CHAPITRE VI

‘Périodicité

Si. — Premiers groupements des trois sons (/>).

Nous allons étudier, parmi les groupements de trois sons signalés au chapitre III, § 7, ceux qui n’utilisent que les deux premières empreintes, ou les deux premières fenêtres. Les intervalles parcourus ne comportent que les nombres un et deux. Ce sont les groupements (45) Pet (48) P, savoir :

Nombres : 0

Le premier correspond à un dédoublement direct première manière et le second à une concentration directe seconde manière.

Ce qu’il y a de particulièrement remarquable, dans ces groupements, c est qu en fait les trois sons se réduisent à deux ; le troisième se trouvant rejeté à l’infini, n’existe pas en réalité. Les deux combinaisons se réduisent à un simple intervalle, (~f~) ou (-4-), que nous avons appelé octave.

§ 2 . — Intervalle d’équilibre complet. — Quasi-identité des sons.

Considérons un son faisant avec son pivot l’intervalle (-y- ) ; ce son ne subira aucune attraction directe, car toutes les fenêtres sont couvertes par les empreintes paires du son. Il ne subira pas davantage des attractions indirectes, car les empreintes paires du son portent toutes sur des (enètres, tandis que les empreintes impaires sont en équilibre sur les points neutres du pivot ; cet équilibre quoiqu’instable doit en effet être retenu. Ainsi le son considéré est à l’état d’équilibre complet, direct ou indirect, sur le pivot.

Des considérations analogues s’appliquent à l’intervalle (-y).

11 résulte de ces explications que l’intervalle d’octave est un intervalle d’équilibre complet. 11 est d’ailleurs le seul, car tout autre intervalle comporte nécessairement, soit des fenêtres, soit des empreintes non couvertes par des empreintes, des fenêtres ou des points neutres.

Lorsqu’après avoir exprimé un son, on en exprime un autre à une octave au-dessus, celui-ci reproduit toutes les empreintes du premier par ses empreintes paires ; quant aux empreintes impaires elles tombent sur les points neutres du premier, c’est-à-dire sur les points les plus obscurs, elles sont donc en partie éteintes. Le second son reproduit en quelque sorte le premier à cause de l’impression quasi-commune qu’il donne; il y a quasi-identité.

Cette quasi-identité n’existe avec aucun autre intervalle, parce qu’un certain nombre des empreintes du son le plus élevé tombe nécessairement en dehors des empreintes ou des points neutres du son le plus grave.

§ 3 . — De l’intuition.

Considérons un premier son et prenons-le pour pivot ; exprimons ensuite d’autres sons formant avec le premier divers intervalles. Les sons considérés signalent sur le pivot les fenêtres correspondant à ces intervalles. Il est remarquable que jamais ces fenêtres ne sont signalées isolément, plusieurs d’entre elles sont toujours simultanément indiquées, ce sont celles des sons implicites qui forment les divers supports réels, supports dont les empreintes sont les seides qui conservent toute leur limpidité. Il résulte de ces faits que nos sens ne prennent pas à proprement parler la notion d’une empreinte isolée d’un son, mais celle d’un système d'empreintes formant les divers sons

implicites. Par habitude intuitive, lorsqu’un son est émis, nos sens considèrent ([ne ce son est composé, en ce qui regarde les impressions qu'il fait sur notre oreille, du son lui-même el de tout un cortège de sons implicites.

Parmi ces sons implicites dont nous avons la notion, par intuition, et en quelque sorte sans nous en douter, il en est un qui se signale plus particulièrement (pie les autres, en raison de la plus grande communauté d’impression qu’il possède avec le son donné, c’est celui qui est à une octave au-dessous.

S 4. — Les intervalles normaux, redoublés ou renversés donnent lieu aux mêmes attractions.

Un intervalle normal est plus petit qu’une octave.

Un intervalle redoublé est composé d’une octave plus l’intervalle normal.

Un intervalle renversé est égal à une octave, diminué de l’intervalle normal.

Les intervalles normaux, redoublés ou renversés développent intuitivement les mêmes attractions.

Considérons déjà les intervalles redoublés. Soit un son S et son pivot P, ligure (73), formant entre eux un intervalle redoublé PS.

St S

Considérons le son implicite S h situé à une octave au-dessous de S. Ce son Si forme avec P l'intervalle normal P S t qui correspond à l’intervalle redoublé P S. Le son Si est intuitivement détaché de *V et parfaitement perçu. De plus, ce son S L mis en présence du pivot P donne lieu intuitivement aux attractions de l’intervalle normal P Si ; le son S t peut donc se mouvoir en conformité de ces attractions, entraînant avec lui le son S, dont il fait partie intégrante. Le son S peut donc se mouvoir en conformité des attractions qui résultent de l’intervalle normal.

