CHAPITRE PREMIER De la viscosité en général
§ i . Diverses hypothèses émises touchant la viscosité. '
Nous serons guidés, dans le choix des hypothèses relatives au frottement, par l'étude de la viscosité, étude que nous avons déjà ébauchée ailleurs (*) et que nous allons reprendre d'une manière approfondie.
La considération de la viscosité s'est présentée pour la première fois dans l'étude des mouvements des fluides.
D'Alembert avait déduit les équations du mouvement des corps fluides des équations de leur équilibre au moyen du principe qui a gardé le nom de l'illustre géomètre et dont Lagrange a fait le fondement de la dynamique classique/Dans un grand nombre de cas, les équations de l'hydrodynamique, déduites du principe de d'Alembert, ne s'accordent point avec
(*) Le manuscrit de cette partie a été déposé sur le bureau de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux le 20 février 1805. En même temps, M. Ladislas Natenson présentait à l'Académie de Cracovie, sous ce titre : Sur les lois des phénomènes irréversibles (Bulletin international de V Académie de Cracovie, mars 1896), un mémoire où sont développées des idées analogues à celles que Ton trouvera ici, touchant la viscosité; qu'il nous soit permis de nous féliciter de cette concordance.
( 2 ) P. Duhem, Commentaire aux principes de la thermodynamique, 3 e Partie (Journal de mathématiques pures et appliquées, 4* série, t. X, p. 203, 1891).
les résultats de l'expérience; on dit alors que le fluide est visqueux.
Navier (*) s'est proposé le premier de donner une théorie de la viscosité des fluides incompressibles; pour former cette théorie, il ne révoqua pas en doute l'exactitude du principe de d'Alembert; mais il supposa que l'on devait .appliquer ce principe à des systèmes autrement constitués que ceux que l'on avait imaginés jusque-là pour représenter les corps fluides. Au lieu de les traiter comme dés systèmes matériels continus, soumis seulement à des actions extérieures, Navier, conformément aux idées de Laplace, les regarde comme formés de points matériels distincts entre lesquels agissent certaines actions moléculaires, sensibles seulement à de très petites distances, a: Nous admettrons, dit-il, que, dans un fluide en mouvement, deux molécules qui s'approchent l'une de l'autre se repoussent plus fortement et que deux molécules, qui s'éloignent l'une « de l'autre se repoussent moins fortement qu'elles ne le feraient si leur distance mutuelle ne changeait pas ; et nous prendrons pour principe, dans les recherches suivantes, que, par l'effet du mouvement d'un fluide, les actions répulsives des molécules sont augmentées ou diminuées d'une quantité proportionnelle à la vitesse avec laquelle les molécules s'approchent ou s'ëloignent les unes des autres. »
Poisson (*), traitant de son côté la viscosité des fluides, en cherche également la raison non pas dans une modification des équations mêmes de la dynamique, mais dans l'intervention d'actions moléculaires qui sont aussi celles qui expliquent la rigidité des solides élastiques.
(') Navier, Mémoire sur les lois du mouvement des fluides, lu à l'Académie des Sciences le 18 mars 1822 (Mémoires de V Académie dès Sciences pour l'année 1823, t. VI, p. 389).
(*) Poisson, Sur les équations générales de V équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et fluides (Journal de l'École polytechnique, 20 e cahier, t. XIII, p. 4, 1831).
Stokes (*), en étudiant Ja même question, introduit dans les équations de l'hydrodynamique les termes relatifs à là viscosité sans aucune explication sur l'origine de ces termes. t LQrd,Rayleigh( 2 )f étudiant d'une manière générale la viscosité d'un système en mouvement, se contente de l'attribuer « au frottement et aux autres causes de dissipation de l'énergie ».
Il n'est d'ailleurs pas douteux qu'une partie de la viscosH^ des fluides n'est qu'une viscosité apparente, destinée à tenir compte de petits mouvements tourbillonnaires que l'on ne veut point considérer directement, afin de se borner à la considération des vitesses moyennes, variables d'une manière continue; d'une partie à l'autre de la masse fluide. M. Boussinesq ( 3 ) a donné de grands développements à l'étude de-cette viscosité apparente, dont on doit nécessairement tenir compte si Von veut que l'hydraulique cesse d'être, selon l'expression de Saint-Venant (*), une désespérante énigme.
