DU MOUVEMENT SUR UNE SURFACE GAUCHE

surface gauche (juelconque ( voir page i48, formule f\o)^ is i + A' R^' I

où 1 on déduit, successiveiuent, /'R

sinV

tang V

tan;', V

.dK

• sin V. (Is,

' CCS y .(Is,

d(j -hA-"R') I 4-/('R-'

^i l ou regarde la surface gauche comme engendrée par les hi-normales d'une ligné à double courbure dont la seconde courbure demeure constanle : auquel cas on a

<-/R r= ds. cosY,

et  = conslante ( voir la notation de la page i44)'

Cela posé, si l'on regarde la trajectoire actuelle comme décrite par un mobile soumis à la réaction normale de la surlace et à une force extérieure G, dirigée en chaque point suivant la génératrice rectiligne OA de la surface; en transportant

la valeur (2) de — ^ dans la formule (I) de la page 186, et la V / tangV ^ ' '^ ^ '

valeur résultante de v, ainsi (jue la valeur (i) de Rj,g:= r^, dans la formule (II) de la même page, -on aura ces deux équations :

— C\Ji^/r~R' =

II'

Elles conduisent à cet énoncé très-simple : Les forces, dirigées suivant les génératrices de la. surface^ cl capables de faire

2 14 SliCONDE PARTIE. CHAPITRE DIXIÈME.

parcourir au mobile une trajectoire de ces génératrices^ sont proportionnelles aux segments interceptés sur les génératrices entrée la trajectoire et la ligne de striction de la surf ace j et la vitesse du mobile en chaque point, estimée suivant la tangente au point correspondant de la ligne de striction, demeure constante ^ cette dernière propriété résultant de la formule (F) que l'on peut écrire, l'angle V étant constant,

l' sin V . cos <» = C sin V := constante.

Il résulte encore de là une autre propriété curieuse, relative aux mouvements simultanés de r/ewx mobiles^ lancés en même temps, de deux points situés sur une même génératrice ^ et sinisant une même inclinaison V par rapport à cette génératrice. On aura, en effet, à une époque quelconque du mouvement simultané des deux mobiles,

.'sinVcostp =CsinV, G =C2/"^R; p'sinVcos<p' = C'sinV, G' = C'^X^R'.

Si donc on pose

(Bl ^=1, ou -=-,

on aura, successivement,

(' sin V cos tp = <'' sin V cos -f ',

ds . ,^ ds' . ,

— sin V coscp = -7- sin V cos çp , fit ^ dt ^

(I17 = f/ff',

de et d(j' désignant les projections sur la ligne de striction des arcs décrits dans le même temps dt par les deux mobiles : or, il résulte de cette égalité, et en ayant égard à la restriction exprimée par la relation (B), que les deux mobiles se trompent toujours, à ujie époque quelconque du mouvement , sur la même gcficratrice de la su/face.

Ces résultats sont immédiatement applicables à Vhéliçoïde gauche ci plan directeur, qui est du nombre des surfaces repré-

DE LA BUACHISTOCHKOINE. 21 J

semées par les équalions (A). On en déduit, en parliculaiisant l'angle V, la description, par le mouvement d'un point, des lignes de courbure de cette surface, qui coïncident, comnu; on sait, avec les trajectoires sous l'angle de 4^ degrés des génératrices reclilignes de la surface.