PRÉFACE

La théorie des ligues à double courbure, lelle qu'elle résulte aujourd'hui des travaux déjà anciens de Monge, et de ceux plus récents de plusieurs géomètres contemporains, comprend deux études distinctes.

La première, qui constitue en quelque sorte l'anatomie de ces lignes, a pour objet la recherche des propriétés que présente en chacun de ses points une ligne à double courbure quelconque, et pour résultat de nombreuses formules exprimant les diverses relations de grandeur et de position qui existent entre les éléments correspondants de la ligne considérée, du lieu des centres de courbure, de la ligne de striction de la surface gauche des normales et de l'arête de rebroussement de la surface polaire.

Dans la seconde, on considère dans tonte leur étendue la ligne à double courbure primitive et chacune des lignes (\m en dérivent; les développées de cette ligne; les surfaces, gauches ou développables, formées par les normales principales, par les droites polaires ou rectifiantes, etc. A cette seconde étude enfin se rattache essentiellement la recherche des lignes à double courbure qui, considérées dans toute leur étendue, présentent en chacun de-leurs points une même propriété; le résultat de cette recherche étant la définition géométrique de chacune de ces lignes d'après cette propriété. On voit que ce dernier problème,

VI PUÉFACE.

(|ui a pour objet, pour ainsi dire, de reconstruire d'une seule pièce une ligne à double courbure d'après les caractères qu'elle j)résente en l'un de ses points, est l'inverse du premier, qui a dû le précéder, et qui devrait lui fournir les éléments de cette reconstruction. Il présente aussi de bien plus grandes difficultés, et n'a été abordé que beaucoup plus tard, et dans ces dernières années, par un petit nondu'e de géomètres, parmi lesquels nous citerons 31. Puiseux, qui a fixé le premier la nature des lignes dont les deux courbures sont constantes; M. A. Serret, qui a résolu par une méthode analytique très-élégante plusieurs des questions que nous aurons à étudier géométriquement; et M. Bertrand, à qui l'on doit plusieurs propositions importantes conduisant à la classification des surfaces gauches engendrées par les normales principales d'une ligne à double courbure.

La première Partie de ce livre a pour objet l'exposition de la théorie, ainsi définie, des lignes a doul)le courbure.

La marche que nous avons suivie est entièrement géométrique, et n'exige aucun emprunt à l'analyse, ou à la théorie des surfaces, si ce n'est dans quelques détinitions ou dans un petit nombre de propositions universellement connues. On ne retrouvera donc dans nos calculs aucune des formules qui figurent habituellement dans la théorie analyli(jue des lignes à double courbure; les coordonnées recliligucs ordinaires se trouveront elles-mêmes éliminées, parce que nous aurons toujours rencontré, ou cru rencontrer, en dehors de ces coordonnées traditionnelles, les variables convenant le mieux aux questions (jue nous nvioiis ;i étudier.

On pounail s'allcndre, il csi vrai, tl d'après celte seule (lfil;ir;iliuii , ;i Iiuii\ci' S( Mlciiifiil dans (Ci oiiviagr une ->nil( (l< pKiposiliuiir,, irlicc^ niln' clb-s, >ans doulr, par

riinitc (lu SLijcl, mais indépendantes les unes des auhes au point de vue de la démonstration.

Car c'est la le caractère ordinaire de la Géométrie : elle oITre rarement ces grandes voies, largement ouvertes, élégamment symétriques, familières à l'Analyse, et sur lesquelles des travailleurs de génie ont coulé un macadam éternel. Ses grandes routes, a elle, sont des sentiers perdus a travers une forêt épaisse : on y marche dans l'ombre, attentif à saisir un premier rayon; mais un reflet quelquefois y paraît un rayon; un rayon, une lueur vaine. Le sentier cependant s'élargit peu à peu; le sot résonne mieux sous les pas raffermis; des clartés naissantes descendent lentement des cimes qui paraissaient tout à l'heure ne receler que la nuit , et l'œil insensiblement s'accoutume à la lumière. Le monde nouveau, qui est au bout de ce voyage de découvertes, aura d'ailleurs des dimensions diverses; le plus souvent une île, et quelquefois un continent; au gré de Dieu : puisque la loi de nos pensées nous échappe, et que notre esprit est en nous comme un instrument que sa main a réglé d'avance, que nous dérangeons volontairement quelquefois, mais dont nous ignorons également le mécanisme actuel et les expansions futures.

Cependant, et malgré cette variété de points de vue inhérente à toute exploration géométri(jue de quebpie étendue, nous espérons que l'on trouvera dans celle-ci des conditions d'uniformité suftisantes, et presque comparables à celles que pourrait offrir l'analyse. La mélhode (jui nous a permis d'alleindre à ce degré d'uniformité est contenue dans cette (d)s( ivalion evidenle : Les relalions (jui existent enlre les éléments (V une Ji'^ure Irarcc d'une tnanière f/itelront/ue dans /V.sy^r/rr jxihenl se sc/xtrcr en clcN.r classes : la jucnucK lenfi iniant les /cla/io/ts de.s^'iip-

Vllt l'RÉFACE.

livcs; la seconde, les relations métriques : cl la détermination des relations de grandeur découle avec facilité de la détermination des relations de position. Or, c'est cette première partie du prol)lème, consistant dans la recherche (k's relations de position le plus immédiatement utiles, (jue nous croyons avoir résolu d'une manic're uniforme, par l'introduction de certaines lignes sphéricjucîs auxiliaires, que nous nommons indicatrices, et qui interviennent à peu près sans interruption dans toute la première partie de cet ouvrage.

Dans la seconde et dernière Partie, les lignes à douhle courbure sont considérées comme représentant , sur une surface déterminée, la trajectoire d'un point matériel en mouvement, ou la ligure d'un fil en équilibre. On reconnaîtra aisément que le fond et la l'orme en sont également nouveaux; et l'on pourra trouver au commencement des chapitres X et XI l'indication des résultats obtenus, que nous omettons ici.