PHASES DES ONDES QUI PRENNENT NAISSANCE DANS LA RÉSONNANCE
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Supposons qu'on approche un diapason de l'orifice d'un tuyau de résonnanceet que l'oreille de l'auditeur se trouve à une distance du tuyau, très-grande par rapport aux dimensions de l'orifice. J'ai démontré (*), que si un point sonore se trouve au point B d'un espace en partie limité par des parois solides, et en partie libre, le mouvement sonore en un autre point A du même espace est le même comme intensité et comme phase, qu'il serait en B, si le point sonore était en A. Soient B la position du diapason (ou, plus exactement, de l'extrémité de l'une de ses branches), A celle de l'oreille. Le mouvement de l'air qui se produit lorsque le diapason se trouve près de l'orifice, n'est pas facile à bien déterminer, mais (p. 47 et 48 du mémoire cité) j'ai déterminé le mouvement pour le cas où le diapason est très-loin. Supposons donc le diapason transporté à la place de l'oreille en A, nous avons à déterminer le mouvement sonore au point B près de l'orifice. Ce mouvement se compose de deux parties dont l'une (son potentiel représenté dans le mémoire par O), correspond au mouvement qui se produirait si l'orifice du tuyau était fermé ; dans le cas présent, elle est trop petite pour pouvoir être perçue ; l'autre partie, désignée par W, a, d'après les notations employées, clans l'espace libre, et à quelque distance de l'orifice, la valeur [p. 38 du mémoire, équation (12 h)] :
(Q est la section du tuyau, p la distance du centre de l'orifice, n le nom-
2lî
bre de vibrations, y la longueur d'onde). Le mouvement, à une distance infiniment petite r du point sonore A, est donné par l'équation :
et c'est, si nous désignons par ri la distance du point imaginaire sonore A au centre de l'orifice du tuyau, d'après (16 c) et (13 a) du mémoire cité :
— tang^/'i + c =tangT2 = — — = T—i 2 a)
(/ la longueur du tuyau, a une constante qui dépend de la forme de l'orifice) et enfin on a (16 c, 13 a) la valeur désignée par I :
(•) Journal fur reine und angewandte Mathematik, Bd. LVII, S. 1 bis, 72. Théorie der Luftschwingungen in Rohren mit offenen Enden.
d'où il suit
j = H2ft sin [kl) __ ^ fc»sin(&/) »*i ~~ '?« sin t2
j H ^ 2ft sin (&g , A» sin (A;/)
^1 ~ ~ ^ 2tc sin x2'
d'où il suit: a - ± h 4k sin T» 1 #«
Le signe ± doit être déterminé de manière que les constantes A et H aient le même signe ; par suite t2 doit être compris entre 0 et *.
Ici l'intensité de la résonnance A est exprimée par l'intensité du point sonore H, la section du tuyau Q, la distance ri du point sonore à l'orifice et la quantité t2. La différence de phase entre les points A et B, est d'après l'équation (1), (2) et (2 a) :
7r~ — kç> -\- c = tc — kp — At, — x2.
Mais la quantité kç, pour la distance du point B au centre de l'orifice que nous pouvons admettre, peut être considérée comme infiniment petite, en sorte que, dans l'affaiblissement du son que nous obtenons en éloignant le diapason de l'orifice du tuyau, la phase n'est pas modifiée d'une manière appréciable. Si nous faisons varier, au contraire, le ton du diapason, dans l'expression de la phase, il n'y aura de modifié que la quantité^ qui dépend de kl d'après l'équation (2 a); et il correspond toujours aussi une variation dans la force de la résonnance, parce que, dans son expression, équation (3), sin x2 entre comme facteur. La
plus forte résonnance se produit si sin t2 = 4 , d'où t2 = *• Appelons j*
ce maximum de résonnance, on a
4ttH
kQr
et, lorsque le tuyau est accordé dans d'autres tons, pourvu que la section reste la même
SU) Ta = *
Pour savoir si l'angle t, doit être pris plus grand ou moindre qu'un droit, on cherche si, dans l'équation (2 a) la valeur de
/t2Q sin /c/cos/ert tang t2 = - 27CCOsA(, + a)
est positive ou négative. Comme k, Qetcos ka sont constamment po-
sin kl
sitifs, la valeur de tang t2 dépend du facteur ^^j- Sicosà;(/ +*) = 0, c'est le maximum de la résonnance ; si sinÂ7 = 0, c'est le minimum. C'est donc t, < -, si en allongeant le tuyau on approche d'un mini-
raum de larésonnance, et t2 >> ^ si l'on approche d'un maximum. Dans les applications, le tuyau est toujours assez voisin d'un maximum de résonnance, et par conséquent, r2 << -t si le tuyau est accordé trop bas,
et t2 >> \ s'il est accordé trop haut.
