CHAPITRE XV
Anbarmonie
g 1. — domina mineur.
La première apparition du comma mineur remonte au § 8 du chap. VIII. Nous avons alors engendré l’échelle diatonique par des mouvements d’accords issus, les uns, d’un accord parfait majeur d m s , les autres d’un accord parfait mineur l d m. On a abouti, par ces deux voies différentes, à des sons identiques, sauf un, le son r, qui a été trouvé dans le premier cas à une hauteur un peu plus grande que dans le second. La différence entre les deux a été appelée comma mineur i = (-gjj-)-
Nous avons encore signalé le comma mineur t, à propos de l’adaptation, au chap. IX. Ce comma a apparu avec le circuit (142) et nous avons vu comment, malgré une erreur de i , la tierce majeure altérée passait toujours pour une tierce majeure réelle, grâce à la faculté s.
Ce même comma mineur s’est encore présenté à nous, sous son véritable jour, lorsque nous avons spécialement étudié l’échelle diatonique au chap. XL Cette échelle a été envisagée comme formée des sons conjugués résultant du
nombre 45.
d a pour son conjugué m t - •- f
L’ensemble de ces sons possède deux axes de symétrie. Le premier est formé en quelque sorte par le son r qui occupe deux positions très voisines séparées du comma mineur i. Le son le plus élevé ^ se lie à s et à / &u moyen d’intervalles consonnants. Le son le moins élevé '^se lie à l et à /' par les mêmes intervalles consonnants pris en sens inverse. Si donc, après avoir exprimé le son r on se sert de cette expression pour obtenir /'et l, ces deux sons se trouveront trop élevés de i. De la même manière, t et s eussent été abaissés de i en partant de £. Le son de liaison entraîne donc une sorte de décalage de un comma i soit vers le haut, soit vers le bas, suivant le cas. De plus, les sons d et m, bien que séparés de r + par les intervalles dissonnants ^ et (— 77 -) peuvent être décalés eux aussi de i , si ces deux sons viennent à être repérés à r . Mais ce qu’il y a d’important à remarquer, c’est que le son m, même décalé de un comma vers le haut, en conservant à d sa position primitive, apparaît comme formant aveccetfo une tierce majeure réelle, malgré l’erreur du comma i. C’est ce qui résulte des explications qui ont accompagné la figure (142) au chap. IX. Cette erreur du comma i, qui peut en définitive se répercuter sur tous les sons de l’échelle, par le moyen du son de liaison, erreur qui est très appréciable en elle-même, disparaît dans l’appréciation des intervalles consonnants. 11 se produit pour les sons de l’échelle comme un sillon moyen sur les empreintes desquels les sons se maintiennent, gr;\ce à la mémoire des sons antérieurs. Le comma t n’altère donc pas à proprement parler les intervalles consonnants qui gardent ainsi entièrement leur signification, malgré l’erreur, grâce à la faculté z.
En définitive, le propre du comma mineur i est de ne pas dénaturer la signification des intervalles. 11 n’est qu’un seul cas où celte différence puisse entrer en compte, c’est dans les mouvements d’accords comme nous l’avons signalé à la fin du § 7, chap. XIV, à propos des intervalles (-^-) et (-!£-)’ dont la différence est précisément égale à i.
§ 2 . — Comma majeur.
La première apparition du comma majeur remonte à la comparaison que nous avons faite de l’échelle diatonique et des échelles des cadences et des évolutions. Nous avons encore signalé le comma majeur à propos de l’adaptation ; il a apparu avec la figure (144) au § G, chap. IX. Enfin, ce même comma s’est
présenté à nous quand nous avons voulu établir un rapport entre les sons t et / à la fin du § l du chap. XI, en commençant notre étude de l’échelle diatonique.
Comme il s’agit d'établir un rapport pouvant exister entre deux degrés de l’échelle, l’altération de y, bien que modifiant la position du son et sa signification dans ses relations avec les autres sons de l’échelle, n’en modifie pas le nom.
