CHAPITRE PREMIER

La Perception des sons, les InterOalles

SI. — Cordes libres.

Une corde libre donne Heu à plusieurs mouvements vibratoires. La vibration fondamentale est celle qui s’opère sur toute la longueur. Les vibrations harmoniques s'opèrent sur des parties aliquotes de cette longueur, comme s’il y avait plusieurs cordes juxtaposées bout à bout. Les points fixes, entre chaque partie vibrante, sont les nœuds. Le nombre des vibrations est en raison inverse de la distance entre deux nœuds consécutifs.

La vibration fondamentale et les vibrations harmoniques peuvent coexister et se superposer sans se gêner. L’ensemble de ces mouvements vibratoires, ainsi superposés, forme le mouvement vibratoire naturel d’une corde libre.

Toutes les fois qu’on veut imposer à une corde un mouvement vibratoire autre que le fondamental ou les harmoniques, on crée un antagonisme entre le mouvement naturel et le mouvement imposé.

Le mouvement vibratoire naturel d’une corde est caractérisé, quand on connaît le nombre des vibrations fondamentales de cette corde. Tous les mouvements harmoniques s’en déduisent. Le nombre des vibrations de ces mouvements harmoniques est proportionnel au sectionnement de la corde. Il varie conformément à la série des nombres entiers : 1, 2, 3, 4, 5, etc. ; le nombre 1 correspond à la vibration fondamentale.

jj 2. — Cordes de l’oreille.

Il y a, dans l’oreille interne, environ 6.000 cordes vibrantes, juxtaposées parallèlement. Le nombre des vibrations fondamentales naturelles de chacune croît régulièrement, en passant d’une corde à la suivante, d’un bout à l’autre de la série.

Ces cordes ne sont pas libres, elles sont assujetties à une sorte de table d’harmonie qui est soumise, par l’intermédiaire de transmissions successives* à partir du tympan, à l’influence des mouvements vibratoires de l’air extérieur. Elles subissent, la plupart malgré elles, le mouvement qui leur est imposé par la table d’harmonie à laquelle elles sont liées. Si elles étaient libres* elles prendraient leur mouvement propre et naturel, comme au § 1. Il y a donc le plus souvent antagonisme entre le mouvement imposé et le mouvement propre. L’agitation des cordes varie en sens inverse de cet antagonisme.

Les cordes de l’oreille sont plongées dans un liquide résistant. Leur mouvement vibratoire cesse en même temps que la vibration extérieure. Elles correspondent à des fibres nerveuses qui permettent à nos sens de percevoir l’antagonisme signalé.

C’est dans ces faits que se trouve l’origine de la perception des sons musicaux. Le problème, soumis au calcul, donne les résultats que nous allons signaler.

§ 3. — Empreintes.

Lorsque les cordes de l’oreille subissent l’influence d’une vibration extérieure, il en est quelques-unes qui peuvent recevoir librement ce mouvement, s’il correspond à leur mouvement propre et naturel, soit fondamental, soit harmonique. Ces cordes ne résistent pas au mouvement moteur de la table d’harmonie, elles le prennent dans toute son ampleur. 11 n’y a aucun antagonisme entre les deux mouvements et par suite aucun trouble dans le mouvement naturel.

Ces cordes forment ce qu’on nomme les empreintes du son. Elles comprennent celles qui peuvent recevoir le mouvement vibratoire imposé, soit conformément à la vibration fondamentale, soit conformément à une vibration harmonique quelconque. Les empreintes du son portent donc sur les

cordes de l’oreille dont les vibrations fondamentales forment avec la vibration extérieure, les rapports :

Ces empreintes portent un numéro d’ordre, suivant le nombre des parties oliquotes en lesquelles la corde se subdivise pour vibrer.

$ 4. — Zone d'équilibre. — Zone de trouble.

Les empreintes forment des points précis parmi les cordes de l’oreille. Dans le voisinage immédiat de chacune d’elles, l’antagonisme et le trouble sont faibles. Ce voisinage forme la zone d’équilibre.

Soit n le nombre des vibrations fondamentales de la corde d’une empreinte quelconque ; soit n ’ le nombre des vibrations fondamentales d’une corde voisine. Le calcul fait voir que, dans la zone d’équilibre, le trouble est proportionnel à l’expression

En dehors de la zone d’équilibre, nos sens révèlent un antagonisme qui fatigue les fibres nerveuses. C’est la zone de trouble.