Si, en faussant le tuyau, on rend A2 = - ^ on modifie de - la phase
de la vibration. On peut donc toujours au moins estimer la modification opérée dans la phase, d'après la variation de force de la résonnance.
On trouve une loi semblable pour les phases des diapasons vibrants, comparées à celle du courant excitateur. Pour simplifier, je vais me borner ici à considérer un seul point vibrant, sans cesse ramené à sa position d'équilibre par une force de l'élasticité. Soit x la distance du pointa sa position d'équilibre, soit a2x cette force d'élasticité. Supposons déplus une force périodique comme celle produite dans nos expériences par le courant électrique, dont la valeur soit A sinn^, et une force tendant à étendre les vibrations, dont la valeur, proportionnelle à la
dx
vitesse est égale à — b2 — • Une force semblable se produit dans nos
expériences, par le frottement et la résistance de l'air, mais surtout par l'action des courants induits des diapasons courants qui contribuent principalement à éteindre les vibrations. Si m désigne la masse du point vibrant, on a
m -r— = — a?x — 62 — - + A sin nt- (4)
dt* dt v '
L'intégrale complète de cette équation est
A sins x =
ht i t |
sin(nt — e) + Be 2m sin - y/a%m — 1/4 624- c > (4 a)
6*n OÙ
QZ mH
tang£ = + :^r- — r "(46)
Le terme multiplié par B dans l'équation (4 a) n'exerce d'influence
ht qu'au début du mouvement ; à cause du facteur e 2^ il décroît de
plus en plus quand le temps croît de manière à disparaître définitivement. C'est de l'existence de ce terme au début du mouvement que proviennent les battements dont il est question dans le supplément Vil, lorsque la quantité n diffère peu de
— Ua*m — m y 4
Le terme de l'équation (4 a) multiplié par A correspond au contraire a la vibration durable du point matériel. La puissance vive i* de ce mouvement est égale au maximum de - m p)' c'est-à-dire
•2 "<A2 sin2 s
Si maintenant on fait varier la hauteur du son excitateur, c'est-à-dire n, * atteint son maximum que nous désignerons par 1\ quand
sin2 e = 1 ou tarie; g = H- x> •
d'où . '
Nous pouvons, par conséquent, écrire
î> = P sin2 £. (5 a)
; ' La même quantité e détermine donc dans l'équation (4 a) la différence de phase entre les élongations périodiquement variables x du point matériel, et les valeurs variables de la force, comme dans l'équation (5 a) l'intensité de la résonnance.
La condition que tang s = ± x sera remplie, si
Désignons donc par N la valeur de n qui correspond au maximum de la vibration par influence, on a
Ce son de plus forte résonnance est égal à celui que rendrait le point matériel considéré, s'il entrait en vibration sous la seule influence de la force d'élasticité, sans frottement ni ébranlement étrangers. Aussi diffère-t-il un peu du son propre du corps, celui qu'il rend sous l'influence du frottement et de la résistance de l'air, dont la hauteur v est donnée dans le second terme de l'équation (4 a) :
Si 0 = 0, c'est-à-dire si le frottement et la résistance de l'air s'évanouissent, on a
Maintenant dans toutes les circonstances de la pratique où nous ob-
servons le phénomène de la vibration par influence, b est infiniment petit, en sorte que la différence entre le son propre du corps et le son de plus forte résonnance peut être négligée comme elle l'a été dans le texte de l'ouvrage. L'équation (4 b) devient par la substitution de N
tan g e = — — — • (5 c)
RELATION ENTRE L'INTENSITÉ DE LA VIBRATION PAR INFLUENCE ET LE TEMPS QUE LE SON MET A S'ÉTEINDRE.
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Nous pouvons conserver les notations adoptées dans le supplément VIII pour le mouvement d'une masse ramenée à sa position d'équilibre par une force d'élasticité. Si une masse de ce genre est ébranlée par une force périodique extérieure, son mouvement est donné par l'équation (4 a). En supposant nulle l'intensité A de cette force, l'équation se réduit à
bt
x = Be 2m sin {vt + c)
OÙ
La valeur de x décroît déplus en plus à cause du facteur qui contient t en exposant. Mesurons *, comme dans le texte, d'après le nombre des vibrations du son de plus forte résonnance et posons à cet effet
Si nous désignons par L la force vive des vibrations au temps t = 0 et par /, celle au temps t, on a
L = BV
d'Où i-=e-^T
et T = Jlognat. g) (6*,
Dans le tableau, p. 179, on a supposé - = jet calculé d'après cela
SUPPLÉMENT IX. 5l!J
la valeur de T après avoir préalablement déterminé la valeur de a au moyen de l'équation (6). Mais, dans cette dernière, on a pose" sin2 ê = -, ce qui correspond à la condition que l'intensité du son rendu
par le corps vibrant par influence atteigne le fo de son maximum, et pour le rapport S 0n a mis les rapports numériques correspondant aux intervalles donnés dans la première colonne du tableau. C'est ainsi qu'on a calculé la valeur de p.