Ainsi qu’on vient de le voir, le comma y résulte de la recherche du rapport des deux sons t et /*. Supposons, pour fixer les idées simplement, que nous adoptions pour sons réels, les sons du tempérament moyen. Admettons (pie l’on émette simultanément t et/‘ le premier étant à la basse. Si l’on ne joint aucun aucun autre son, l’intervalle ne peut se repérer que par le support réel qui est s. L’intervalle de s à t est une tierce majeure caractérisée, nous la posons naturellement sur les sons correspondants de l’échelle ; c’est donc le son f 'qui s’abaisse de y pour former l’intervalle (- 5 —)- C’est la position occupée par ce son sur l’échelle des cadences.
Si outre les sons t et / on émet en même temps s, il y a confirmation absolue de ce qui précède. Mais si au lieu d’émettre s , on émet un autre son indicateur /, à une tierce au-dessus de f. Ce son indicateur se placera avec le / sur l’échelle et c’est le t qui montera de / pour se placer comme sur l’échelle des évolutions.
Ainsi le comma majeur n’intervient en principe que pour donner, le cas échéant et moyennant des sons indicateurs convenables, une définition à l’intervalle ascendant de t à /*. Cet abaissement de y du son /'entraîne avec lui l’inflexion à (-^-) de la tierce mineure de + à f\ dans le cas du son indicateur s , et cet exhaussement de y du son t entraîne avec lui l’inflexion à ) de la tierce mineure de ^ à /, dans le cas du son indicateur l. Comme contre-partie, les tierces majeures de / à l ou de s à t s’infléchissent pour donner l’intervalle (- 7 -) au lieu de (“4“)- On le voit, les sons se placent intégralement en conformité de ce qui est indiqué soit sur l’échelle des cadences, soit sur l’échelle des évolutions.
En définitive, en caractérisant l’intervalle de t à /, les sons indicateurs qui abaissent ou exhaussent certains sons du comma y, 11 ’ont pas pour effet de changer le nom d’aucun des sons infléchis. Les intervalles correspondants prennent une signification spéciale, voilà tout.
Cette altération dey n’existe, comme nous le disons, que moyennant le son indicateur convenable. Ainsi, dans la disposition
Le f est abaissé de j au-dessous de la position qu’il occupe sur l’échelle diatonique ; dans la disposition :
au contraire, le / prend la position indiquée sur l’échelle diatonique.
Les inflexions du comma j telles que nous venons de les examiner, sont celles qui correspondent à la tonalité. Elles caractérisent les accords de septième de dominante et de septième de sensible. Mais il est un certain nombre de cas où ces altérations peuvent porter accidentellement sur d’autres sons que t ou /*. L’échelle diatonique comporte quatre tierces mineures : l (/, m s , / r, /’/*. Ces tierces mineures peuvent être infléchies à la valeur (-g-), on prenant des sons indicateurs soit à une quinte au-dessous du son le plus grave de chaque tierce, soit à une quinte au-dessus du son le plus élevé de chaque tierce. Prenons le premier cas à titre d’exemple, nous obtiendrons les quatre assemblages de sons suivants: /*. I d ; L m s ; m . t /*; s. r /. La dernière combinaison est celle qui correspond à l’accord de septième de dominante de la tonalité, nous n’insistons pas. Les trois premières forment des fragments caractéristiques d’accords de septième de dominante qui feraient cadences sur s, r et l. C’est si l’on veut un moyen de moduler analogue à d’autres que nous avons cités au chapitre précédent. S il s agit de simples transitions,
comme celle-ci par exemple
nv
L’inflexion de j du son d est absolument passagère et accidentelle, c’est comme si Ton était passé transitoirement dans la tonalité de 5, tonalité dans laquelle le son d occupe la position / dans la tonalité de do.
