DE L'ORIFICE

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La théorie delà vibration par influence de la corde peut très-bien se déduire de l'expérience décrite p. 77. Nous conservons les notations adoptées dans le supplément II, et nous admettons que l'extrémité de la corde, pour laquelle x = 0, soit attachée à la tige du diapason, et que celle-ci lui communique un mouvement donné par l'équation

y = A sin mt pour x = 0.

Supposons l'autre extrémité appuyée sur le chevalet qui repose sur la table d'harmonie. Le chevalet est soumis à l'action des forces suivantes :

1° La pression de la corde qui tantôt augmente, tantôt diminue selon l'angle que fait la portion terminale de la corde dans le voisinage du chevalet. La tangente de l'angle formé par la direction variable de la

corde et la position d'équilibre, est ■- et, par conséquent, nous pouvons poser la partie variable de la pression égale à

pour la valeur x = l si le chevalet est placé du côté des y négatifs.

2° L'élasticité de la table d'harmonie qui tend à ramener le chevalet à sa position d'équilibre ; nous pouvons l'écrire — f2y.

3° La table d'harmonie qui se meut avec le chevalet, éprouve de la résistance de l'air auquel elle abandonne une partie de son mouvement, nous pouvons supposer cette résistance de l'air à peu près proportionnelle à la vitesse de son mouvement, et, par conséquent, égale à — g2 j.*

Nous obtenons donc pour le mouvement du chevalet dont la masse est M, et, pour le mouvement correspondant de l'extrémité de la corde qui s'appuie sur lui :

fy dt* "

(fia)

SUPPLÉMENT III. i95

Pour le mouvement des autres points de la corde, nous avons, comme dans le supplément II, la condition

lX^~S^ (1)

Comme tout mouvement d'une corde de cette nature se communiquera en partie à l'air renfermé dans la caisse de résonnance, il s'éteindra nécessairement s'il n'est entretenu par quelque cause persistante. Nous pouvons donc faire abstraction de l'état variable du mouvement initial, et rechercher le mouvement périodique qui s'établit et persiste sous l'influence de l'ébranlement périodique imprimé à l'extrémité de la corde par le diapason. Il est évident que la période du mouvement de la corde doit être égale à la période de vibration du diapason. L'intégrale de l'équation (1), que nous cherchons, sera donc de la forme

y = D cos (px) sin (mt) + E cos (px) cos (mt) ) -+- F sin (px) sin {mt) + G sin (px) cos {mt) j (7^

Pour satisfaire à l'équation (1) il faut que l'on ait

De Téquation (7) on tire, pour x = 0, la valeur suivante de y

y = D sin [mt) + E cos (mt), d'où, parla combinaison avec l'équation (6) :.

Les deux autres coefficients de l'équation (7), à savoir F et G, doivent être déterminés au moyen de l'équation (6 a). Celle-ci, par la substitution de la valeur de y tirée de (7), se divise en deux équations, en égalante zéro la somme des termes multipliés par sin {mt) et la somme des termes multipliés par cos {mt). Ces deux équations sont :

¥[(p — Mm2) sin pi + pS cos pi] — Gmg% sin pi \

= — A[(p — Mm2) cos pi— pS sin pi] > (8 a)

Fmg* sin pi + G[/2 — Mm2) sin pi + j»S cos pi] = — Ag*m cos pi )

En posant, pour abréger

(/2 Mw2)2 + p2S2 =C2 )

on obtient les valeurs suivantes pour F et G

A Ç2 sin ? (ni + k) + fl^m2 sin 2 (pi) F ~~ 1' C2 sin2 {pi + h) + 9um2 sin2 [pi)

Crngî sin k G = — A c2 sin2 (pi + *H- mV sin'2 (PO '

Si on désigne par I l'amplitude de la vibration de celle des extrémités qui repose sur le chevalet et met en mouvement la table d'harmonie, on a, d'après l'équation (7)

12 = [F sin pi 4- A cos pi]* + G2 sin *pl, et, en substituant les valeurs de F et de G, tirées de (8 c)

AC sin k ]

"" VC2 sin2 (pi + k) + »»V sin2 (PO ' S ^

Le numérateur de cette expression est indépendant de la longueur de la corde. En changeant cette longueur, on ne peut modifier que le dénominateur. Sous le radical, on a ici la somme de deux carrés, qui ne peut être nulle, caries quantités m, g, p, s et par conséquent k, ne peuvent devenir nulles. Il faut, en tout cas, considérer le coefficient g de la résistance de l'air comme infiniment petit. Par conséquent, le dénominateur atteint son minimum et I son maximum, quand

sin {pi + k) = 0 ou si

pi — an— k (9 a)

où a désigne un nombre entier quelconque. La valeur maxima de I est

Im =

IMy*

Elle est donc, toutes choses égales d'ailleurs, d'autant plus grande quegr le coefficient de la résistance de l'air, est plus petit, et que G est plus grand. Pour pouvoir déterminer de quelles circonstances dépend la valeur de C, substituons la valeur de p2 tirée de (7 a) dans la seconde des équations (8 b) qui définit la valeur de G et posons en outre

on a

C2 = M2 (n2 — m2)2 + S[xm2.

La quantité n représente le nombre de vibrations qu'exécuterait le chevalet en 2 w secondes, sous la seule influence de l'élasticité de la table d'harmonie, si la corde et la résistance de l'air faisaient défaut; m représente le même nombre de vibrations pour le diapason. On petit donc écrire le maximum de I :

î— £vM,-S),+ibi'

où tout est ramené aux forces M, S, [/. et à la grandeur de l'intervalle

Il est donc avantageux de donner une assez grande valeur au poids du chevalet M. Aussi, l'avais-je construit en laiton. Si M devient très-grand, K (d'après 8 b) devient très-petit, et l'équation (9a) montre alors que les différents sons de plus forte résonnance se rapprochent d'autant plus des valeurs qui correspondent à la série des nombres entiers simples. Plus le chevalet est lourd, mieux la corde est déterminée.

Les règles données ici sur l'influence du chevalet ne s'appliquent qu'au cas où la corde est ébranlée au moyen d'un diapason, et non aux autres modes d'ébranlement.