Dans notre Commentaire aux principes de la thermodynamique, nous avons considéré les termes relatifs à la viscosité comme des termes figurant essentiellement et nécessairement dans les équations du mouvement de tout système ; nous conserverons ici cette manière de voir, qui d'ailleurs n'exclut nullement l'existence, à côté des termes qui représentent la vicosité réelle, de termes correspondant à une viscosité apparente et tenant compte en bloc de petites perturbations : locales que l'on ne veut pas analyser en détail.
(*) Stokes, On the théories of the internai friction pf fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastics solids (Cambridge Philos. Society, vol. III, p. ,jg7, 1845. Stokes papers, 1. 1, p, 75).
(') Lord Raylei£h, Some gênerai theorems relating to vibrations (Proceedings ofthe Lpndon mathematical Society, vol. IV, p. 357, 1873). — Thcory pf sound, 1. 1, § 82. * '
(*) Boussinesq, Essai sur la théorie des eaux courantes (Mémoires des Savants étrangers, t. XXIII).
(*) De Saint-Venant, Sur V hydraulique des cours d'eaux (Comptes rendus, t. LXXIV, 1872).
§2. Vico site dans un système de température uniforme, indépendant des corps extérieurs.
Considérons un sytème indépendant des corps extérieurs (*), ayant la même température en tous ses points. Soient T cette température et a, f$, ..., X les variables normales qui, jointes à la température T, définissent l'état du système. Soit 9 (a, p, ..., X, T) le potentiel thermodynamique interne du système ; soit l la force vive ; soient enfin A, B, ..., L les actions extérieures qui sollicitent le système; posons, pour abréger,
dt~*'dt~*' •••• àt~ km Nous aurons (*)
(3) ) + d$ dtd&+'t "'
d&-§) d dZ L+ ^X dtd\' + n - '
Dans ces égalités, /«, fy, ..., ft sont les résistances passives ou résistances de viscosité qui ont leur siège dans le système. Ces diverses quantités sont supposées dépendre :
1° Des variables a, f$, ..., X, T qui définissent l'état du système étudié ;
„ „ .../ da d& dX
2» Des quantités w , -^, ..., TfV
(*) P. Duhem, Commentaire aux principes de la thermodynamique, 1" Partie, Chapitre I, n°5 (Journal de mathématiques pures et appliquées, 4* série, t. VIIL p. 280, 1892).
(-) P. Duhem, loc. cit., 3* Partie, Chapitre II, n° % (Journal de mathématiques pures et appliquées, 4 e série, t. X, p. 223, 1894).
Elles s'annulenlt lorsque Ton a
__d<% A dg . „ «IX ^
d* w ' d* u * ■•- df • > Hors de ce cas, le trayait des résistances de viscosité
( da x d& - -dXY -.r.
ner peut être que négatif; toutefois, ce travail né dépend pas du déplacement absolu que le système subit dans l'espace pendant le temps dt; il ne dépend que du changement d'état des diverses parties du système et du changement de position relative de ses diverses parties ; si le système éprouve seulement un déplacement d'ensemble sans que ces diverses parties changent d'état ou de position relatives, ce travail est nul.
La quantité de chaleur dégagée par une modification infiniment petite d'uir système indépendant des corps extérieurs, dont tous les points sont à la même température, a pour valeur
(4) dQ = — (R«d<% + Rpdp -f- ... -h R;dX -h CdT)
R«, Rp, ..., R>, C ayant des valeurs qui, d'après le principe de la conservation de l'énergie, vérifient les égalités
oa aa dt ocl
dV àt d dt • __
aX dk dt o\'
égalités dans lesquelles U désigne l'énergie interne du système Si l'on observe que l'on a
22 P. DOHEM.
ces égalités (5) peuvent encore s'écrire :
du -dndl - à* * 4fà*
à? T àfidT dfi* dtW~ h
d9 „ &9 3« à dt „ n
dï "~ T dïd? ~ 1\ t Tt àU " L - ERl '
ou bien,, en vertu des égalités (3),
ER > == - T ?XdT + A '
L'entropie S du système vérifie l'égalité
dV
en sorte que les égalités (6) peuvent encore s'écrire de la manière suivante :
à* .fa
D'après les égalités (4) et (7), la quantité de chaleur dégagée par le système durant une modification élémentaire a pour valeur
On i donc
dQ T
.„ 1 /, da ., dp . d\\
et, en intégrant pour un cycle fermé,
(8) Ao__i C fa Tt +f? Tt + - + A d* J ? ~~ Ej t
tfl.
Or, sauf pour une modification qui se réduit à un déplacement d'ensemble du système, on a
Donc, d moins çwe le cycle fermé considéré ne se réduise à une suite de déplacements d'ensemble du système, ramenant ce système à sa position primitive, on aura l'inégalité
C'est la célèbre inégalité de Clausius.