Quoiqu’il en soit, en toutes circonstances et quelle qu’en soit l’origine, les inflexions des sons au moyen du comma majeur, bien que changeant la signification des intervalles au moyen des sons indicateurs, n’en modifient pas la désignation. Le son / infléchi reste un fa , on ne reconnaît l'inflexion que par Pexamen des sons indicateurs qui l’accompagnent. Le comma majeur
caractérise toujours soit une quinte diminuée (-£-), soit une quarte augmentée (-y-), il caractérise encore l’intervalle (-j-), ou la tierce mineure
On voit la différence capitale entie le comma mineur et le comma majeur. Le premier est une erreur inévitable et nécessaire qui résulte de l’accommodement des nombres trois et cinq, elle s’applique éventuellement à tous les sons de l’échelle, elle ne dénature pas les intervalles et on ne peut en aucun cas faire état de cette petite erreur, sauf une seule exception que nous avons signalée. Le comma majeur résulte de l’accommodement accidentel du nombre sept avec les nombres trois et cinq, cette circonstance ne se présente que dans des cas déterminés ; certains intervalles prennent ainsi des significations différentes de celles qu’ils ont sur l’échelle diatonique ; on reconnaît cela par les sons indicateurs. Les indexions ordinaires de y, dans une tonalité donnée, sont celles qui résultent des échelles des cadences ou des évolutions ; mais il peut y en avoir accidentellement d’autres, soit pour moduler, soit pour certaines transitions d’accords.
§ 3 . — Comma anharmonique.
Tandis que les commas majeurs et mineurs constituaient des infléchissements d’un même son, gardant son nom et son écriture, le comma anharmonique au contraire constitue un intervalle petit qui, bien que moindre que la tolérance i + y, ne peut porter entre deux sons de même nom. Ces sons ne doivent pas être confondus parce que cette confusion entraînerait comme conséquence ce que nous avons appelé l’incompatibilité.
La première incompatibilité qu’il nous a été donné de signaler est celle qui résulte de la comparaison de l’intervalle de tierce majeure à la période d’octave. Cette incompatibilité est indiquée par la figure (169 § 6 chap. XI. L’intervalle K = (-jf)-) entre £ et 1 ne peut pas permettre la confusion des deux sons ; tout cela a été développé au § 7 du même chapitre. On a trouvé la relation :
Le £ est lié à m par une tierce majeure ascendante. Le ^ est lié à do par une tierce majeure descendante. Les sons indicateurs qui accompagnent ces
deux sons s f et si rapprochés qu’ils soient, empêcheront toujours qu’ils
puissent être confondus. Ainsi f ^ d constituera un accord parfait mineur
dans lequel de /'à f il y a une tierce mineure et de ' à d une tierce majeure.
Ce son ^ ne pourra donc pas se confondre avec £. 11 en serait de même avec
l’accord m s t, dans lequel s est caractérisé par les tierces et ne peut pas se P / *
confondre avec
Au lieu de comparer l’intervalle original (-^—) à l’octave (-f-) on aurait pu partir de l’intervalle original (-^-) et chercher la commune mesure avec l’octave (-y - )- l J our obtenir cette commune mesure, on opère comme dans la recherche du plus grand commun diviseur. La apinje çst contenue une fois dans l’octave; il reste un intervalle de quarteV , 3 ) On est amené
à chercher la commune mesure entre (-§-) et (- 3 -)- La quarte est contenue une fois dans la quinte ; il reste l’intervalle du ton majeur. Or, on remarque que cet intervalle est à peu près contenu six fois dans l’octave. On sait en effet qu’une tierce majeure vaut deux tons majeur moins un comma mineur/.
Hemplaçons cette expression dans celle qui unit la tierce majeure à l’octave, on trouvera :
Si l’on porte six tons consécutifs, à partir de do, on aura la série des intervalles
Cette succession donne bien l’impression d’incompatibilité.
On voit que l’on n’aboutit pas au son d , à l’octave au-dessus de l’origine, mais à un son 1 qui diffère de do de 3 i — K. Le son l f ainsi obtenu est plus élevé que do de 3 i — K, c’est-à-dire d’à peu près i de comma mineur. C’est encore un comma anharmonique. On voit qu’il est formé du premier K combiné avec le comma i qu’on doit négliger, comme on l’a vu au § 1 ci-dessus. Ces deux commis se réduisent donc a la même définition générale.
