M' P X A/ 1 Q = K X MP X K' Q A
Remarquons que l’on a, par hypothèse
A/ 1 P — N X MP , il reste donc :
C’est bien la condition obtenue au § 14, cliap. I.
S 5. — Représentation des trois sons de la théorie.
On sait que les trois sons de la théorie ont leurs vibrations proportionnelles à trois nombres consécutifs, ou bien à l’inverse de trois nombres consécutifs. Dans le premier cas, les trois sons ont même support réel, dans le second cas, ils ont le même support virtuel.
Examinons le cas du support réel commun, et soient :
les trois nombres consécutifs qui caractérisent les trois sons. Prenons le son intermédiaire pour origine, les intervalles sont :
Soient O.X, O Y, O Z trois droites qui figurent les axes et le son intermédiaire
pris pour origine, ligure (71). Soient A O et O B les deux autres sons. On aura :
et
B E étant supposé divisé en U parties égales, B C et B .4 seront égaux à une de ces parties, et on aura
Si on considère les quatre droites O. Y, O A , O B, OC, on voit que la parallèle à l’une d’elles, OX, est divisée par les trois autres en deux parties égales. Ces quatre droites forment donc un faisceau harmonique.
Ainsi, les trois sons de la théorie, lorsqu’ils ont même support réel, forment un faisceau harmonique avec l’axe OX. On verrait de la même manière que ces trois sons, lorsqu’ils correspondent à un même support virtuel, forment un faisceau harmonique avec l’axe O Y.
g 'G. — Nouvelle généralisation de l’abaque.
Soient les axes 0X et 0 Y et deux droites OS et OS 1 représentant deux sons quelconques. Je vais démontrer que le rapport anharmonique des quatie droites OX, O )\ OS et OS x représente l’intervalle des sons OS et OS 1 .
Menons une transversale quelconque coupant le faisceau en x, y , 5 et 5 1
et considérons successivement les deux rapports d’une part, et
d’autre part. Menons par s et s 1 les parallèles s a et v 1 a 1 a 1 axe O -Y, ainsi que s b et s i b à l’axe O Y. On aura :
- et
Faisons le quotient de ces deux égalités, nous trouvons :
Appelons g et «j 1 les coefficients angulaires des droites OS et 05 1 , on aura :
L’égalité précédente deviendra alors :
Le premier membre de celte égalité représente le rapport anharmonique des quatre droites OX, O Y, OS et OS 1 . C’est une quantité constante qui a pour valeur le rapport -A r .
Soit u le point où la droite s a coupe O S 1 les coefficients g et cr 1 peuvent s’écrire = g et - = g [ , par suite le quotient peut s’écrire * :
c’est-à-dire S J —. Sous cette forme on voit que le rapport représente l’intervalle des deux sons O S et O S 1 , intervalle qui est égal, par suite, au rapport anharmonique des quatre droites, comme nous l’avons annoncé. C’est une nouvelle généralisation de l’abaque, pour définir l’intervalle entre deux sons donnés.
Nous n’en dirons pas davantage sur ce sujet. Nous voulions simplement montrer les liens étroits qui unissent la géométrie à la musique. Nous avons pensé qu’il était curieux et utile de signaler ces liens, chacun pouvant donner à ce sujet, s’il le désire, tout le développement qu’il comporte.
On avait vu, par les considérations développées antérieurement, les rapports qu’il y a entre la musique et la théorie des nombres. Nous avons signalé également comment la notion des intervalles entraînait nécessairement celle des logarithmes. Enfin si on ajoute à ce qui précède les remarques que l’on pourrait faire au sujet des attractions, on peut dii*e que la musique touche au domaine de toutes les sciences.