Réciproquement, considérons un intervalle normal P 1 .S’ 1 , figure (74), et envisageons le son implicite P\ à une octave au-dessous du pivot. Le

son S x se trouve en présence du son P \et en subit intuitivement les attractions. Le son 5' peut ainsi se mouvoir en conformité des attractions qui résultent intuitivement de l’intervalle redoublé P\ 5 1 .

Un intervalle redoublé peut donc donner lieu intuitivement aux attractions de l’intervalle normal, et réciproquement ; par conséquent l’intervalle normal possède les mêmes attractions, intuitivement, que l’intervalle redoublé.

Notre démonstration a été faite en admettant des intervalles positifs. Elle se ferait de même avec des intervalles négatifs, au moyen des figures 75) et 76'.

Considérons de la même manière les intervalles renversés. Soit un intervalle normal positif P S , figure (77). Le son implicite S it à une octave audessous de 5, forme avec P l’intervalle renversé P S<.

par le pivot sur le son intuitif S t ; clone le son 5, cpii suit parallèlement le mouvement de Si puisque celui-ci en est une partie, peut se mouvoir en vertu des attractions de l'intervalle renversé P S t

Réciproquement, soit P 1 S 1 un intervalle qui serait le renversement de P S , figure (78 ; considérons le son implicite P\ à une octave au-dessous

de P x . Ce son intuitif P\ mis en présence du son S i , développe les attractions dues à l'intervalle P\ A' 1 , renversement de P 1 S'. Le son S 1 subit donc les attractions d’un intervalle P S, puisque l’intervalle P\ S 1 est égal à P S.

Donc tout intervalle normal possède intuitivement les atti’actions de son renversement et réciproquement ; par conséquent toutes leurs attractions sont intuitivement communes (1).

§ 5 . — Périodicité.

Considérons un pivot P et un son S, il résulte de ce qui précède que tous les sons .S ' 1 5 11 .V " 1 ou .Si .S ' 2 S 3 , placés à des octaves du son S , subissent de la part du pivot les mêmes attractions (intuitivement bien entendu). Tous ces sons ont donc tendance à se mouvoir parallèlement, figure 79).

(I) Ou peut vérifier que, avec les intervalles consonnants, ainsi qu’on le verra par la suite et qui sont ( * 7 “)» (-jp) ^ es attractions réelles les plus caractéristiques sont les mêmes que

pour leur renversement : (- 4 -), (-§“)> sans qu’il soit besoin de faire intervenir la notion

intuitive sur laquelle nous avons basé notre démonstration pour lui donner un caractère général. En réalité la périodicité aurait pu s’établir sans l’intuition, mais avec une généralité diminuée.

On peut dire de la même manière, en considérant une série de pivots P' P" P'" ou P { P 2 P 3 , placés à des octaves de P, que ces divers sons pris comme pivots exercent les mêmes attractions (intuitivement bien entendu que le pivot P, figure (80 .

L’ensemble de ces faits constitue ce qui caractérise la périodicité, savoir, qu’après le parcours d’une octave, le son subit les mêmes infiuences, ou provoque les mêmes attractions.

ü. — Incompatibilité-

Les attractions d’un son dépendent de l’intervalle qu’il forme avec le pivot. On vient de voir que ces attractions se reproduisent périodiquement à chaque période d’octave. Nous devons faire remarquer qu’il ne peut exister aucune autre période que l'octave.

On sait en effet que, si deux périodes existaient simultanément, ces deux périodes devraient en fait se réduire à une seule qui serait commune mesure des deux périodes données. Si cette commune mesure n’existe pas, c’est que la fonction n’existe pas non plus ou, pour mieux dire, qu’elle se réduit à une constante.

Soit (-J") un intervalle qui correspondrait à une seconde période. La grandeur réelle de cet intervalle peut être représentée par Log. (-^-). La période d’octave est alors égale à Log. 2. Ces deux quantités n’ont en général aucune commune mesure, à moins que -jj- ne soit une puissance de 2 positive ou négative. 11 y a donc impossibilité en général d avoir une seconde période, et quand cela devient possible, cette seconde période est un multiple d’octave et n’est pas distincte de la première.

La période d’octave s’impose avant tout, si donc il arrive que, par les combinaisons adoptées, on donne prise à la supposition d’une autre période, on tend à réaliser une chose impossible que nos sens ne manquent pas de nous

révéler. C’est en cela que consiste ce que nous appelons l’incompatibilité, fait qui joue un grand rôle dans la musique et qui engendrera l'anharmonie, comme nous l’exposerons dans la suite.

§ 7. Comparaison avec le mouvement circulaire. — Identification des sons périodiques.

Considérons une circonférence dont la longueur serait égale à une octave. Imaginons qu’un point, mobile sur celte circonférence, représente un son. A chaque tour, le son reprend la même position, il y a quasi-identité C’est l’équivalent de ce qui se passe pour la mesure des angles. Un intervalle normal correspond à un angle plus petit qu’une circonférence. Après un parcours de plusieurs octaves, le son reste quasi-identique, comme l’angle qui dépasse une circonférence reprend en quelque sorte sa valeur primitive, à des circonférences près.