$ 5. — Points neutres.

Considérons deux empreintes consécutives, et suivons les cordes de l’oreille, en partant d’une de ces empreintes, pour aboutir à la suivante ; examinons le degré de trouble que présente chacune de ces cordes.

Au point de départ, sur l’empreinte, ce trouble est nul ; aux abords de l’empreinte, dans la zone d’équilibre, il est faible; il va ensuite en croissant jusqu'à un point où il est maximum ; il décroît ensuite jusqu’au moment où l’on arrive à l’empreinte suivante, sur laquelle il s’annule de nouveau.

La corde qui correspond au trouble maximum, entre deux empreintes consécutives, se nomme point neutre ; c’est qu’en effet l’antagonisme y est tel que l’agitation de la corde est pour ainsi dire nulle.

Soient n p et n p +i le nombre des vibrations fondamentales de deux empreintes consécutives, dont les numéros d’ordre sont p ety>-fd, et soit n x le nombre des vibrations fondamentales de la corde qui constitue le point neutre intermédiaire ; le calcul montre qu’on a la relation :

Cette formule signifie que la durée de la vibration fondamentale de la corde au point neutre est la moyenne arithmétique des durées de celles des cordes des empreintes voisines.

§ 6 . — Mouvement mélodique. — Pivot. — Fenêtres. — Attraction.

Lorsqu’on fait varier le nombre des vibrations d’un son extérieur, les empreintes correspondantes se déplacent ainsi que les points neutres. Ce déplacement caractérise le mouvement mélodique; il se mesure à partir d’un son antérieur appelé pivot, dont nos sens gardent le souvenir. Lorsqu’on a exprimé un son qui doit servir de pivot, son impression subsiste, alors même que la vibration extérieure a cessé. Partout où il y avait trouble, la sensibilité reste émoussée. Dans la zone d’équilibre au contraire elle conserve toute sa faculté.

Admettons qu’on perçoive alors un autre son, dont les impressions viennent se superposer à celles du pivot, nos sens ne peuvent facilement discerner les nouvelles impressions que dans la partie de notre organe qui a gardé sa sensibilité, c’est-à-dire dans les zones d'équilibre du pivot. C’est pour cela que les empreintes du pivot sont nommées fenêtres.

Soient a et b (3) deux empreintes consécutives d’un son et N le point neutre intermédiaire. Toute fenêtre du pivot tombe nécessairement entre un point neutre du son et une empreinte voisine. Supposons qu’une fenêtre f tombe entre le point neutre N et l’empreinte b.

Déplaçons le son de manière que l’empreinte b s’approche de la fenêtre f, le trouble perçu par nos sens, à travers la fenêtre / va en diminuant, jusqu’à

ce que b tombe sur f. Le mouvement, tel que nos sens le perçoivent, à travers la fenêtre /* nous fait donc ainsi éprouver une certaine satisfaction. C’est en cela que consiste l'attraction exercée par la fenêtre f sur l'empreinte b.

Chaque fenêtre du pivot provoque une attraction, à moins qu’elle coïncide avec une empreinte du son.

§ 7. — Equilibre relatif. — Intervalle et stabilité. — Instabilité attraction indécise et dédoublement du son.

Quand une empreinte du son tombe sur une fenêtre du pivot, aucun trouble n’apparaît à travers cette fenêtre ; dès qu’on déplace le son légèrement, soit à droite, soit à gauche, le trouble apparaît immédiatement. Il se développe ainsi, d’un côté comme de l’autre, une attraction qui tend à ramener le son à sa position primitive. On peut donc dire que, quand une empreinte porte sur une fenêtre, la position du son est en équilibre stable relativement à la fenêtre considérée.

Un son qui se trouve en équilibre stable relativement à une fenêtre du pivot forme avec celui-ci ce qu’on nomme un intervalle.

Lorsqu’une fenêtre du pivot coïncide avec un point neutre du son, cette fenêtre ne sollicite pas plus une des deux empreintes voisines que l’autre. Si on déplace le son, si peu que ce soit, d’un côté ou de l’autre, l’équilibre est rompu, et le son tend à s’écarter de sa position initiale. Cette position initiale correspond donc à un état d’équilibre instable.

