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De la hrcichislochroiie sur une suif ace de révolution.

13o. L'étude du mouvement libre d'un point dans le pl;in a pour complément ordinaire l'étude du mouvement d'un point assujetti à demeurer sur une courbe plane donnée. 11 conviendrait donc de compléter de la même manière l'étude du mouvement d'un point sur une surface. L'un des problèmes les plus intéressants, auxquels donne lieu cette élude complémentaire, est celui qui a pour objet de déterminer quelle est, parmi toutes les lignes qui, sur une surjace donnée, réunissent deux points donnés, celle qui serait parcow^ue dans un temps niiniifium par un mobile soumis à des forces extérieures données.

Ce problème, déjà résolu par M. Roger à l'aide du calcul des variations, est susceptible d'une solution élémentaire pour certaines surfaces particulières, et notamment pour les surfaces de révolution. En effet, de ce que deux portions d\tne pareille su/face, adjacentes à un même parallèle, sont su})erposables, il résulte que la solution, donnée par iMailaurin, du ])roblème analogue dans le plan, leur est exactement applicable. C'est ce que nous allons faire voir en terminant.

i). Soit AMM'B la brachistochrone cherchée, issue du point donné A, et coujianl en B le méridien donné OfîO'. Traçons sur la surface les parallèles AZ?, B<7 terminés aux méridiens des points A et B. II est facile de voir que la ligne < herchée coupe orthogonalement le méridien OBO', et qu'elle est tout entière comprise dans le trapèze curviligne A6Brt. Nous la chercherons donc parmi les lignes qui satisfont à ces conditions et qui joigncnl le point A au point indéterminé M^

2l6 SECONDE PAUTIE. CHAPITRE DIXIÈME-

et d'ailleurs, toutes ces lignes, projetées suivant des méridiens sur le parallèle «B, auront même projection, à savoir Tare «B.

Quant à la loi des forces extérieures qui produisent le mouvement, nous supposerons seulement : i° qvie la force extérieure, en chaque point de la surface, soit située dans le plan de la section méridienne, de telle sorte que la composante active de cette force, qui produit le travail et les varialions de vitesfe du mobile, soit conslanmient dirigée suivant la tangente à la section méridienne-, 2° que la composante active de la force extérieure ait la même valeur pour tous les points de la surface situés sur un même parallèle : ces conditions se trouveraient réalisées, en particulier, dans le cas ordinaire de la pesanteur, l'axe de la surface étant supposé vertical; ou encore, dans le cas, plus général, d'une gravité toujours parallèle à l'axe de la surface, mais variable d'un parallèle à l'autre, et constante pour un même parallèle.

Il résulte, de ces conditions, que Ja vitesse d'un mobile qui parcourrait successivement les diverses trajectoires AMB, AM,B, serait la même pour les points de ces trajectoires situés sur un même parallèle ; et, en particulier, que la vitesse acquise en B, par la chute sur l'une d\dles, serait la même pour toutes : soit v^ cette dernière vitesse.

2). Cela posé, le temps par AMB parcouru avec la vitesse variable p», ou G (AMB, v]^ devant être un minimum, ce même temps, diminué de celui employé h parcourir le parallèle an B avec la vitesse v^^ sera encore un minimum,

G. (AMB, v) — G.(«/2B, t',) = minimum.

D'ailleurs, si, par une suite de méridiens successifs, on décorapose, en un même nombre d'éléments successifs MM' et /?«', la trajectoire AMB et le parallèle an\^\ la différence précédente sera rendue minimum, si l'on lend minimum chacune des dillérences élémentaires.

Fig. 55.

DE LA BUACHISTOCHUONE. 21 7

ftiM' étant la portion du parallèle du point M' correspondant à la portion nn' du parallèle ««R; et /, 7i désignant les rayons des parallèles des points M' et B, de sorte que Ton a

nn' = niM . —'

Enfin, p-, •— désignant une nouvelle vitesse, la différence précédente revient à celle-ci,

G. (MM', (')— f^.l /«M', (', .

(jui sera niininiuni, d'après le lenmie de la page i 19,

V f fi

[■'•) sinV = -= •-;

'■sinV /■,

(X) = - = constante :

équation qui définit la courbcî cherchée AMB, et dans la(|uelle V désigne l'inclinaison de la courbe sur le méridien.

3). Réciproquement, si l'on compare maintenant le temps par AMM'B avec le temps par toute autre courbe AM,M', B, on verra que le premier est moindre que le second. Car, prenant pour éléments correspondants des deux courbes les arcs MM', M,M'| compris entre les mêmes parallèles^ remar- ({uant qu'ils sont parcourus Tun et l'autre hvcc la même vitesse ^'l, et que les triangles rectangles M m M', Mi//<,M', sont partiellement snperposables ; on aura d'abord, suivant le lemme, et d'après la condition (x) à laquelle satisfait l'élément MM',

(MM', (')- C. wM', ..,. - <o (M,M', , r)— P. w,M',

f..(MM', i') - ô. (////', r,}<r.(M,M',, <') — cT. (//,«',,...).

2l8 SECONDE PARTIE. CHAPITRE DIXIÈME.

Delà, en faisant la soiunie des incgalilés semblables, el remarquant que

arc an Ji

il vient simplement