CHAPITRE II
Calcul des Attractions
$ i. - Les attractions sont indépendantes de la loi suivant laquelle sont réparties les cordes de l’oreille.
Nous avons admis que le nombre des vibrations fondamentales des cordes de l’oreille allait en croissant, d’une corde à la suivante, d’un bout à l’autre de la série, de gauche à droite. On a vu d’autre part que les attractions, telles qu’elles ont été définies au chapitre I, § 6, ne dépendent que de la position des empreintes et des points neutres du son, relativement aux fenêtres du pivot. Cette position relative ne dépend pas de la loi de répartition des cordes, pourvu que la continuité soit respectée. Les attractions ne dépendent donc pas de cette loi.
On pourrait admettre, par exemple, une loi de répartition telle que les empreintes comportent, entre elles, des écartements égaux aux intervalles correspondants. Les empreintes successives, conformément à la remarque faite au chapitre I, § 12, seraient placées à des distances de la première marquées par: Log. 2, log. 3, log. 4, etc. Les déplacements mélodiques des sons correspondraient alors à une translation de tout le système d’empreintes. Les points neutres seraient placés à des distances de l’empreinte n° 1 marquées par : Log. -4-, log. -4-, log. —log. etc. Ces empreintes et ces points neutres seraient disposés comme sur la figure (17).
Malgré certains avantages qui pourraient résulter de cette combinaison, nous en adopterons une autre qui se prêtera mieux au calcul des attractions.
§ 2. — Tracé des empreintes le plus propre au calcul des attractions.
Nous admettrons que les cordes de l’oreille sont disposées de manière
<[ue leur distance à un point fixe soit proportionnelle à la durée de la vibration fondamentale de chacune d’elles. Comme le nombre des vibrations fondamen¬
tales est en raison inverse de leur durée, on peut encore dire que les cordes de l’oreille sont réparties de manière que leur distance à un point fixe soit en raison inverse du nombre des vibrations fondamentales de chacune d’elles. Si les cordes de l’oreille avaient toutes la même grosseur et la même tension, on matérialiserait notre hypothèse en disant que les extrémités de ces cordes posent sur deux droites ox et oy , qui convergent en un point (9, conformément à la figure 18). La ligne a b représenterait une de ces cordes.
On sait que le nombre des vibrations fondamentales des cordes qui forment les empreintes d’un même son, est en raison inverse du numéro d’ordre de ces empreintes, il en résulte que les empreintes d’un même son sont équidistantes.
Soit D la distance à l’origine d’une corde de l’oreille comportant N vibrations fondamentales, on aura, d’après ce qui précède, C étant une constante :
Cette corde forme l’empreinte n° 1 du son de N vibrations. Cherchons quelle est la distance à l’origine de l’empreinte d’ordre K . Cette empreinte portant sur une corde qui a vibrations fondamentales, il vient :
CK
L’équidistance des empreintes est égale à Z), soit à , c’est-à-dire qu’elle est en raison inverse du nombre des vibrations, ou bien qu'elle est proportionnelle à sa durée.
Le point neutre, entre deux empreintes consécutives, pose sur une corde dont la durée de vibration fondamentale est la moyenne de celle des cordes des empreintes adjacentes. Ce point neutre est donc au milieu de l’espace qui sépare deux empreintes consécutives. L’origine 0, dans la figure 18 , est formée par une corde de longueur nulle. On doit la considérer comme une empreinte d’ordre O , en faisant K— O dans l’expression ci-dessus donnée pour D k . Cette empreinte d’ordre O est commune à tous les sons.
§ 3. — Compartiment d’un intervalle.
Soit à considérer un intervalle p et q étant premiers entre eux,
et soient : N le nombre des vibrations du son,
A 71 le nombre des vibrations du pivot,
il le nombre des vibrations du son qui correspond au support réel, 7 i\ le nombre des vibrations du son qui correspond au support virtuel, Les équations ( 10 ) et ( 14 ) ont donné :
N* = qn Ni = p qn
Cela signifie que, si l’on prend pour unité l’équidistance des empreintes du support réel, les équidistances des autres sont respectivement :
pour le support virtuel — —
pour le pivot ——
pour le son -jj-
Considérons par exemple l’intervalle = (-|-), les empreintes
respectives, du son, du pivot et des supports réels et virtuels doivent être tracées, comme sur le schéma (19)
Support virtuel
11 Ml ! Il
Son . . .