§ 3. Viscosité dans un système formé de parties de températures différentes, indépendantes les unes des autres et des corps extérieurs.
Du cas précédent, on déduit aisément les lois relatives à ce cas, comme nous l'avons montré ailleurs (*); il n'est point nécessaire de rien ajouter ici à ce que nous avons établi touchant un pareil système.
(*) Commentaire aux principes de la thermodynamique, 3 e Partie, Chapitre II, n° 6 (Journal de mathématiques fur es et appliquées, 4« série, t X, p. 235). .
§ 4. Viscosité dans un système formé de parties portées à des températures différentes, qui présentent entre elles des liaisons bilatérales, mais sont indépendantes des corps extérieurs.
II est; au contraire, nécessaire de revenir en détail sur le cas que nous venons de définir et que nous n'avions point traité, jusqu'ici (*), d'une manière entièrement exacte.
Supposons un système formé de plusieurs parties, deux par exemple, que nous désignerons par les indices 1 et 2, et que nous supposerons indépendantes les unes des autres. Chacune des deux parties a une température uniforme, mais la température absolue T, de la partie 1 est différente de la température absolue T, de la partie 2.
La partie 1, considérée isolément, a une énergie interne Y, et un potentiel thermodynamique interne 9 t .
La partie 2, considérée isolément, a une énergie interne Y t et un potentiel thermodynamique interne & t .
Le système formé de ces deux parties a une énergie interne U donnée par l'égalité
W étant une fonction dont nous avons fixé les caractères dans notre Commentaire aux principes de la thermodynamique. Le potentiel thermodynamique interne du système sera
Soient a t , § t , ..., \ les variables normales qui définissent la partie 1, considérée comme un système indépendant; soient *t> Pt> •••> K> ' es variables normales qui définissent la partie 2, considérée comme un système indépendant.
( 4 ) Commentaire aux principes de la thermodynamique, 3« Partie, Chapitre III, n° 1 (Journal de mathématiques pures et appliquées, 4* série, t. X, p. 255).
Considérons une modification, réelle ou virtuelle, en laquelle chacune des parties i et 2 conserve sa température; soient
les variations qui définissent cette modification. Nous aurons, quelles que soient ces variations,
C'est la formule fondamentale du mouvement des systèmes étudiés.
Imaginons maintenant que les parties 1 et 2 présentent certaines liaisons bilatérales, indépendantes les unes des autres, exprimées par les équations
(12) j m; 8 «, -h ...•+ p;sx t 4- M;8o 1 -+ ... 4- p;8x t = o,
La première de ces liaisons suppose les parties 1 et 2 en contact soit en un point, soit en plusieurs points, soit en un nombre illimité de points formant une ligne ou une surface. Considérons la portion du corps 1 et la portion du corps 2 qui sont infiniment voisines de l'un des points de contact; supposons qu'à l'instant t la vitesse relative de ces deux parties soit infiniment petite; nous dirons que les parties 1 et 2 sont, à l'instant t , soudées en ce point ; s'il en est de même de tous les points de contact correspondant à la première liaison, nous dirons qu'à l'instant t, cette liaison constitue une soudure.
Nous emploierons un, langage analogue pour les autres liaisons. ,
Nous supposerons que l'on puisse placer les corps 1 et 2
26 P. DUHEK.
qui constituent le système de telle sorte qu'ils soient infiniment rapprochés sans se toucher, puis établir entre eux d'abord les contacts correspondant à la première liaison (12), puis les contacts correspondant à la seconde liaison (19), etc.
Soient U et 9 l'énergie interne et le potentiel thermodynamique interne du système infiniment voisin de l'état où il présente les liaisons (12), mais où, cependant, les contacts correspondant à ces liaisons ne sont pas encore établis ; ces fonctions sont déterminées par les définitions rappelées au commencement de ce paragraphe; lorsque les parties 1 et 2 tendent à venir au contact, ces fonctions tendent vers des limites que nous désignerons par les mêmes lettres U et 9 et que nous nommerons énergie interne et potentiel thermodynamique interne du système à liaisons.
Soient % i9 $„ la force vive du corps 1 et la force vive du corps 2.
Soient A„ ..., L, les actions que les corps étrangers au système exercent sur le corps 1 ; A„ ..., L, les actions que les corps étrangers au système exercent sur les corps 2.
Cela posé, nous formulerons les hypothèses suivantes, qui se déduisent, par une extension naturelle, des résultats déjà obtenus.