Lorsqu’on envisage cette position instable qui correspond à la coïncidence d’un point neutre du son et d’une fenêtre du pivot, on constate qu’il n’y a pas à proprement parler attraction ; mais, comme le moindre déplacement peut exciter le son à se mouvoir, soit d’un côté, soit de l’autre, on dit que l’attraction est indécise. On conçoit dès lors qu’un son, placé dans cette position d’attraction indécise, puisse se dédoubler en deux autres qui se dirigent en sens inverse, conformément à chacune des attractions qui résultent de l’indécision.

§ 8. — Notation des intervalles. — Rapport des vibrations.

Les empreintes d’un son se composent des cordes de l’oreille qui vibrent conformément à la vibration extérieure. Elles sont numérotées suivant

le sectionnement qu’elles prennent pour vibrer. Le nombre des vibrations fondamentales de chacune de ces cordes est représenté par chaque terme de la série suivante (4 , en allant de droite à gauche, série dans laquelle N représente le nombre des vibrations extérieures.

Nombre des vibrations fondamentales des empreintes : •

TV

TV

TV

TV

TV

TV

TV

Numéro d’ordre des empreintes

le ]

Les fenêtres du pivot sont numérotées de la même manière que les empreintes du son.

Quand le son et le pivot correspondent au même nombre de vibrations, toutes les empreintes du son se superposent aux fenêtres du même ordre du pivot. Le son et le pivot donnent une perception absolument concordante. L’intervalle esl nul, c'est l’unisson.

Si l’intervalle, au lieu d’être nul, est tel que l'empreinte 5 par exemple porte sur la fenêtre 3, on constate que cette empreinte 5, qui dans l’unisson posait sur la fenêtre 5, a été déplacée jusqu’à la fenêtre 3. Ce déplacement, compté sur le pivot, forme un intervalle qui s’étend de la fenêtre 5 à la fenêtre 3. On convient de noter cet intervalle par la fraction entre parenthèses :

dans laquelle les deux termes, numérateur et dénominateur, sont les numéros d’ordre de l’empreinte et de la fenêtre confondues.

On suppose, conformément à la série (4), que les empreintes vont dans l’ordre croissant de droite à gauche. Cela revient à admettre que les vibrations fondamentales des cordes de l’oreille vont en croissant de gauche à droite.

11 suit de là que, quand la fraction représentant un intervalle est plus grande que l’unité, comme (-£-) par exemple, le déplacement se fait à droite ; le son monte. Si la fraction est moindre que l’unité, le déplacement se fait à gauche, le son descend.

Les-mouvements montants sont considérés comme positifs, les descendants comme négatifs. L’unisson, c’est-à-dire l'intervalle nul, est figuré par une fraction égale à l’unité.

Nous allons faire voir que la fraction entre parenthèses qui représente un intervalle est égale au rapport du nombre des vibrations du son et du pivot.

Soit l’intervalle (-j-) ; considérons la corde commune de l’oreille, qui

forme à la fois l’empreinte d’ordre 5 et la fenêtre d’ordre 3. Cette corde commune, pour vibrer comme le son extérieur, se sectionne en 5 tronçons ; pour vibrer comme le pivot, elle se sectionne en 3 tronçons. Le son a donc 5 fois plus de vibrations que le mouvement vibratoire fondamental de la corde commune ; le pivot en a 3 fois plus. Le rapport des vibrations du son et du pivot est donc bien (-jj—), comme nous l’avons annoncé.

§9. — Sons implicites. — Sons harmoniques ou virtuels. — Equilibre absolu. — Intervalles originaux.

Soit un son de N vibrations ; le nombre des vibrations fondamentales des cordes qui forment les empreintes correspond aux termes de la série (4). Considérons un autre son de vibrations, p étant entier, pour obtenir les vibrations fondamentales des empreintes correspondantes, il suffit de changer dans la série (4), N en —y ; on obtient ainsi :

Kp 5 p 4 p 3 p 2p p

On reconnaît que tous les termes de la série (6) sont contenus dans la série (4). On conclut qu’un son de vibrations a toutes ses empreintes contenues parmi celles du son de N vibrations ; le premier son est donc contenu implicitement dans le second. On dit alors que le premier est un son implicite du second. Les divers sons implicites d’un son donné portent des numéros d’ordre, conformément au nombre p qui les caractérise. L’intervalle entre un son donné et le son implicite d’ordre p est (-y).

