h^) "H'^A' h} '^ Ah'

même valeur que la précédente, comme cela devait être.

Remarque III.

62. Comme dans notre analyse la quantité — exprime la grandeur àvx couple d'impulsion, on tire de l'expression précédente,

dj^ bl dt hA '

laquelle ne renferme que le produit hA et le carré de ^% cette conséquenre

remarquable : c'est que , dans un corps dont l'ellipsoïde central est de révo-

dit Intion , le mouvement --r^ des nœuds de Téquateur sur le plan fixe du couple

dépend uniquement de la grandeur de ce couple, et point du tout de sa direction ; que ce mouvement ne dépend pas non plus du moment d'inertie autour de Taxe a du corps , mais du seul moment d'inertie autour du rayon b de l'équateur. Ainsi , quelles que soient la position du couple par rapport à

Taxe, et la valeur du moment d'inertie -- autour de cet axe, le pôle A du

corps tournera toujours avec la même vitesse angulaire —j^ autour de l'axe

fixe du couple d'impulsion.

Or il n^est pas difficile de voir que , même sans changer la masse d'un corps, on en pourrait changer la figure d'une infinité de manières telles, que le sphéroïde central y aurait toujours un équateur de même rayon b , mais avec un axe a qui différerait de Tun à l'autre . On peut donc dire qu'un même couple , étant appliqué comme on voudra à l'un quelconque de ces corps, y produirait exactement la même pré^ession , c'est-à-dire le même mouvement angulaire de la ligne des nœuds de l'équateur sur le plan ûxe de ce couple.