NOMBRE DES BATTEMENTS

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On a vu, dans le huitième chapitre, qu'un système simple de battements ne peut prendre naissance que par la coïncidence de deux sons simples. Supposons que la vitesse produite par l'un d'eux en un point donné de l'espace, par exemple, sur le tympan soit A sin [2i:mt] et celle produite par l'autre B sin [2iznt -f- c] ; la vitesse due à l'action simultanée des deux sons au même point sera :

V = A sin {iTzmt) -\- B sin [îrcnt + c].

En substituant dans le second membre la valeur

on obtient, d'après les formules connues,

et, en posant

V := j A + B cos [2<m - n)t — c] ! sin [2nmt] — B sin \2iz{m — n)t — c] cos[2izmt)

C cos s = A + B cos [27u(m — n)t — c] ) C sin e = B sin (27r(m — n)t — c] j

on peut mettre l'expression de V sous la forme

V = C sin [2nmt — s]

où, parla combinaison des équations (2),

(la)

G2 = A2 H- 2AB cos [2ic(m — n)t — c\ + B8 (2 a)

B sin \ïiz(m — n)t — à] A+Bcos[2ir(m — »>f— c] l '

Maintenant, si la différence m — n est petite, G et s sont des variables périodiques à longue période; C2 varie entre les valeurs (A + B)2 et (A — B)2. L'are s, si A est > B, ce qu'il faut toujours supposer dans ce qui va suivre, varie entre deux valeurs dont la différence est moindre que la demi-circonférence.

Dans ces conditions-là, nous pouvons considérer l'expression (1 b) comme celle d'une vibration pendulaire d'intensité C et de phase e variables. Le nombre des maxima d'intensité par seconde est égal, d'après l'équation (2a), km — n, c'est-à-dire à la différence des nombres de vibrations des sons primaires, ce qui démontre d'une manière générale la loi posée, p. 207, pour les sons d'intensité quelconque et de hauteurs différentes.

L'équation (1 b) fait reconnaître encore une variation de la hauteur qui se produit pendant les battements, et que l'oreille peut apprécier en réalité. Il est évident, en effet, que pendant le temps où la phase e croît, la valeur placée sous le signe sinus croît plus lentement que celle correspondant au nombre de vibrations m; au contraire, quand s diminue, la valeur en question croît plus vite que mt et correspond à un son un peu plus aigu. Désignons par dt un temps infiniment petit par rapport à la période des battements (m — n par seconde), mais qui n'en peut pas moins comprendre encore plusieurs périodes du nombre de vibrations m, nous pouvons poser le nombre de vibrations [/. du mouvement représenté par (I b) pendant le temps dt

1 dz l*. — m — — — • r Ztz dt

D'après l'équation (2 b) :

de n , . A cos \1iz[m — n)t — c] + B

dt v ; A24-2ABcos[v7r(m— n)t — cJ-f-B2

d'où

1 rfe m\^-\-(m-\-n)ABcos [2n(m—n)t — c] -f- nB2 , V- — m~ 2^ ~t ~: A2 + 2AB cos [27:1m — n)t — c] + B^

La plus grande et la plus petite valeur de {/. correspondent à cos [2tt {rn — n)t — c] = ±i et, par conséquent, au temps où l'intensité C2 atteint aussi ses valeurs limites. Les limites de [/. sont :

1° Au maximum de l'intensité

rraA+nB [m — n) B

fX = -4+B~ = W" A+B *

Ici la hauteur est intermédiaire entre celles des deux sons primaires, et se rapproche d'autant plus du son le plus fort, que l'intensité relative .de celui-ci est plus considérable.

2° Au minimum de Fintensité

mk — «B Im — n) B

La hauteur est ici supérieure à celle du son le plus fort si celui-ci est plus haut que l'autre, et moindre si le son le plus fort est aussi le plus grave.

Si l'on écoute avec attention les battements lents de deux tuyaux d'orgue bouchés ou de deux diapasons, on entend en réalité une variation de ce genre dans la hauteur. Gomme il est difficile de comparer avec certitude la hauteur d'un son très-fort et celle d'un son très-faible, il faut affaiblir tantôt le son le plus aigu, tantôt le son le plus grave. On distingue alors nettement un caractère différent dans les battements, comme une accentuation différente des maxima et des minima, qui tient à ce que c'est tantôt la phase supérieure, tantôt la phase inférieure qui présente le plus d'intensité.