Soit à considérer un son de pN vibrations, p étant entier. Les empreintes de ce son porteront sur des cordes de l’oreille dont les vibrations fondamentales correspondent à la série (4), dans laquelle on remplacerait N par pN , savoir :

pN pN pN pN pN pN

On constate que le son de N vibrations (série 4) ne contient qu’une partie des empreintes de celui de pN vibrations (série 7); ce sont celles dont le numéro d’ordre, au dénominateur, est multiple de p ; le facteur p disparaît alors aux deux termes et on tombe sur une expression appartenant à la série (4).

Le son de N vibrations est un son implicite de celui de pN vibrations ; on

dit que celui-ci est un son harmonique ou virtuel du premier. Il y a réciprocité entre la désignation de son implicite et celle de son harmonique. Tout son implicite d'un autre a pour son harmonique cet autre, et réciproquement.

Tout son harmonique d’un autre est en équilibre absolu sur cet autre pris comme pivot. Toutes les fenêtres du pivot, portant sur des empreintes du son, ne peuvent provoquer aucune attraction.

On appelle intervalle original celui qui est formé par un son donné avec un de ses harmoniques, ou un de ses implicites. Les intervalles originaux sont figurés par des nombres entiers ou leurs inverses.

ou

§ 10. — Position des points neutres. — Octave.

Considérons un son de N vibrations, dont les empreintes portent sur les cordes de la série (4), et envisageons un autre son, harmonique du premier, et formant avec lui l’intervalle original (-y-)- Les empreintes de ce deuxième

son portent sur les cordes de l’oreille définies par la série (8) obtenue en changeant iV en 2,/Vdans la série (4)

On voit que toutes les empreintes paires de la série (8 portent sur les mêmes

cordes de l’oreille que celles de la série (4). Nous allons démontrer que les empreintes impaires de la série (8) portent sur les points neutres du son de N vibrations.

Considérons les empreintes consécutives p et p -\-1 du son de N vibrations. Les nombres de vibrations fondamentales des cordes de ces empreintes sont donnés par la série (4), savoir :

Iteporlons-nous à l’équation (2) § 5 qui définit le nombre des vibrations

fondamentales de la corde qui porte le point neutre. Remplaçons-y Np

par -y- et N p + 1 par -yp-, il vient :

On voit que la corde correspondante figure parmi celles de la série (8) avec

Tordre impair 2p-\- 1, c’est ce qu’il fallait démontrer.

Lorsqu’on a besoin de repérer les diverses empreintes d’un même son on constate et on dit que l’empreinte d’ordre p est séparée de la première empreinte par l'intervalle L’équation 9 montre que le point neutre

compris entre les empreintes consécutives p et p -\-1 est séparé de la première empreinte par l’intervalle (—■). Dans cette expression, le nombre entre parenthèses est la moyenne arithmétique des numéros d’ordre des deux empreintes consécutives.

Remarque. — Ce qui précède ne veut pas dire que l’intervalle )

est la moyenne arithmétique des intervalles ) et (yy—). veiTa en que, pour ajouter deux intervalles, il faut multiplier les fractions qui les représentent ; c’est-à-dire que l’on a :

Pour diviser cet intervalle par 2, il faut extraire la racine carrée de la quantité entre parenthèses, savoir :

Telle est la moyenne des deux intervalles.

L’intervalle original dont les empreintes impaires servent à

déterminer la position des points neutres du son donné, a une importance capitale en musique ; il doit précisément cette importance à cette propriété. On le nomme octave.

§ 11. — Support réel. — Intervalles égaux.

Considérons un son formant avec son pivot un intervalle et

supposons p et q premiers entre eux. Cette notation signifie que l’empreinte p du son porte sur la fenêtre q du pivot. Envisageons dès lors, soit le son

implicite d’ordre p du son donné, soit le son implicite d’ordre q du pivot, nous

constatons que la première empreinte de l’un est la même que la première empreinte de l’autre. Ces deux sons sont donc entièrement confondus, ils ont donc toutes leurs empreintes communes. Le son et le pivot ont ainsi un son implicite commun : On lui donne le nom de support réel.