On peut présenter les conclusions qui précèdent sous une forme un peu différente. Formons, à partir de f une série de douze quintes :
nous aboutissons à ™ pour former à peu près sept octaves, conformément à l’équation (178), § 11, chap. XI. La différence est :
c’est-à-dire le même comrna trouvé ci-dessus. On obtiendrait la même différence avec les quintes descendantes :
La valeur de ce comma est à peu près égale avons-nous dit à —de
comma mineur.
Nous n’avons fait entrer dans les considérations qui précèdent que les nombres 3 et 5, nous demeurons en concordance avec l’échelle diatonique, c’est-à-dire que les commas anharmoniques obtenus sont formés du même intervalle K , avec ou sans des commas mineurs.
§ 4. — Inflexions du comma anliarmonique.
Les inflexions harmoniques résultent toujours de l’intervention accidentelle du facteur 7. L’empreinte 7 est signalée par l’intervalle de t à f. C’est avec cet intervalle qu’il faut chercher ce que peut être l’inflexion du comma anliarmonique.
Sur l’échelle normale les intervalles de t à / et de /'à t en montant sont formés de la manière suivante et conformément aux figures 274) et 275).
La première figure montre que la quinte diminuée, de / à f\ est formée de deux tierces mineures moins un coinma i. La seconde figure montre que la
i .Un
quarte augmentée de fk t est égale à une tierce majeure plus un ton majeur. La différence entre la quinte diminuée et la quarte augmentée est donc :
2 P , T- s = ( r - ,) - , 7 - P, —• = (f )-(-§-)-. = AT- 7
On sait en effet que :
L’incompatibilité est donc encore signalée par le comina anharmonique K .
Si nous infléchissons les intervalles par diminution de j pour la quinte diminuée et par augmentation de j pour la quarte augmentée ; la différence devient (-£-) — (-y-) =— On voit qu’elle change désigné. Comment
cette différence peut-elle se ramener au comma anharmonique ? Remarquons que l’intervalle (- 3 -) est égal à la quinte diminuée de la figure (274) diminuée de j. On a donc :
On a de même :
On sait que la différence de ces deux intervalles est égale à K — i, comme nous l’avons vu il y a un instant, on a donc :
Par conséquent la différence des intervalles infléchis est la suivante :
On voit que l’inflexion est marquée par l’introduction ducomma majeur
dans cetle expression. Le caractère anharmonique de l’intervalle est toujours indiqué par la présence du comma anharmonique K.
Cela est général. Considérons un intervalle anharmonique quelconque, la seconde augmentée par exemple de /'à £ dans le mode mineur. Sa valeur est égale à un ton plus l’intervalle chromatique. L’intervalle harmonique le plus voisin est la tierce mineure qui vaut un ton plus un demi-ton diatonique, la différence est donc égale à celle des demi-tons diatoniques et chromatiques, c’est-à-dire à I\.
Infléchissons le fa du même intervalle en l’abaissant de y, conformément à ce qui se passe pour l’accord de septième de sensible mineur, cette inflexion ne fera qu’introduire dans la différence le comma majeury; la différence sera
§ 5. — Formation générale des intervalles anliarmoniques.
Les intervalles anliarmoniques naissent tout naturellement de la comparaison des sons qui composent la tonalité, comprise avec sa signification la plus générale, comme sur la figure (273) du chapitre précédent. Nous reproduisons cetle figure en (276) et nous marquons par des traits limités aux sons correspondants, les divers intervalles anliarmoniques tels qu'ils apparaissent.
Le plus important des intervalles anharmoniques est formé par la comparaison de la quinte diminuée à la quarte augmentée. Cette importance tient
à ce (+:
fait
) et
que,
par inflexion harmonique, ils forment >■
les
intervalles
complets
ni
— Edi elle diatonique majeure.
ni
— Echelle diatonique mineure.
Echelle des cadences.
ni
ni
— Echelle des « •lutions.
Modes secondaires
Jf
ni
m rn
— Seconde diminuée.
| — Seconde augmentée.
— Tierce diminuée.
— Tierce augmentée.
| — Quarte diminuée
Quarte argmenUV
— Quinte diminuée.
