CHAPITRE

Faisceaux harmoniques

Pour préciser les notions qui précèdent, il est utile d’en donner une interprétation géométrique, au moyen de l’abaque généralisée. Nous dirons néanmoins que la lecture de ce chapitre n’est pas indispensable pour comprendre la suite.

S 1. — Généralisation de l'abaque.

L’abaque a été formée au moyen de deux droites OX et O Y , rectangulaires, sur lesquelles on prend à partir de Porigine O une série de points équidistants qui servent de point de départ à un quadrillage. Chaque point d’intersection A , figure (65), de deux lignes du quadrillage, ayant pour coordonnées les nombres p et q, correspond à l’intervalle Comme cet intervalle se

trouve représenté en fait par le coefficient angulaire de la droite OA sur O Y, on peut dire que la droite OA elle-même figure le son, tandis que la ligne O Z bissectrice des axes, représente le pivot.

Toutes les considérations sur l’abaque ne changeraient pas si les axes au lieu d’ètre rectangulaires étaient obliques. Les carrés du quadrillage seraient remplacés par des losanges. Bien plus, on peut adopter une échelle

différente pour représenter les abscisses et les ordonnées. Les losanges sont alors remplacés par des parallélogrammes. Dans tous les cas, le pivot O Z est figuré par la droite dont tous les points ont des abscisses égales aux ordonnées selon la convention des échelles. Les intervalles sont encore les coefficients

angulaires des droites issues de l’origine, coefficient exprimé numériquement conformément à la convention sur les échelles.

Soit B le point où la ligne AP coupe la droite O Z. Le point B a une abscisse égale à son ordonnée. La longueur BP est donc numériquement égale à l’ordonnée O P, mais cette longueur B P étant posée sur l’abscisse est exprimée selon la même échelle que AP. L’intervalle du son OA avec l’origine O Z est représenté par le rapport des longueurs réelles

En définitive, quand on connaît les axes obliques OX, O Y ainsi que le pivot O Z, en traçant à partir d’un point M quelconque de O Z les coor-

données Mx et My, on pourra prendre Ox ou My comme unité d’abscisses et Oy ou M .r comme unité d’ordonnées. Si on donne un son quelconque OA,

l’intervalle qu’il forme avec le pivot OZ sera représenté par le rapport donné ci-dessus

C’est ainsi que la connaissance des axes OX, O Y et du pivot O Z, commande entièrement la formation de l’abaque ainsi généralisée.

S 2. — Du changement de pivot.

Un son étant représenté par une droite issue de l’origine O, nous allons (aire voir qu’on peut choisir comme pivot un quelconque de ces sons.

Soient les axes 0 X, O Y et le pivot O Y. conformément aux généralisations qui précèdent. Considérons deux sons représentés parles lignes OM et OM i . Coupons le faisceau de ces droites par une parallèle à 1 axe des x, soit /h 1 rn z y.

La ligne O Y étant le pivot, chacun des intervalles formés par les sons OM et O M' avec O Y est donné par les rapports

Proposons-nous de changer de pivot et d’adopter pour ce nouveau pivot le son OM au lieu du son O Y. Nous vérifions qu’il suffit pour cela de suivre nos conventions :

Si O M devient le pivot, l’intervalle entre les sons OM 1 et OM doit être

Mais cet intervalle doit être aussi la différence des expressions (68), c’est-à-dire

La vérification est donc complète. Ainsi, moyennant les conventions faites, un système d’axes OX et O Y peut servir à représenter tous les sons au moyen de droites issues de l’origine. On peut d'ailleurs prendre pour origine des intervalles un son quelconque tel que O Z.

§ 3. — Sons ayant memes supports réels ou virtuels.

Considérons deux axes OX et O Y et soit O Z un son qui soit le support réel d’une série d’autres sons. Prenons le son O Z comme pivot, menons une

ligne M N parallèle à O X, et prenons sur cette ligne une série de points A, B, C, etc., tels que l’on ait

4 Z N etc.

Choisissons Z A’ comme unité des abscisses et joignons OA, O B, OC. Ces droites forment autant de sons qui sont à des intervalles de O Z marqués par les rapports

, etc.

Ces droites OA, OB, OC, etc., représentent donc les sons harmoniques de O Z. Ce dernier son forme donc leur support réel commun.

On verrait de la même manière que les divers sons qui ont un même support virtuel donné coupent une parallèle à O Y suivant une série de points dont les ordonnées seraient les multiples successifs de celle correspondant au support virtuel donné.

§ 4. - Sons conjugués et intervalles originaux.

Considérons deux sons OS et OS' , figure (70), formant entre eux un intervalle original. Prenons le son OS pour pivot.

L’intervalle entre les deux sons est donné par le rapport (-jfjr) des segments interceptés sur la parallèle M'Pk l’axe desx. Nous supposons par hypothèse

qu’il s’agit d’un intervalle original. Le rapport ”‘ p p forme donc un nombre entier A’, donc on aura :

Considérons un son intermédiaire OC e t voyons les conditions qu’il doit

iemplir pour être compris parmi les sons conjugués de l’intervalle original donné.

Prenons MP pour unité et OS pour pivot ; le son OC fait avec OS un intervalle (-~ ), il doit avoir pour support réel OS, il faut que l’on ait

K étant un nombre entier.

D autie part, 1 intervalle de 0 5* et de OC est ( —j. Considérons les triangles semblables KOQ et 10P, on trouve