Nous pouvons écrire l'équation (4 b) du supplément YIII :
tang s =
mN (
Dans cette équation, N qui donne le son de plus forte résonnance, b* qui détermine l'intensité du frottement et la masse m peuvent varier pour les différentes fibres de Gorti. Il faut donc, pour appliquer à l'oreille les résultats précédents, considérer b2 et m comme des fonctions de N. Comme le degré de dureté des petits intervalles dissonnants est sensiblement le même dans toute la gamme pour les mêmes notes, on peut admettre que, pour les valeurs égales de H, la quantité tang s reste à peu près constante, et, par suite, que la quantité — = -p est assez indépendante de la valeur de N. On ne peut pas arriver à quelque chose de plus précis sur ce sujet. Aussi, dans les calculs qui suivent, a-t-on considéré p comme indépendant de N.
NOUVELLE THÉORTE MATHÉMATIQUE DES SONS RÉSULTANTS. (Extrait du mémoire original.)
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Le principe, admis en acoustique, de la superposition pure et simple des petits mouvements vibratoires, n'est rigoureusement vrai que dans le cas où les vibrations pendulaires composantes sontassez petites pour que les forces motrices produites par les déplacements soient sensiblement proportionnelles à ces déplacements eux-mômes. Si, au contraire, les amplitudes des vibrations sont assez grandes, pour que le carré des déplacements puisse exercer une influence notable sur la valeur des forces, il se développe un nouveau système de mouvements vibratoires simples dont la durée correspond à celle des sons résultants que Von connaît.
Le cas le plus simple est celui où nous n'avons à considérer que les mouvements d'un seul point matériel, retenu par une force d'élasticité dans une position d'équilibre déterminée, et ébranlé par les ondulations du milieu élastique ambiant ; c'est assez semblable à ce qui se passe dans l'oreille. Le point matériel correspond au manche du marteau ; la membrane du tympan, à un ressort élastique qui tend à le ramener dans une position déterminée.
Soient m la masse du point vibrant et x sa distance de la position d'équilibre au temps t. Supposons que la force k qui tend à le ramener dans sa position d'équilibre dépende non-seulement de la première, mais aussi de la seconde puissance de l'élongation, de telle sorte que :
k = ax -+■ &c2.
En outre, deux systèmes d'ondes sonores peuvent rencontrer le point matériel, et exercent sur lui des pressions périodiquement variables / sin (pt) et g sin (qt-\-c). L'équation du mouvement est donc
d^x — m -jtçl = ax + 6#2 + f sin (pt) + g sin (qt -f- c). (t)
On peut donc intégrer par, séries cette équation en posant
x= zx1 -\- £2#2 + &%x& + etc. (2)
f=Efi\ (2 a)
et en égalant séparément à zéro les termes multipliés par les mêmes puissances de e. Donc
aXi + m ~W == """ h sin ^ ~~ 9l sin {qt + c) (3 ^
ax2 + m -jj£ = — Lxf (3 6)
axz + m (—?£ = — 2teiffl (3 c)
etc.
L'intégrale complète de l'équation (3 a) est :
xx = A sin l t U± + h \ + u sill ^ j v sin (qt + cj
où A et h sont les deux constantes d'intégration, et u et v ont les valeurs suivantes :
u = - * et v = mqi— a •
mp* — a '
Le premier terme x{ de la série (2) correspond donc à trois sons dont le premier a un nombre de vibrations représenté par - t/-, et cor-
respond au son propre du point vibrant. Ce son existe, il est vrai, au début du mouvement, mais il s'éteint rapidement. Nous pouvons donc le supposer nul dans le cas qui nous occupe et avoir alors :
xt es u sin pt 4- y sin (qt + c).
Ce premier terme nous fait voir que le point vibrant rend d'abord les deux sons excitateurs. Ce terme serait le seul de la série, si la force ne dépendait pas du carré de la distance, si b était nul, ou x assez petit pour que bx* fût négligeable devant ax. Dans ce terme se trouve encore la superposition pure et simple des vibrations. Les amplitudes u et v restent les mêmes, que le second son existe ou non.