— Quinte augmor tée
$ (>. — Changements anharmoniques rationnels et changements artificiels.
Lorsqu’on envisage deux intervalles dont l’un est une inflexion anharnionique de l’autre, il y a toujours au moins un des deux intervalles qui est complet. L’autre est presque toujours incomplet. Il n’y a d exception que pour la quinte diminuée qui a pour inflexion anharmonique la quarte aug¬
mentée (—y~) î dans ce cas particulier, les deux intervalles sont complets ; c’est le seul.
Considérons le cas le plus général, et prenons comme exemple la seconde augmentée. Elle a pour valeur (-jj—) -f- (-^“) = ( I U ^ est 1111 î nterva ^ e
incomplet. Son infléchissement harmonique est (- 7 -) + — (“ 21 ")» c est
encore un intervalle incomplet. Quant à son infléchissement anharmonique il est représenté par la tierce mineure, soit 5 — ), soit son infléchissement harmonique (-£“)• Nous allons montrer qu'on peut toujours passer de l'intervalle incomplet à l'intervalle complet au moyen d'une attraction.
Considérons en eflet l’intervalle ) et cherchons à passer à Le quotient est bien 6 à une demi-unité près. On passerait de même à (-ji—) car le quotient à une demi-unité près est bien 7. On passerait de meme de (-yf-) à l’un quelconque des intervalles (-y-) 011 en vertu d’une
attraction. On voit du reste qu’il s'agit bien d'attractions réelles, puisque les empreintes qui s’attirent sont celles qui viennent en contact et que l'on sait que ces empreintes figurent parmi les empreintes distinctes, l’intervalle final étant complet.
Ces modifications correspondent par exemple à ceci :
Le son £ passe à f' en vertu d’une attraction réelle, on dit que c’est un changement anharmonique rationnel.
Le passage inverse du second intervalle à l’intervalle incomplet ne peut se faire en vertu d’une attraction, puisque l’on doit aboutir soit à des coïncidences d’empreintes additionnelles, soit même à des coïncidences purement fictives servant à énoncer l'intervalle, mais qui ne correspondent à aucune empreinte.On dit que c’est un changement anharmonique artificiel.
Nous avons signalé que, exceptionnellement, la quarte augmentée et la quinte diminuée étaient des intervalles complets tous les deux. Cet intervalle est donc celui qui se prête le mieux aux changements anharmoniques rationnels.
Dans ces changements anharmoniques, le mouvement du son se fait suivant le comma anharmonique K augmenté ou diminué de commas majeurs o umineurs. Ce mouvement est faible ; sur le tempérament il est nul et n’est marqué que par les sons indicateurs. Le son réel n’a pas bougé, seul le son repéré a subi l’altération.
§ 7. — Modulations aiiliarinoniques.
Les modulations anharmoniques sont celles qui utilisent les change¬
ments anharmoniques définis au § précédent. Ces modulations peuvent donc* avoir le caractère rationnel ou simplement artificiel.
Nous allons donner, au moyen d’un exemple, une idée de ce que peut être une modulation anharmonique rationnelle. Considérons, sur la première ligne de la figure (277), l’accord de septième de sensible t r f Z, et portons notre attention sur la quinte diminuée de t à /’ qui est bien caractérisée par les sons indicateurs r et L Adoptons le son t pour pivot, on peut, par attraction anharmonique, passer de la quinte diminuée de t à / à la quarte augmentée
au-dessus de t et f à une quinte au-dessus de Ces sons ^ et s sont substi-
$ 1 $ fi fi
tués aux sons r et /, en vertu d’attractions. Comme le second accord prend la forme d’un accord de septième de dominante, on fait cadence sur l’accord de f dans la tonalité duquel on peut ainsi aboutir.
de t à Cette quarte est caractérisée par les sons indicateurs au-dessus de t et s à une quinte au-dessus de Ces sons ^ et s sont substi-
... # fi fi
in s
Ün aurait pu prendre /'pour pivot et obtenir
qui marque la tonalité On voit (pie, par 1 anharinonie on peut atteindi* directement des tonalités très éloignées de celles d oii 1 on est parti.
