DIAMÈTRES

Avec la valeur de / égale à 134 kilos.

0BSER7ATI0NS

au-dessus du sol.

extérieur .

intérieur;

Cheminée de Port de Dun ders (Glascow).

lm,52

Il y a, jusqu’à

15 mètres du sol, un doublage en briques réfractaires, isolé de la cheminée proprement dite.

Cheminée de l’usine à fonte de West Cum berl and, près Workington.

0m socle 0,60 fût

Construite en 1867.

Reçoit les produits de la combustion de 101/2 tonnes de charbon à l’heure et provenant de quatre hauts-fourneaux, des chaudières, etc. Les assises, sur 0,60 de hauteur, s’élargissent jusqu’au sol. Sur le béton de fondation, la pression est de 2k, 2 par centimètre carré.

Au-dessous du béton, qui a 0,90 d’épaisseur, la pression sur le sol est lk,75.

Tous les lm,20, les assises reçoivent des fers feuillards.

Pour le premier type, le volume de la maçonnerie est d’environ 2650 mètres carrés. Le calcul donne pour le

second type : premier rouleau, vers le sommet, 12hm c ,36 de maçonnerie ; pour le deuxième, 196 mètres cubes; pour le troisième, qui part de 0m,60 du sol, 313mc,21. Le total est 634me,S7.

Les valeurs de R résultent des calculs suivants :

Cheminée de Dunders,

dr 9,7 8 + 8,38 ;

Cheminée de West Cumberland,

10. Il y a une compression sur toute la base pour la première cheminée ; il y a une extension au point ( — r) pour la seconde. Remarquons que la valeur de cette extension ne dépasse pas la limite du dixième de la charge de rupture de la brique soumise à une extension. Quant aux nombres 19k, 70 et 18k, 16, ils ne donnent lieu, pour le moment, à aucune interprétation, parce que la résistance absolue des matériaux employés nous est inconnue.

Ce qui résulte de la comparaison de ces nombres, c’est la certitude que, dans les dispositions adoptées par M. Rankine, l’ouverture du joint est très faible. Du moins, en modifiant légèrement les dispositions du second type, on aurait pu arriver à la rendre nulle complètement, comme pour la cheminée de Dunders.

M. Rankine a énoncé la règle suivante : « Une pression de 268 kil. par mètre carré de surface plane exposée au vent directement et normalement — qui revient à 134 kil. par mètre carré de la projection plane d'une surface cylindrique — ne doit, dans aucune assise, faire dévier la résultante du poids des matériaux et de la pression du vent combinés de plus de -f du diamètre extérieur de cette assise. »

Si M. Rankine avait dit : diamètre intérieur, au lieu de diamètre extérieur, il aurait entendu supprimer l’ouverture du joint, comme on va le démontrer. D’ailleurs, dans les deux exemples proposés, la différence entre le quart du diamètre intérieur et le quart du diamètre extérieur est peu considérable, relativement au diamètre proposé.

11. Soit x l’abscisse du point G, où la résultante du poids de la maçonnerie et de la pression du vent rencontre la section considérée AB. Ce point G est aussi le point d’application de la résultante des forces élastiques dévoloppées dans cette section, puisque ces dernières doivent faire équilibre au poids de la maçonnerie et à la pression du vent.

Si on prend le moment de ces forces par rapport au point G, on voit que le moment de la poussée du vent est égal à P x. Mettons cette valeur à la place de dans la formule de la flexion plane , on a, après le groupement des termes,

Si R=0 au point — r, on aura r2+r'2 — 4r#=0. Pour que les racines de cette équation en r soient réelles, il faut que l’on ait 2 x>rf. La valeur de r, déduite de cette équation, est

si on prenait le signe — devant le radical, on aurait des valeurs de r plus petites que /, ce qui n’est pas une solution du problème proposé. L’expression r2+r'2 — 4 rx est positive pour des valeurs de r plus grandes que ri et pour toutes les valeurs de r lorsque 2x </. L’équation rl-)rr,~Jrlkrx = o a des racines réelles et négatives si 2 #>/; son premier membre est donc positif pour les valeurs positives de r que nous considérons.

Les équations (1) peuvent s’écrire :

% R- ' (t*4 — r /4) — P (r2 + r /2 — 4 rx) — o k R (y4 — r /4) — P (r + r '2 + 4 r x) =: o

La seconde indique qu’au point + r il y a toujours une compression; elle ne peut, en effet, si R est négatif, admettre pour racine une valeur de r plus grande que r', car son premier membre est négatif pour r = /, et il le serait encore pour toutes les valeurs r> r'.

Pour discuter la première équation, prenons des valeurs constantes de P et de x , puis cherchons le signe de R' pour des racines r plus grandes que r'.

1° r'> 2x. Le premier membre de cette équation est négatif pour r = r'; pour qu’il puisse s’annuler avec une valeur il est nécessaire et suffisant que R/ soit

positif. Dans ce cas, il y a une compression au point — r, mais il n’y a pas de valeur r qui donne R' = 0 ;

2° r' = 2x. Pour avoir R' = 0, il faudrait prendre r=r'j ce qui est impossible. Toute valeur r>r', qui satisfera à l’équation, répondra à une valeilr de R' positive. Dans ce cas, il y a encore une compression au point — r et il est impossible d’y faire R'=0;

3° r’ < 2 x. Pour avoir R' = 0, il suffit de faire r = rK , r{ étant la racine de l’équation r~ -(- r12 — krx — 0 calculée précédemment. Pour des valeurs de r^>r{ on aurait au point — r une compression et on aurait une extension pour des valeurs d er<r,.

12. La règle de M. Rankine est justifiée nécessairement dans les deux premiers cas ; elle l’est aussi dans le troisième cas pour des valeurs de r>r4, qui donnent une compression, et pour des valeurs d e r<rt, mais qui en diffèrent d’une quantité plus petite que

Dans tous les cas, il faut tenir compte de la seconde équation, et s’assurer que la valeur de R ne dépasse pas la limite adoptée pour la force élastique de compression.

Nous substituerons le rapport à celui de M. Rankine, à cause de son utilité dans la discussion des équations, et nous dirons que la résultante du poids de la cheminée et de la pression du vent doit rencontrer la

section AB en un point tel que le rapport —r d iffère peu de l’unité.

13. Remarques. — 1° La longueur x s’obtient en exprimant que le moment de la pression du vent, par rapport au point G, est égal au moment du poids par rap-

fjfî 1 ^y*\

port au même point ; on a ainsi x — - — g-——- ~ • la cheminée de Dunders, x est égal à peu près au quart

du diamètre intérieur. Pour la cheminée de West Cumberland, x est un peu plus grand que le quart du dia^mètre extérieur. Le calcul nous a donné lm,93 ; M. Rankine a trouvé lm,90. Or, nous avons adopté pour poids

spécifique lk,7 en nombre rond, ce qui donne ^ =8k38,

tandis que M. Rankine a obtenu ^ = 8k,5, ce qui répond

à un poids spécifique égal à lk,72 pour le même volume de maçonnerie de la cheminée. Ces différences étant petites et justifiées, elles n’ont plus d’importance;

2° Pour trouver l’axe des points neutres , c’est-à-dire l’axe de rotation d’une section déterminée par des valeurs particulières de r et de r', il faut résoudre par rapport à a l’équation r2 -\-r'2- \-kxa= o.

La figure précédente résume la discussion précédente et montre clairement aux yeux la répartition des forces élastiques.

APPLICATION AUX CHEMINÉES DE SAINTE-MARIE (Montceau-les-ü sines , Saône-et-Loire)