Iî5‘ I ' 1 •
1 • 1 ' ImT
p tvot .
Support réel .
La première ligne comprend les empreintes du support virtuel, la seconde celles du son, la troisième celles du pivot et la quatrième celles du support réel. Les points neutres de chacun des sons se trouvent au milieu de l’espace entre deux empreintes consécutives. Nous les avons représentées par des points, seulement pour le pivot et pour le son.
On observe que les empreintes du support réel, quatrième ligne, divisent le schéma en une infinité de compartiments identiques qui ne diffèrent entre eux que par le numéro d’ordre des empreintes et des fenêtres. On pourra donc se borner à ne tracer qu’un seul compartiment. Quant aux numéros d’ordre des empreintes et des fenêtres, on les marquera sur des lignes différentes pour chaque compartiment, conformément au schéma 20), dont il sera possible d’augmenter l’échelle. Nous nous dispensons de reproduire les
empreintes du support vi attractions.
rtuel,
qui
ne sont
pas
utiles, pour le calcul <
<- troisième compartiment
*<- deuxième compartiment
Son donné |
' ' Pivot donné |
«<— Premier compartiment
■<— Premier compartiment
*<— deuxième compartiment
-<- troisième compartiment
Nous nous sommes borné à figurer les points neutres du son, ce sont les seuls
qui interviennent pour indiquer les attractions que donnent chacune des fenêtres du pivot.
Le tracé de cette figure (20) forme ce que nous appelons le compartiment d’un intervalle. Les attractions constatées y sont figurées par les flèches « et b. Les premières proviennent, dans les compartiments successifs des fenêtres 2, 5, 8, etc. ; elles s’exercent sur les empreintes, 3, 8, 13, etc. Elles contribuent donc à faire passer l’intervalle donné (-§-) à :
Les attractions b contribuent à faire passer l’intervalle (-—) aux valeurs suivantes :
Les compartiments d’un intervalle portent un numéro d’ordre. En passant d’un compartiment au suivant, les numéros des empreintes homologues augmentent de 5 unités, ceux des fenêtres de 3 unités.
Il est facile de généraliser pour un intervalle quelconque (-—-j.
On doit remarquer enfin que le tracé d’un compartiment est toujours symétrique. Les attractions se présentent donc toujours deux à deux symétriquement et en sens inverse. Les unes tendent à faire croître les intervalles, les autres à les faire décroître.
§ 4. — Abaque.
Soit à considérer l’intervalle ). Je prends une certaine longueur M iV, figure (21), longueur que j’adopte pour celle du compartiment de l’intervalle considéré. Sur la ligne Z?, je divise cette longueur en 5 parties égales; sur la ligne C, je divise la même longueur en trois parties égales. Les lignes B et C forment les empreintes et les fenêtres d’un compartiment de l’intervalle donné (—£-).