Hypothèse I. — Si Von désigne par Sa» ...,&„ 8a,, ..., 8X 9 des quantités quelconques vérifiant les inégalités (12), on a, à tout instant t du mouvement du système, l'égalité
(13) L At — ^ — «■^ + * i J * l +
+ |> ^ TtdK +9 ^- Q -
Hypothèse IL — Les fonctions g at , ..., g x dépendent de
a t , ..., À 4 , 1 4 , a î5 ..., Àj, 1 8 , dct i d\ t da t dX,
Elles s'annulent toutes si la seule modification éprouvée par le système pendant le temps dt est un mouvement d'ensemble qui nWtèrv'niTétât,yii Id position relative de ses diverses parties.
Hypothèse ÏIT. — Buts ce cas, Vëxpréssion
ne peut être que négative.
Hypothèse IV. — Comparons deux systèmes Uifeiiment peu différents l'un de l'autre et animés de vitesses infiniment peu différentes ; le premier présente certaines liaisons, correspondant à certains contacts ; dans le second, ces contacts sont infiniment près d'être établis, mais ne le sont point encore. Dans le premier, les résistances de viscosité sont
dans le second, ces résistances sont
Les différences
ig*i — K)> — (0x t — *x,)* (0«. — *«.)> •••» (0x, — *x,)
sonf déterminées lorsque Von connaît, pour chacun des points de contact qui existent dans le premier système et n'existent pas dans le second, Vétat des portions de matière qui sont infiniment voisines du point de contact et la vitesse relative de Vune des deux parties en contact par rapport à Vautre.
Ces différences s f annulent si les liaisons qui existent dans le premier système et manquent- dans le second sont des soudures.
•- :-Vy
•IMMIIC
28 P. DJHEM.
Hypothèse V. -~ Hors ce cas, la différence
da 4 éTks da 9 dX.
1 d* A » df ' d( •* dt ■*
est assurément négative ; elle ne dépend, elle aussi, que de ïélat et des vitesses relatives des parties en contact.
Ces hypothèses posées, considérons deux systèmes infiniment peu différents l'un de l'autre et dont les diverses parties sont animées de vitesses infiniment peu différentes ; le premier est composé par les deux corps 1 et 2, infiniment près de présenter les contacts qui correspondent aux diverses liaisons (12), mais, cependant, encore indépendants l'un de l'autre; dans le second, les contacts correspondant à la première liaison (12) sont établis ; les autres sont infiniment près de L'être, mais ne le sont pas encore.
Dans le premier système, les résistances de viscosité sont
/«i» •••» Ai» /*«> •••» A»«
Si la première liaison (12) est une soudure, elles ont la même valeur dans le second système; sinon, elles ont pour valeur
F ai , -.., F> t , F a ,, ..., F>, dépendent de l'état que présentent les parties des corps 1 et 2 qui deviennent infiniment voisines par les contacts considérés et de la vitesse relative de chacune de ces parties par rapport à la partie qu'elle touche. L'expression
da t dX 4 dX t
1 dt dt dt
est une quantité négative qui ne dépend que de l'état et des vitesses relatives des parties que la première liaison (12) met en contact.
Si, maintenant, nous établissons la seconde liaison (12), nous prouverons d'une manière analogue que nous devons
avoir, pour résistances de viscosité/ des expressions de la
forme
fa % ■+• F« t •+• Fi,,
f\ + F>; + Fi t ,
les quantités F a| , ..., F^ , s'annulant si la liaison établie par la seconde égalité (12) est une soudure ; sinon, les quantités Fi t , ..., F^ ne dépendent que de l'état et des vitesses relatives des parties infiniment voisines des contacts établis par cette liaison ; l'expression essentiellement négative
*«i ~7T + •'• "*~ *\ ~TT
dépend des mêmes variables.
Ainsi, pour tout système de valeurs 8<x„ ..., Si,, Sa,, ..., SX,, qui. vérifie les égalités (12), on a
avec les inégalités
Le premier membre de là première inégalité (15) est le travail des viscosités intrinsèques du corps 1. t .
♦ Le^premier membre de la seconde est le travail des viscosités intrinsèques du corps 2.
Le premier membre de la troisième est le travail des viscosités introduites par lés premières liaisons (12), etc.