Les sons périodiques portent le même nom, comme pour indiquer en quelque sorte l’identité de position qui résulte du déplacement d’une circonférence entière.

§ 8. — Etat particulier et état général d’un son. — Etat particulier et état général d’un intervalle.

Considérons un son S. Tous les sons tels que S‘ S“ S'", etc. ou Si Si S 3 , etc., espacés entre eux d’octave en octave, portent le même nom, conformément à ce qui vient d’être dit. Toute cette série de sons ne sont donc, en quelque sorte, chacun pris en particulier, qu’un état particulier d’un même son. L’ensemble de tous ces sons constitue au contraire ce qu’on peut appeler l’état général d’un son.

Si on considère l’état général d’un pivot P, formé des pivots P' P 1 ' P' u , etc. et P\ P> P 3 . etc., on peut associer les deux états généraux du son et du pivot, figure (81), nous aurons alors ce qu’on peut appeler l'état général d’un intervalle, par opposition à l’état particulier d’un intervalle, lequel serait l’intervalle réel entre un son quelconque de la série ô’, et un son quelconque

Avant d’aller plus loin, il convient de remarquer que la musique, telle

qu’elle peut résulter des combinaisons obtenues directement de la théorie

des trois sons, ne comprend que des intervalles primaires. Les intervalles originaux utilisables doivent résulter de nombres p ayant la forme 2 n + 1. Cela donne pour les valeurs admissibles de p , directement utilisables, 3, 5, 7 et 9. Les intervalles originaux qui proviendraient des nombres premiers absolus 11 et 13, ne peuvent pas être révélés. Nos sens ont du négliger les impressions qui en résultent ainsi que celles qui correspondent à tous les autres nombres premiers supérieurs ; ces faits seront confirmés quand nous traiterons de la dissonnance.

Quant aux intervalles originaux supérieurs, formés de nombres dans lesquels il n’entre que des facteurs premiers 3, 5 ou 7, s’ils ne sont pas révélés directement, ils peuvent tout au moins naître de différences, comme, par exemple :

§ 10. — Répliques et repos.

Considérons un pivot P faisant avec un son S un intervalle original qui, ramené à 1 intervalle normal, ait pour valeur ^—L- Le support réel est formé parle son implicite du pivot d’ordre 2 n . On en conclut que l’expression du son 5, venant après celle du pivot, contribue à répéter ce pivot par le moyen du support réel, et on dit que le son S est une réplique du pivot. Quant au son S lui-même, c’est un son harmonique du support réel, c’est-à-dire un son harmonique du pivot à des octaves près. La réplique d’un son se confond donc à des octaves près avec un son harmonique ; c’est un son qui n’est pas contenu dans 1 expression du pivot, c’est un son nouveau ; il reproduit bien le son du pivot, mais par un de ses sons implicites, celui dont l’ordre est p.

Considérons un pivot P [ faisant avec un son S x un intervalle original, qui, ramené à l’intervalle normal, ait pour valeur Le support réel est formé

par le son implicite d’ordre 2 rî du son «S 1 . On conclut que ce support réel porte le meme nom que le son S'. D’un autre côté ce support réel forme un son implicite d ordre q du pivot. Le son S [ est donc à des octaves près un son implicite du pivot ; ce son S [ est contenu implicitement dans l’expression du

pivot P x , ce n’est donc pas un son nouveau. Le son .S ' 1 ainsi obtenu forme ce que nous appellerons un repos du pivot l n .

On a vu que les intervalles originaux qu’il est permis de former directement en vertu de la théorie des trois sons résultent des seuls nombres

Les intervalles originaux correspondants, ramenés à l’intervalle normal primaire correspondant, sont donc les suivants :

Repos du pivot :

Nous désignerons les diverses répliques d’un son pris pour pivot par les lettres : R 3 , /fs, R- et /fg, en portant en indice le nombre caractéristique de l’intervalle. Nous désignerons de même les repos par : r 3 , r 6 , r-„ /‘g. Nous donnons, avec la figure (82), le schéma représentatif des répliques et des repos d’un son P et P 1

Répliques :

Repos :

1! résulte des explications données ci-dessus que l’expression de deux sons qui forment entre eux un intervalle original, n’amène directement la

notion d’aucun autre son, parce que le support réel aussi bien que le support virtuel ne sont pas autre chose, à des octaves près, que les sons de l’intervalle.

Sous la forme (~^r )> c’est le pivot qui se réfère au support réel et le son au support virtuel.

Sous la forme )? c’est au contraire le pivot qui se réfère au support virtuel et le son au support réel.

S 11. — De la notion de direction. — Incohérence.

Tous les intervalles originaux que nous venons de définir résultent de la théorie des trois sons. Pteportons-nous au chapitre III qui s’applique exclusivement aux attractions directes; nous voyons que les intervalles originaux sont parcourus ainsi :

Le premier descend. Le second monte