Traçons, d’autre part, sur la figure 22), deux lignes perpendiculaires, ox et O?/, sur lesquelles nous portons des divisions égales numérotées à partir du
point O. Le point A, dont l’abscisse est 5 et l'ordonnée 3, correspond à l’intervalle Les verticales qui passent par les points de division de OX partagent la ligne OA en 5 parties égales. Les horizontales qui passent par les points de division de O Y partagent la même ligne OA en 3 parties égales. La ligne OA peut donc être considérée comme formant un compartiment de l’intervalle Les points de division signalés sont les empreintes et les fenêtres. Quant aux points neutres du son, ils sont à l’intersection des verticales ponctuées intercalées à mi-distance des autres verticales. Les attractions marquées a et b sur la figure (21) correspondent à celles marquées des mêmes lettres sur la figure 22), figure que nous appelons abaque des attractions. L’intervalle (—j-) correspond à la pente de la ligne OA sur OY. Les intervalles vers lesquels on est conduit, correspondent au sommet de l’angle droit des petits triangles rectangles a et b . Ces attractions correspondent au premier compartiment. On obtiendrait celles des compartiments suivants, en prolongeant OA jusqu’en A\ 4” A’”, etc. Les attractions correspondent, dans tous les cas, à de petits triangles rectangles constitués par les verticales et les horizontales continues de l’abaque et par la ligne OA, A’, A”, A’”, etc., triangles qui ne sont coupés par aucune ligne verticale ponctuée et qui sont : <?, b ; a\ b ’ ; a \ b ” ; ; etc. On constate que les attractions des compartiments suc¬
cessifs amènent l’intervalle donné ) aux valeurs suivantes :
D’une manière générale, quand on peut passer, par attraction du premier compartiment de l’intervalle (-Jj—j à l’intervalle l'attraction homo¬
logue, dans le compartiment d’ordre AT, conduit à l’intervalle
Tous les points du quadrillage de l’abaque qui sont sur la bissectrice des axes OX et O T, correspondent à l’unisson. Cette bissectrice correspond
donc au pivot, tandis que la ligne OA, A', etc. correspond au son qui forme avec le pivot l’intervalle (-§-). Les points situés dans l’angle de la bissectrice avec OX correspondent à des intervalles positifs ; ceux qui sont dans l'angle de cette bissectrice avec OY correspondent à des intervalles négatifs.
On peut résoudre, au moyen de l’abaque, la plupart des problèmes relatifs aux attractions. Posons-nous, par exemple, la question suivante : Quels sont les intervalles qui peuvent conduire le son, par attraction, à l’intervalle (-L-) ? s
Pour qu'une attraction puisse conduire à l'intervalle (-§-), il faut que la ligne de base de l’intervalle cherché détache, avec l’horizontale et la verticale du point A, un triangle rectangle qui ne soit coupé par aucune ligne ponctuée. La ligne de base doit donc se trouver comprise entre les deux lignes qui joignent le point O aux points m et n.
La pente de O m est
La pente de O n est
, sur o y
Les intervalles cherchés sont compris entre ces deux limites, c’est-à-dire
©Ki© - © - ©
Si, au lieu de l’intervalle on était parti de l’intervalle (-q-), 1 ex -
pression de ces intervalles limites eut été :
■Fl
et
Tout intervalle compris entre ces limites peut conduire à (-£-) par attraction.
g 5. —- Règles pour le calcul des attractions.
i er Problème . — Etant donné un intervalle (-—), à quels intervalles peut-il conduire par attraction ?
Nous allons considérer d’abord les attractions du premier compartiment. Soit une fenêtre de ce premier compartiment, fenêtre dont le numéro d’ordre est Q. On a Q < q. Le problème revient à trouver quelle est l’empreinte P du son qui est la plus voisine de la fenêtre Q .
Prenons pour unité l’équidistance des empreintes du support virtuel ; l’équidistance des fenêtres du pivot sera p , celle des empreintes du son sera g. La fenêtre Q est à une distance de l’origine égale à Qp. L’empreinte la plus voisine sera donnée par le quotient de Qp par q , à une demi-unité près, par excès ou par défaut. Soit P le quotient ainsi obtenu, l’intervalle cherché
L attraction homologue, dans le compartiment d’ordre üf, correspond à la fenêtre
Elle aboutit à l’intervalle déjà cité au paragraphe précédent
Quand le reste de la division — est positif, l’intervalle ) est moindre que l’attraction fait décroître l’intervalle ; quand le reste est
négatif, l’attraction fait au contraire croître l’intervalle.
Lorsque q est pair, il y a une fenêtre au milieu du compartiment. Gomme p et q sont premiers entre eux, p est alors impair. Il y a donc un point neutre du son au milieu .du compartiment. La fenêtre —tombe ainsi sur le point neutre coté . Appliquons la règle précédente à la fenêtre et faisons le quotient -^ --, on trouve
Il #
La fraction donne, à une demi unité près, soit —^— solt
y a donc deux solutions. C’est en effet ce qui devait résulter de la superposition d'une fenêtre et d’un point neutre, avec l’attraction indécise. Le son subit une double attraction et peut se dédoubler.