Les modulations anharmoniques artificielles servent souvent à simplifier la notation, en diminuant le nombre des notes altérées. C’est ainsi que, si l’on est conduit par exemple à la tonalité *, on lui substituera tout d un coup la tonalité d , qui n’a plus d’armature à la clef.
§ 8. — Grandeur comparée des demi-tons diatoniques et chromatiques.
Des discussions se sont élevées sur le point de savoir lequel des deux demi-tons diatonique ou chromatique était le plus grand. On ne s’est pas entendu parce qu’on n’a pas parlé le même langage.
Les demi-tons normaux ont pour valeur (—|f-) pour le demi-ton diatonique, et ( ^ ■) pour le demi-ton chromatique. Nous disons tout d’abord que nous ne parlons pas des intervalles des sons réels, mais seulement des intervalles tels qu’ils sont repérés dans un cas comme dans l’autre, par les empreintes qui sont approximativement en présence. Les intervalles repérés prennent bien ces valeurs, même sur le tempérament, où les sons réels donnent l’égalité des deux demi-tons.
Mais les demi-tons ne possèdent pas rien que leur valeur normale, il arrive qu’ils peuvent être infléchis ; dans ces cas, les intervalles repérés subissent des inflexions qui en altèrent la grandeur relative.
Considérons par exemple le demi-ton diatonique, qui résulte de la différence d’une tierce majeure et d’une quarte.
Remplaçons la quarte par la quarte infléchie (-fs-), la différence devient :
Remplaçons la tierce par son infléchissement (-y-), on obtient :
Remplaçons enfin les deux intervalles chacun par leur infléchissement, on trouve :
Ainsi, d’infléchissement en infléchissement, le demi-ton diatonique repéré
peut prendre les quatre valeurs décroissantes (-{§-), (~p), (*—-) et (^-). Cette dernière est même inférieure à la tolérance, mais les sons qui forment l’intervalle ne peuvent pas être confondus réellement, car une quarte ne peut être confondue avec une tierce. C’est pour éviter de pareilles confusions que le tempérament moyen est indispensable, pour guider la marche des sons en général, ainsi que nous l’avons déjà indiqué.
Considérons de même le demi-ton chromatique, différence entre les tierces majeures et mineures :
Remplaçons successivement les tierces par leurs infléchissements, on trouvera :
Le demi-ton chromatique peut donc prendre la série des valeurs repérées suivantes (f~), ( ^-) et (|^-) qui vont en croissant.
La valeur relative des demi-tons chromatiques et diatoniques dépend donc uniquement des circonstances dans lesquelles ces intervalles sont amenés. Les infléchissements diminuent toujours le demi-ton diatonique repéré, et augmentent toujours le demi-ton chromatique repéré.
Quant aux sons réels, ils peuvent accuser des intervalles diflérents des sons repérés. Des chanteurs qui auront à articuler les successions suivantes :
placeront le £ tout près du l , dans (279) ; le ^ tout près du s, dans (280) ; le ^ à sa position repérée, dans (281). Ces sons £ et ^ subissent alors des inflexions pour accuser leur tendance, mais l’accord qui accompagne un pareil mouvement, malgré ces inflexions des sons réels repère les sons aux places théoriques. On peut voir du reste que M. Massenet comprend ainsi les choses puisque à la neuvième mesure de la méditation de Thaïs , les sons se présentent en progression ascendante, à la basse, avec ^ ' et r \ Le ' est donc bien
au-dessus du ^. Il est des cas où ce serait le contraire, exemple :
d’une part d’autre part
correspondent à un
r plus grave
que le
(Ton de l )
(Ton de r)
Revenons sur l’inflexion extrême du demi-ton diatonique, pour montrer dans quel cas elle peut se présenter. Parlons d’un son /'conformément au schéma 45, A l p = 3, et concentrons les sons obtenus conformément au schéma (48) A / p = 3, on obtient la figure (282).
Les deux sons m et f sont séparés par l’intervalle diatonique infléchi Ce mouvement peut se traduire par les accords suivants :
ou simplement :