En substituant dans (3) la valeur de x, tirée de (4) on a :
d°°* + m ~dt^ = — bW si"2 (Pt) + v2 sin2 (qt + e)
+ 2wv sin (pt) cos [qt + c)]
= — M lz ("2 + v«) - I u*
cos (îpt)
— - v2 cos {2qt + 2c) + «v cos [ip - q)t — c]
— uv cos [{p + q)t + c\ ] .
L'intégrale de cette équation est la suivante, en négligeant encore le son propre du point vibrant :
X* + ~ 17, f u°* + v') ~ 'TT^T î cos (W - ^T^T- : cos 2(7* + c)
<la 2i,4////j2 — a) ^r 2(kmqï — a) 7 y
■ bu\ buv
+ m{p-q}*-aco* t(P - l>'-<3 +w(p + g)»-aC0»KP + ^ + c]. (5)
Ce second terme fournit donc les sons dont les nombres caractéristiques sont—, -, ^-^j - — q. Les deux premiers sont l'es premiers har-
moniques des sons primaires, le troisième est le son résultant différentiel du premier ordre, et le quatrième le son résultant additionnel du premier ordre. L'amplitude des deux sons résultants contient en facteur le produit uv des amplitudes des sons primaires. Si ces deux dernières sont très-petites, l'amplitude des sons résultants est une quantité du second ordre, et croît en raison composée de u et de v. Il en résulte cette conséquence d'accord avec l'expérience, que, si les sons primaires sont très-faibles, les sons résultants doivent être inappréciables ; si, au contraire, les sons primaires sont forts, les sons résultants doivent croître dans une proportion plus forte.
Si le son propre i/f. du point vibrant est plus grave que (p — q),
comme on peut le supposer dans la plupart des cas, pour le tympan et les osselets qui s'y rattachent, et si les intensités u et v sont assez voisines,
c'est le son (p — g) qui, dans #2, aura la plus grande intensité; il correspond au son résultant grave ordinaire.
Le troisième terme de la série xz contient les sons 3p, 3^, %p-\-q, p-\-2q,p — 2§s p etq. Parmi eux 2p — q et 2q — p sont les résultants du second ordre, d'après la notation d'Hallstrœm. Leur amplitude est un infiniment petit du troisième ordre. Le nme terme de la série donne les sons résultants du n — lme ordre, dont l'amplitude est un infiniment petit du nme ordre. ♦
L'analogie permet aisément de conclure qu'il en est de même d'un système de points matériels.
De l'hypothèse sur la valeur de la force motrice, que nous avons considérée plus haut comme égale à
k = ax + &r2,
il résulte que, x changeant de signe, k change non-seulement de signe, mais de valeur absolue. Cette hypothèse ne convient donc qu'à un corps élastique, non symétrique dans le sens des déplacements positifs et négatifs ; ce n'est que dans ce cas que le carré de l'élongation peut exercer une influence sur le mouvement et produire les sons résultants du premier. Parmi les éléments constitutifs de l'oreille humaine, le tympan se distingue particulièrement par son défaut de symétrie, en ce qu'il est fortement tiré vers l'intérieur par le manche du marteau ; aussi crois-je pouvoir émettre l'opinion que c'est cette forme particulière du tympan qui permet la production des sons résultants.
Il résulte de la démonstration précédente que les sons résultants peuvent prendre naissance en dehors de l'oreille, peuvent avoir une existence objective. (Voir, dans le texte, la démonstration expérimentale.)
Dans les recherches mathématiques sur le mouvement vibratoire de l'air, on ne considère, en général, que les termes des équations qui contiennent les premières puissances des élongations des molécules et on néglige les autres. En conservant les termes qui contiennent la seconde puissance, on trouve :
1° Que tout point de la masse d'air, où les vibrations d'un seul des deux sons primaires sont assez énergiques, devient le centre de nouveaux systèmes d'ondes secondaires, correspondant aux harmoniques du son considéré ;
2° Que tout point de la masse d'air où les vibrations des deux sons primaires atteignent simultanément une intensité suffisante, devient le centre de nouveaux systèmes d'ondes secondaires correspondant aux sons résultants de différents ordres, par somme ou par différence.
Nous devons donc nous attendre à la formation de sons résultants dans l'air, lorsque les deux centres des deux systèmes d'ondes primaires sont assez voisins pour que la masse d'air intermédiaire soit fortement ébranlée parles deux sons. (Voir, dans le texte, le cas de l'harmonium.)
DESCRIPTION DU MÉCANISME QUI PÊRMKT D'OUVRIR LES D.FFERENTES SÉRIES DE TROUS