Lorsqu’un son passe, par attraction, de l’intervalle |-) à 1 intervalle il se déplace de la différence
2 e Problème. — De quel intervalle (-|~) faut-il partir pour aboutir à
l’intervalle donné (-£-) ?
On a vu, au § précédent, que l’intervalle cherché doit simplement satisfaire à la condition d’être compris entre les expressions (23), savoir :
Il y a donc une infinité de solutions. Si on se donne, soit p, soit q, ces inégalités donnent des limites dans lesquelles se meut celui des deux nombres qu’on ne se donne pas, ou bien, elles révèlent, ce qui arrive quelque fois, l’impossibilité de trouver ce nombre.
Applications. — Soit à trouver les attractions qui correspondent à l’intervalle (-jj-), dans le premier compartiment.
Nous formerons un tableau comprenant les indications suivantes :
1° Ordre Q de la fenêtre considérée pour chaque attraction ;
2° Valeur de g q p — ;
3° Quotient P, à une demi unité près, de Q p par q.
4 U L’intervalle (-£-) auquel on aboutit.
5® Le mouvement du son : ( ^y ~)-
Qp
Les intervalles auxquels on aboutirait, en vertu des attractions du second compartiment, seraient :
CvU)-G) (sih-?-) (S9-(f)
— Appliquons le problème inverse (2 e problème) à l’intervalle (-£-) = ( i-)
on a :
et
La condition à satisfaire s’écrit :
Donnons-nous, par exemple, q — 3, on aura
ou
mmam
Les deux valeurs p = 4 et p — 5 répondent donc à la question et les intervalles cherchés sont :
— Appliquons le même problème à (—^-) = (-y - )! on a
la condition à satisfaire s’écrit :
donnons-nous q = 3, on obtient :
— c’est-à-dire
On voit qu’aucun nombre entier p ne répond à la question, il y a impossibilité.
§ 6 . — Intervalles primaires, binaires, ternaires, etc.
Les intervalles sont primaires, binaires, ternaires, etc., lorsque la différence des deux termes de la fraction qui les représente est égale à :
+ 1 , + 2 , ± 3 , etc.
Ainsi
est un intervalle primaire
( ~î—\ esl un intervalle binaire
est un intervalle ternaire ^-1^ est un intervalle quaternaire
Les intervalles primaires correspondent à un déplacement qui s’étend entre deux fenêtres consécutives du pivot. Les intervalles binaires correspondent à la somme de deux intervalles primaires adjacents, lorsque les fenêtres extrêmes sont impaires. Les intervalles ternaires correspondent à la somme de trois intervalles primaires adjacents, lorsque les fenêtres extrêmes ne sont pas multiples de 3 et ainsi de suite.
Les intervalles primaires sont de beaucoup les plus importants.
§ 7. — Formule simplifiée pour les intervalles primaires.
Soit à considérer un intervalle primaire tel que Ton ait :
Nous allons montrer que les attractions croissantes, c’est-à-dire celles qui tendent à faire croître l’intervalle, font aboutir le son à d’autres intervalles, qui ont tous pour valeur l’expression :
dans laquelle, K représente Tordre du compartiment considéré et E un nombre
entier égal ou inférieur à -
Nous montrerons de la même manière que les attractions décroissantes conduisent l’intervalle à la valeur :
K et E ayant la même signification que dans l’expression (27). Quant aux fenêtres opérantes, leur numéro d’ordre est le dénominateur des expressions (27y
et (28).
. Pour démontrer cette proposition, nous appliquerons la formule du premier problème au § 5 ci-dessus :
Qp
= P, à une demi-unité près.
11 suffira d'ailleurs de considérer le premier compartiment, nous en déduirons ensuite ce qui concerne les autres.
Considérons, dans le premier compartiment, la fenêtre d’ordre E , ce nombre étant par hypothèse égal ou inférieur à . On a :
Cette dernière expression peut s’écrire :
la fraction
Comme E est moindre que ou au plus égal à
est égale ou inférieure à -y-. Le quotient P cherché est donc égal à E. On a donc :
Il en résulte que, pour le compartiment d’ordre K, on trouve bien l'expression (28), par application de la formule
obtenue au § 4 ci-dessus.