Il résulte de ce qui précède que deux sons formant entre eux un intervalle ont une infinité d’empreintes communes, qui sont précisément

les empreintes du support réel. Le numéro d’ordre de ces empreintes communes, sur chacun des deux sons qui composent l’intervalle, sont respectivement des équimultiples de p et q .

Lorsqu’on exprime les deux sons qui forment un intervalle, les empreintes du support réel sont les seules qui demeurent entièrement lucides. Toute autre empreinte de l’un des sons est nécessairement obscurcie par le trouble venant de l’autre son.

Nous allons nous servir des indications qui précèdent pour faire voir (pie deux intervalles sont égaux, quand les fractions entre parenthèses qui les représentent sont égales.

Considérons en effet l’intervalle dans lequel p et q sont premiers

~ entre eux. Les empreintes communes aux deux sons sont celles du support réel; elles sont respectivement équimultiples de p et q , c’est-à-dire que l’empreinte l\p, par exemple, porte sur la fenêtre Kq. Si on se reporte à la définition de l’intervalle, § 8, on voit que le même intervalle peut s’écrire fjp) aussi bien que (—~) ; on a donc l’égalité :

C’est ce qu’il fallait démontrer. On conçoit du reste qu’il ne pouvait en être autrement, un intervalle étant déterminé par le rapport des vibrations des. deux sons qui le composent, § 8.

Désignons par A\ N’ et n le nombre des vibrations du son, du pivot et

d’un troisième son correspondant au support réel. Comme celui-ci est son implicite commun du son donné et du pivot, avec 1 ordre p pour le premier et Tordre q pour le second, on a les relations

(\q\ — = — = n ou bien N — pn N ’ = qn

§ 12. — Addition et soustraction des intervalles.

Considérons deux intervalles (-|-) et (-£-), nous allons démontrer que leur somme forme un nouvel intervalle représenté par une nouvelle fraction obtenue en faisant le produit des deux premières, savoir :

La différence s’obtient par le quotient des deux fractions :

Pour le démontrer, nous distinguons deux cas :

1 ° Les intervalles à ajouter ont une extrémité commune sur le pivot. Soient (13) la série des fenêtres successives du pivot.

Considérons les intervalles (- 5 -) et (-5-) qu’il s’agit d’ajouter et qui ont une extrémité commune 5. On voit, sur la ligure, que 1 intervalle total est (-y - ) dont la fraction représente le produit des deux premières.

2° Les intervalles à ajouter sont quelconques.

Soient (-—) et les deux intervalles qu’il faut ajouter. Multiplions

les deux termes du premier par p ’ et les deux termes du second par q , les intervalles ne changent pas de valeur, § 11 , il vient :

Sous cette forme, on voit qu’ils ont une extrémité commune sur l’empreinte qp\ on se trouve donc dans le cas précédent. La somme des intervalles est donc :

ce qui démontre la proposition.

La règle pour la soustraction découle tout naturellement de ce qui précède.

Remarque . — Supposons que l’on envisage un intervalle dans lequel le rapport des vibrations des deux sons est représenté par un nombre r. La règle de l’addition nous fait voir qu’un intervalle double, triple, quadruple, etc., correspond à un rapport de vibrations marqué par /* 2 , r 3 , /• 4 , etc. Si on appelle / l'intervalle qui correspond à la fraction r, les intervalles correspondant aux fractions r 2 , r 3 , r 4 , etc., seront 2 /, 31, il, etc. On aura, en établissant la correspondance entre les deux séries.

Rapports des vibrations : 1 r r 2 r s r 4 ... r k . . .

Intervalles O I 21 31 il . . . ICI . . .

La première ligne forme une progression géométrique, la seconde une progression arithmétique. On conclut que les intervalles sont les logarithmes des rapports des vibrations des sons qui les composent.

Malgré cette observation, nous conservons la notation adoptée pour les intervalles; elle s’adapte bien au sujet. Il était cependant intéressant de constater que les combinaisons musicales sont des calculs logarithmiques auxquels les musiciens primitifs se sont livrés, avant la découverte des logarithmes, et par suite, sans s’en douter.

§ 13. — Support virtuel.

Nous avons vu que le support réel était formé par un son implicite commun à deux sons donnés. Nous allons faire voir que ces deux sons donnés

ont un son harmonique commun, auquel nous donnons le nom de support virtuel.