Pour que l'égalité (14) ait lieu pour tous les systèmes de valeurs de dà l9 ..., 8X t , qui vérifient les égalités (12) et seulement pour ceux-là, il faut et il suffit qu'il existe des facteurs n, n', ... dont le nombre p égale celui des égalités (12),. tels qu'en multipliant les deux membres de la première égalité (12) par n, les deux membres de la seconde par n', ... et ajoutant membre à membre les résultats obtenus et l'égalité (14), on obtienne une identité- vérifiée quelles. que soient les valeurs de 8a t , 8p„ ..., 8X,. Cette identité équivaut aux égalités
diS — V) dd%
. Considérons la première égalité (16); tous les termes qui y figurent sont indépendants de -77, ..., — *, -77, ..., -j* 9 sauf
ut ut ut Ht
d dl le terme -nj-F qui est une fonction linéaire de ces quantités.
Si n t est le nombre des variables a t , g t , ..., X„ et n % le nombre des variables a t , £ t , ..., X M les égalités (16) constituent un
système de (n t +n % ), équations linéaires entre les (n x + n, +p) variables
di\ d lîi d 2h *** d ' x * n n'
D'autre part, les égalités, (12) donnent :
M d<X * a. .4- P rfX< 1t. M rfa « ^ l. D dX * A
dt at dt - ■ dt
(18) { M , da. p , rfX t da 2 dX f
Différentiées par rapport à t, ces égalités deviennent
d<t,\dt) \d$ t dajdt dt (19) { „.<**«,. . p.d'X, rf*a, ^.p-^.
+ <? a ,U'/ W3, ddjdt dt + - +u '
Ce sont p équations linéaires en -r^, ..., -tt,* •
Nous avons ainsi, en (16) et (48), un système de (n, + n % +p) équations linéaires entre les (n t + n t 4- p) inconnues (17), permettant de déterminer ces inconnues en fonctions de
*i> Hi> •••> X t , T l5 a,, p 8 , ..., X s , T„ da t dX t da, dX,
d7'"*' W 7*' "'IF'
lorsque l'on connaît :
1° L'expression analytique des quantités
«*% **!> •••1 ^*fJ *^1J *••* • S» ^M* •••> * S> •••
en fonctions de
a i» •••> X p f n a ij •••» X,, *jj
les quantités A t , ..., L t , M t , ..., P„ MJ, ..., P,, ... ne dépendant d'ailleurs pas de T„ T t .
2° L'expression analytique de la force vive tt en fonction de
& it ••., À l$ a s , ..., Aj, da 4 dX t (fa, dX,
3° L'expression analytique des quantités
en fonctions de
et des quantités en fonctions de
A|, ..., À|| Ij,
da t d\
dt ' '•"• It
/**> «••5 Al
<Xj, ..., Àj, l s
da 9 d\ t
dt'~' dt'
4i L'expression analytique des quantités
en fonctions de
<X t y ..., Àj, I |t Oj, ..., Àj, lg,
da t dX t do, dX s
Entre les (n, + n t + j>) équations (16) et (19), on peut
éliminer les n, + n t inconnues -r~, ..., -r-£ • On obtiendra
alors p équations linéaires faisant connaître les p inconnues n, n', ... en fonctions de
d i9 ..., , À 4 j 1 }1 & s , ..., Àj5 l s >
d^ t dX 4 da, dXj
dt dt dt dt
Si les actions extérieures A, B, ..., L n'étaient pas de simples fonctions de a, (3, ..., X, ou bien encore si leur expression en fonctions de ces variables était inconnue, on devrait exprimer n, D', ..., en fonctions des variables précédentes et des variables A, B, ..., L.
Si, dans les équations (16), on remplace n, D', ... par ces expressions, on aura (n i + n t ) équations différentielles du second ordre entre les (n t "+ n t ) fonctions de t
mais ces équations dépendent, en outre, de deux autres
fonctions T„ T,; il faudra donc, à ces équations, joindre deux équations nouvelles fixant les lois de variations deT„ T t , si l'on veut déterminer les changements d'état que le système éprouve, les valeurs initiales des variables
<X|, ..., Àp lp Ag, ..., Àp 1 2 ,
da i d\ da t dX,
étant supposées connues.
§ 5. Chaleur dégagée par le système précédent et par ses diverses parties.
Les corps 4 et 2 formant un système indépendant des corps extérieurs, on peut appliquer à ce système la définition générale de la quantité de chaleur dégagée. La chaleur dégagée par le système en une modification réelle ou virtuelle aura pour valeur
(20) dQ = — (Ra.3^ + ... h- Rj^ + 0,810
les coefficients R 4l , ..., R> 4 , C u C lf étant déterminés par les égalités suivantes :
dU d% dd% *
oa l o<x i atoci i
(21) l â\ t d\ t dtd\' t * *