Considérons de même, toujours dans le premier compartiment, la fenêtre symétrique de £, c’est-à-dire, q — E , et appliquons encore la formule , en faisant Q = q—E et pz=q± 1, on trouve :
Comme E est moindre ou au plus égal à , le quotient P, à une demi unité près n’est autre que p — E. On aboutit donc à l'intervalle :
Cette formule s’applique au premier compartiment. Si on considère le compartiment d'ordre /v, on obtient la formule (28%
On doit remarquer que, pour K= 1 et K = 2, dans les expressions (27) et 28), l’intervalle auquel on aboutit est primaire; pour K = 2, 3, 4, etc., K =3, 4, 5, etc., les deux mêmes expressions donnent des intervalles binaires, ternaires, quaternaires, etc.
— Tout ce qui précède s’applique au problème direct des attractions. Nous allons considérer le problème inverse.
Remarquons que les expressions (27) et 28) sont de la forme :
Cela posé, on se donne un intervalle on demande de trouver
l’intervalle primaire qui peut y conduire.
Soit M la différence de P et Q ; ces deux nombres doivent pouvoir s’exprimer par les termes de l’expression (29), savoir :
Si on attribue à E les valeurs successives 1, 2, 3, 4, etc., jusqu’à ce que le numérateur soit divisible par .1/, on obtiendra les valeurs de pe\.q cherchées. Cependant, pour que ces valeurs soient acceptables, il faut que l’on ait :
c’est-à-dire
ou bien
Si cette condition n’est pas satisfaite, les valeurs de p et de q ne répondent pas à la question, il y a impossibilité.
§ 8. — Qualité des attractions.
— Les attractions sont croissantes ou décroissantes suivant qu’elles tendent à faire croître ou décroître l’intervalle, en valeur absolue.
— Un intervalle comporte un son et un pivot. On peut prendre comme
T ~-HLVL !
pivot, soit le son supérieur, soit le son inférieur. L’intervalle est alors figuré, dans un cas par (-jp). et dans l’autre par (-f-).
Le nombre des attractions, dans chaque compartiment, étant égal au nombre des fenêtres (sauf en cas d’attraction indécise où il y en a une de plus), il y aura q attractions dans un cas et p dans l’autre. Le même intervalle compté dans le sens positif ou dans le sens négatif n’a donc pas les mêmes attractions.
Lorsqu’une de ces attractions est la même dans les deux sens, on dit qu’elle est bilatérale. Exemple :
L'intervalle positif (-£-) donne, par application de la formule (27) :
(fcî) - (t) « (fcî) - (f)
Le même intervalle négatif (-£-) donne
m) - (i) « (fct) - (i)
Chacune des deux attractions considérées est donc bilatérale.
Lorsqu’une attraction ne se présente que dans un seul sens, on dit qu’elle est unilatérale. Exemple :
L’intervalle négatif (-jr) donne, par application de la formule (27).
L’intervalle positif (-§-) ne peut pas conduire à (-§-), attendu que le nombre 3 à retrancher de chacun des termes et qui correspond à E de la formule (27), est supérieur à moitié du dénominateur 5.
— On dit qu’une attraction est réciproque, lorsqu’elle permet de passer aussi bien d’un intervalle (-|-) à un autre (-g-) que de revenir du second au premier.
Pour qu’une attraction soit réciproque, il faut et il suffît que la différence Qp — Pq soit moindre que moitié du plus petit des deux nombres q ou Q.
Lorsqu'on envisage un intervalle primaire, l’application des
formules (27) ou (28) permet de l’augmenter ou de le diminuer en le conduisant à l’un ou à l’autre des intervalles primaires adjacents. L’intervalle (-§-) P ar
exemple donne, soit (—— (- 5 -) soit ( —} ) = (- 5 -) les attractions qui commandent ces mouvements se nomment attractions principales croissantes ou décroissantes.