Soient deux sons formant un intervalle p et q étant premiers

entre eux. Soit n le nombre des vibrations du son qui correspond au support réel. Les équations (10) montrent que le nombre des vibrations des deux sons donnés résulte des égalités.

pn

qn

Un son harmonique commun à ces deux sons doit avoir un nombre de

vibrations multiple, à la fois de pn et de qn. Comme p et q sont premiers entre

eux, le plus petit multiple commun de pn et de qn est pqn. Tout son harmonique commun aux deux sons donnés possédera un nombre de vibrations multiple de pqn . Le moins élevé de ces multiples, c’est-à-dire pqn , correspond au support virtuel qui possède effectivement pqn vibrations.

Soit donc ny le nombre des vibrations qui s’applique au support virtuel, on aura :

(14) n t = pqn = plSI' = qN

L’intervalle entre le support réel et le support virtuel est marqué par le rapport ; on voit qu’il est égal à :

C’est donc un intervalle original.

Nous représentons, sur le schéma (16), les positions relatives des diverses empreintes communes aux deux sons donnés et aux supports réels et virtuels

La première empreinte du support réel coïncide avec les empreintes q

du pivot, p du son, pq du support virtuel. L’empreinte n° 1 du pivot coïncide avec l’empreinte p du support virtuel. L’empreinte n° 1 du son correspond à l’empreinte q du support virtuel.

§ 14. — Sons conjugués. — Intervalles différentiels.

Considérons deux sons formant entre eux un intervalle original ( -y-). Proposons nous de trouver deux autres sons qui aient les deux sons donnés pour supports réels et virtuels. Soit l’intervalle formé par les deux sons cherchés.

L’équation (15) indique que l’intervalle entre les supports réels et virtuels correspondant à l’intervalle est (). Mais nous savons que cet

intervalle, qui est donné, a pour valeur (— 7 -)- On doit donc avoir

pq = M

Il y a donc autant de solutions qu’il est possible de décomposer M en deux facteurs.

Les deux sons ainsi obtenus sont appelés sons conjugués relativement aux supports réels et virtuels donnés.

Pour obtenir la série des sons conjugués qui correspondent à un nombre donné J/, on procède de la manière suivante :

Prenons par exemple M= 45. Cherchons tous les diviseurs de 45 et classons-les par ordre de grandeur.

Chaque facteur correspond à un autre pour former le produit 45. Ces diviseurs conjugués sont ceux qui sont à égale distance des extrêmes. Il y a ici trois systèmes de sons conjugués.

Les supports réels et virtuels font entre eux des intervalles originaux, ils constituent un système de sons conjugués. Les autres systèmes de sons conjugués forment entre eux des intervalles appelés différentiels. Les intervalles originaux ont une existence propre. Les intervalles différentiels sont au contraire formés de la différence de deux intervalles originaux.

L’ensemble des sons conjugués correspondant au nombre 45 forment, ainsi qu’on le verra par la suite, ce qu’on nomme l’échelle diatonique.

Quand M est un nombre premier, on ne peut le décomposer en facteurs que d’une seule manière lXd/. L’intervalle (- J y-) est alors original absolu.

§ 15. — L’épaisseur de la zone d’équilibre est la même pour toutes les empreintes d’un même son.

Les explications qui précèdent ayant donné la notion exacte de ce qu’on nomme un intervalle, nous pouvons démontrer la proposition indiquée par le titre de ce paragraphe, c’est-à-dire que l’épaisseur de la zone d’équilibre forme un intervalle constant, quelle que soit l’empreinte à laquelle elle s’applique.

La zone d’équilibre est limitée par définition à la partie des cordes de l’oreille qui forment le voisinage immédiat de chaque empreinte. Elle s’étend jusqu’au point oit le trouble développé par l’antagonisme des mouvements prend une certaine valeur. Soit C l’expression de cette valeur limite où cesse la zone d’équilibre et où commence la zone de trouble. L’équation (1), § 4, donne :

La limite C étant partout la même, on voit que le rapport ) est constant pour toutes les empreintes. Mais ce rapport peut servir à représenter l'intervalle qui sépare l’empreinte de la limite de la zone d’équilibre ; cet intervalle est donc constant et représenté par ) L’épaisseur totale de la zone d’équi¬

libre est égale au double de cet intervalle.