MOUVEMENT DES CORDES PINCÉES

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Soient x la distance d'un point d'une corde à l'une des extrémités, / la longueur de la corde, en sorte que pour l'une des extrémités x = 0 et pour l'autre x = L II suffit d'étudier le cas où la corde vibre dans un seul planpassant par saposition d'équilibre. Soient^ la distance du points à sa position d'équilibre au bout du temps t, p le poids de l'unité de longueur et S la tension de la corde ; les conditions du mouvement sont données par l'équation suivante :

et comme les extrémités de la corde doivent être considérées comme immobiles, on doit avoir

y = 0 si x = 0 ou x= L (,a)

L'intégrale la plus générale de l'équation (I), qui remplit les condi-

tions (1 a) et correspond à un mouvement périodique est la suivante :

izx 2tCuC

y = A ! sin -j- cos 2 nni -f- As sin — cos 4rcf

+ A3 sin —y- cos 6 7cn< + etc.

TZX 2 37

+ Bi sin —r sin 2 nnt + B2 sin — j- sin M + B3 sin -y- sin Gu»^ -f- etc.

ou

et Ai, Aa, A8 ainsi que B,, B2, B3 sont des constantes. Leur valeur peut être déterminée si on connaît pour une certaine valeur de t, la forme de la corde et la vitesse de ses différents points. Pour l'instant t = 0 la forme de la corde est donnée par la formule

y — Aj sin — 4- A2 sin — — \- A3 sin — — h etc et la vitesse par

-|. = 2ttw J Bt sin — + 2B2 sin -y- -h B3 sin - -f etc- !

le)

(id)

Supposons maintenant que la corde ait été déviée de sa position d'équilibre au moyen d'une pointe aiguë, et qu'on ait enlevé cette dernière au temps t — Q, de manière qu'à ce moment les vibrations aient

du

commencé ; la vitesse de la corde est nulle au temps t = 0 et — = 0

pour chacune des valeurs de x; cela ne peut avoir lieu que si, dans l'équation (1 d),

o = Bi = B2 = B3, etc.

Les coefficients A dépendent de la forme de la corde au temps t — 0. Au moment où la pointe quitte la corde, celle-ci a dû avoir la forme, représentée (fig. 18 A, p. 75), de deux droites tirées de l'extrémité de la pointe aux deux points d'attache. Appelons a et b les valeurs de x et de y pour le point touché par la pointe, les valeurs de y au temps t = 0 étaient :

SI

et

si

bx

et les valeurs de y tirées de (1 c) et de (2) ou de (2 a) doivent être identiques.

Pour trouver le coefficient Am, comme on sait, on multiplie les deux

membres de l'équation (1 c) par sin =? dx et on intègre de x = 0 à x = L L'équation (1 c) se réduit alorsà

Amf sin* 5p dx=f ysm *f dx. {U)

où il faut remplacer y par les valeurs tirées de (2) et de (2 a). En effectuant l'intégration dans (2 b) on obtient

îbP

rmzn

tn'iÂi (/— a) Sm ~ (3'*

Donc Aw devient nul et, par conséquent, lemme son partiel delà corde fait défaut quand

. rrnza sin— -r- = 0,

c'est-à-dire quand a= Lf ou i', ou iz, etc. Donc, si on suppose la corde partagée en m parties égales et ébranlée en un des points de division, il manquera le mmeson partiel, dont les nœuds coïncident avec les points de division dont il s'agit.

Chacun des nœuds du mmo son partiel étant en même temps un nœud des2mme, 3mme, 4mme, etc., ces derniers disparaîtront tous en môme temps.

On peut aussi, comme on sait, mettre sous la forme suivante l'intégrale de l'équation (1) :

y — cp(x — at) + ù{x -{- at) (4)

ou a2 = -, <p et i|/ sont des fonctions arbitraires. La fonction cp (x — «^représente une forme quelconque de la corde, qui s'avance avec la vitesse a, mais sans modification, dans le sens des x positifs, la fonction^, une forme de même nature s'avançant avec la même vitesse dans le sens des x négatifs. On doit supposer les deux fonctions connues pour une valeur déterminée du temps, x variant de — ooà-f- oo ; le mouvement de la corde est alors déterminé.

Notre problème, la question de déterminer le mouvement des cordes pincées, sera résolu sous cette seconde forme si nous pouvons déterminer les fonctions 9 et ^ de manière

1° Que pour les valeurs x = 0 et x = /, la valeur de y soit constamment nulle pour une valeur quelconque de t. Gela a lieu si pour chaque valeur de t

9{ — at)= — ty (-f-a/) (4 a)

9{l ai) = — $ (/ -h ai) (4 6)

Posons dans la première équation at = — v, dans la seconde l-\- at = — v, nous avons

d'où

9(2/ +• ttf = - ■ « v)

La fonction cp est donc périodique; quand l'argument croît de 2/, elle reprend la même valeur. Il en est de même de ^.

ây

2° Pour t = 0, -r^r doit être nul entre les valeurs x = 0 et a? = /. Il

dû (y)

s'ensuit que, si nous désignons —^ par <]/, en égalant à 0 la valeur de j tirée de l'équation (4), on a

En intégrant par rapport hx :

Et comme ni y ni -| ne changent si nous ajoutons à cp ou si nous retranchons de <\> la même constante, celle-ci, G, est complètement arbitraire; nous pouvons la supposer nulle, et écrire

3° Enfin, comme au temps t = 0, entre x = 0 et x = /, la seule quantité

y = 9(0:) -f- ty[x) = 2?(.r)

doit avoir la valeur représentée dans la figure 18 A, les ordonnées de cette figure, égales à la valeur de 2cp (x) et de 2^ (x), restent comprises suivant l'équation (5) :

entre x = 0 et x = l

x =21 et x =Zl x =kl et x =il etc.

Gomme, au contraire, de (4 a), (4 b) et (5) on tire cp ( — t;) = — cp (y) et cp (— v) = et» (/ -f- y), la valeur de 2cp (x) est donnée par la courbe (fig. 18, G) :

entre x = — / et z = 0

# = — 3/ et x = — 2/ et de même entre x = / et « = 2/

entre a; = 3/ et z = 4/

etc.

Les fonctions cp et ^ sont donc parfaitement déterminées, et, en faisant avancer en sens opposé, avec la vitesse a les deux lignes d'ondes,

on obtient les formes des cordes données dans la figure 18, qui représentent les modifications de la forme au bout d'un douzième de la durée de vibration.