Le mouvement du son est donné par les différences :
«)-(»-«) » (l)-ŒMS)
On remarque que le numérateur est formé par le carré du numéro d’ordre de l’empreinte commune aux deux intervalles adjacents, tandis que le dénominateur est égal à ce carré diminué de l'unité. Tous les mouvements qui résultent des attractions principales sont donc les suivants :
ou leurs inverses, suivant que le déplacement est positif ou négatif. Les intervalles ainsi obtenus ont une importance capitale, on le verra dans la suite. Le plus petit d’entre eux (-—-) forme ce qu’on appelle le comma mineur. On ne va pas au delà. Le suivant serait ( - 777 -), il est exclu parce que, ainsi qu’on le démontrera, le dénominateur contient le facteur premier II.
— On désigne sous le nom d’attractions majeures celles qui font passer le son d’un intervalle primaire, à un autre intervalle primaire, moyennant le plus grand déplacement possible.
Ces attractions se déduisent des formules (27) et (28) en attribuant à E la plus grande valeur possible, soit si q est pair, soit —— si q est impair.
Ainsi les attractions majeures, pour l’intervalle donnent :
Pour l’intervalle (- 5 -), elles donnent :
Les attractions majeures des intervalles ( ~ ne sont jamais
réciproques en croissant, quand q est pair. Elles le sont toujours en décroissant, quand q est pair. Si, au contraire, q est impair, pour que les attractions croissantes soient réciproques, il faut que l’on ail q < 3 ; cela donne : (-j-)r (JLJ, (—5-) ou enfin (Ht)- Les attractions majeures décroissantes sont toujours réciproques.
Tljéorie des trois Sons
^ i. — Cas dans lequel un son se dédouble.
Le mouvement d’un son est observé par une fenêtre du pivot. Pour que ce son puisse se dédoubler, il faut qu’il puisse prendre deux directions en vertu des attractions qui résultent de cette fenêtre. Ce cas ne se produit que si la fenêtre tombe sur un point neutre du son.
Si un son fait avec le pivot un intervalle q étant pair, on a remar¬
qué que, au milieu de chaque compartiment, il y a une fenêtre qui tombe sur un point neutre du son.
Réciproquement, pour qu’une fenêtre puisse tomber sur un point neutre du son, il faut que, dans l’expression de l’intervalle (-^—), q soit pair.
Soit en effet un son*S, faisant avec le pivot un intervalle (-|-), p et q étant premiers entre eux. Les points neutres de ce son correspondent aux empreintes impaires d’un son S' placé à une octave au-dessus de S. L’intervalle entre 5’ et le pivot sera :
Deux cas sont alors à considérer :
1° — q est impair. La fraction - 2 -~- est irréductible ; toutes les empreintes
du support réel de S 9 sont multiples de 2 p. Elles sont toutes paires, donc aucune fenêtre du pivot ne porte sur des points neutres du son.
2<> — q est pair. La fraction ( — * ) se réduit à
. Les empreintes du
support réel de 6” sont multiples de p. Comme p est impair, les multiplicateurs impairs de p correspondront à des points neutres du son. Les fenêtres correspondantes seront des multiples impairs de , soit (2 K -f- 1) —
g 2. — Mouvement des sons dans le dédoublement
Considérons une fenêtre f (30) tombant sur un point neutre N d'un son, point neutre compris entre deux empreintes consécutives E et E\ d’ordre /> et p+ i. La position du point neutre N est à l’intervalle ( —* 1 ) de l’empreinte t. Les positions des empreintes E et E* sont caractérisées par les
intervalles (-£-) et
Les attractions qui résultent de la fenêtre /‘donnent au son les déplacements suivants :
En descendant de E a N :
m-m-(Bî-î)
En montant de E' a N :
Le son primitif, d’une part, et les deux sons dédoublés forment ainsi une série de trois sons, dont les intervalles comptés à partir de la position initiale sont :
Ces trois sons portent sur un même support réel, formé par le son implicite d’ordre 2 p -h 1 du son initial.
On remarque que les nombres des vibrations de ces trois sons sont respectivement proportionnels à trois nombres consécutifs, dont celui du milieu est impair, savoir :
Enfin, lorsqu’on envisage l’intervalle d’octave on constate que
tous les points neutres du son portent sur des fenêtres du pivot. Cet intervalle comporte donc tous les dédoublements possibles, en considérant successivement toutes les fenêtres du pivot.
Il II
Il II
S 3. — Équilibre des sons simultanés. — Son préalable.
Considérons un point neutre quelconque d’un son, soit 1 ) la posi¬
tion de ce point neutre. Admettons que la première fenêtre du pivot porte sur ce point neutre ; on peut remarquer qu’alors le son et le pivot forment un intervalle ~ 1 ). Le son peut se dédoubler sous l’action de la fenêtre n° 1. Le pivot forme alors un son implicite commun aux deux sons dédoublés, lesquels sont par suite en équilibre absolu sur le pivot. Le son primitif part donc d'une position instable, sur le pivot, pour aboutir après dédoublement à deux positions absolument stables.
Le son primitif forme ainsi un son préalable, qui a la priorité sur les autres qui ne sont que consécutifs du premier, mais qui s’arrêtent dans une position d’équilibre.
On a supposé, dans ce qui précède, que la fenêtre opérante avait le numéro 1 ; mais on peut raisonner d’une manière analogue avec une fenêtre quelconque du pivot, qui coïnciderait avec le point neutre ( t 1 )• L* a fenêtre opérante forme en effet l'empreinte n° 1 du support réel commun aux deux
sons dédoublés ; or, les empreintes du support réel constituent les seules fenêtres du pivot qui conservent toute leur clarté. Nos sens substituent en quelque sorte ce support réel au pivot primitif; c’est ainsi que les deux sons dédoublés se trouvent encore en quelque sorte en équilibre absolu sur ce nouveau pivot, comme dans le cas précédent.
§ 4 . — Seconde manière de dédoublement.
Considérons un son et un pivot tel qu’une fenêtre porto sur un point neutre du son. Cette coïncidence se produit au milieu de chaque compartiment. 11 y a donc plusieurs fenêtres du pivot qui portent sur autant de points neutres du son.
Considérons deux de ces fenêtres f et f\ , (figure 34) portant sur les points neutres ( 2 - ) et ( — * 1 Admettons un instant que les fenêtres /et/j
puissent être toutes deux opérantes ; le dédoublement pourrait alors s'effectuer, par l’attraction montante sur l’une, et par l’attraction descendante sur l’autre.
Les trois sons correspondraient alors aux intervalles (35), comptés à partir du son initial.
Si les fenêtres opérantes f et f\ eussent été les mêmes, on aurait le même support réel, pour les intervalles (35), c’est-à-dire :
Cela entraîne p = q et on retomberait sur l’expression (31' obtenue précédemment.
Si les fenêtres opérantes f et f\ ne sont pas les mêmes, pour que nos sens puissent constater la simultanéité de l’attraction, il faut que ces deux fenêtres différentes exercent leurs attractions sur une même empreinte du son émis, empreinte qui se dédouble par le fait de cette double attraction. Ce cas se présente quand les numérateurs des expressions (35), qui correspondent aux numéros d’ordre des empreintes, sont les mêmes. Cela entraîne l’égalité :
2 q + 2 = 2 p, c’est-à-dire : q = p — 1
Remplaçons q par cette valeur dans l’expression (35), on trouve, pour la position des trois sons :
C’est une seconde manière du dédoublement. Les numérateurs des fractions étant les mêmes, les trois sons portent sur un même support virtuel.
On remarque que les vibrations des trois sons .sont proportionnelles aux inverses de trois nombres entiers consécutifs, dont celui du milieu est pair,
savoir :
Enfin, lorsqu’on considère l’intervalle d’octave (figure 33), on voit qu’une empreinte quelconque, l’empreinte n” 2 par exemple, peut se dédoubler, en montant par attraction de la fenêtre 3, en descendant par attraction de la fenètie .). L intervalle (-jj-) comporte donc tous les dédoublements possibles selon la seconde manière.
Comme dans le premier cas, le son initial était en équilibre instable sur 1 une comme sur 1 autre des fenêtres opérantes. Après le dédoublement, chacun des sons aboutit à un état d équilibre sur chacune des fenêtres, mais cet équilibre n’est plus absolu, il n’est que relatif.
Quoiqu il en soit on constate encore que le son primitif forme un son préalable qui part d’une position instable et aboutit, en se dédoublant, à deux positions stables, mais dont 1 équilibre n’est que relatif aux fenêtres opérantes.
§ 5 . — Concentration de deux sons. — Instabilité. — Sons préalables.
Deux sons différents, en équilibre instable sur une fenêtre, se déplacent en vertu des attractions de cette fenêtre, de manière à se confondre tous deux en un son unique ; telle est la définition initiale de la théorie des 3 sons, à l’égard de la concentration.
Considérons les 3 sons après que la concentration a été opérée. Soit f la fenêtre et E les empreintes confondues en une seule sur la fenêtre /
figure (38).
Pour obtenir la position primitive instable de chacun des deux sons confondus, il suffit de déplacer l’empreinte £, en montant et en descendant, jusqu’à ce que les points neutres N' et N viennent se placer sur la fenêtre f\ conformément à la figure (39).
La position initiale des sons, avant qu’ils soient confondus, comptée à partir de la position concentrée consécutive, est définie par les intervalles suivants :
Les trois sons portent sur un même support réel, formé par le son implicite d’ordre 2 p du son concentré.
Considérons l’intervalle (-j—), formant unisson, on constate que, toutes
les empreintes du son portant sur toutes les fenêtres du pivot, on peut en tirer toutes les concentrations possibles, en opérant comme on vient de le faire.
( 41 ) Son —^
PlVOI->-
Si on considère par exemple la fenêtre 3, on voit que les trois sons se forment ainsi :
Les deux sons primitifs sont préalables, qui préparent la venue du son concentré, lequel est consécutif des deux autres. Les sons préalables partent d une position instable, en se concentrant, ils aboutissent à une position stable.
g <> — Seconde manière de concentration.
Considérons les deux sons qui doivent se concentrer, non pas dans leur position initiale, mais dans la position commune à laquelle ils aboutissent. 11 est clair que, dans cette position, il existe une série de fenêtres du pivot qui portent sur des empreintes du son concentré. Soient f et /i deux de ces fenêtres portant sur les empreintes E et E t . Pour obtenir les positions initiales instables des deux sons qui doivent se concentrer, nous allons déplacer le son du schéma ( 42 ), de manière que le point neutre N tombe sur la fenêtre /' en montant, et de manière que le point neutre N, tombe sur la fenêtre /, en descendant.
On aura pour la position des trois sons
Les deux sons se trouvent ainsi en équilibre instable sur deux fenêtres /'et /,', (pie nous supposons toutes deux opérantes.
Si les deux fenêtres /'et /J eussent été confondues, on aurait eu le même support réel, c’est-à-dire 2 p = 2 q ou p = q et nous retomberions sur l’expression (40).
Si les fenêtres /'et f x sont différentes, pour que nos sens puissent saisir et constater la simultanéité d’attraction, il faut que, dans la position initiale instable, chacune des deux fenêtres porte sur le même point neutre de chacun des deux sons. Autrement dit, il faut que l’on ait :
ce qui revient à q ■=. p 1. Les trois sons occupent alors les trois positions suivantes, comptées à partir du son de concentration :
Les trois sons ont alors le même support virtuel. C’est en cela que consiste la seconde manière de concentration.
On remarque que les vibrations sont proportionnelles aux inverses de trois nombres entiers consécutifs, dont celui du milieu est impair :
Enfin, lorsqu’on considère l’intervalle d’unisson, schéma (41) on voit qu’un point neutre quelconque, celui côté par exemple, permet d’obtenir, en le portant successivement sur les empreintes 1 et 2 du pivot, les trois sons par concentration
L’intervalle d’unisson comporte donc toutes les formations de trois sons par concentration selon la seconde manière.
Gomme dans la première manière, les deux sons primitifs sont préalables ; ils sont en équilibre instable sur l'une comme sur l’autre des fenêtres opérantes. Le son de concentration est consécutif des deux premiers, il correspond à une position d’équilibre.
§ 7 . — Tableaux (les trois sons, par dédoublement et par concentration.
Nous allons résumer dans les quatre tableaux (45), 46), (47) et (48) tous les groupements de trois sons que l’on peut faire en vertu de ce qui précède. On verra dans la suite qu’il convient de s’arrêter pratiquement au nombre 10, nous ne sommes donc pas allé au delà.
