CHAPITRE VIII

69. Coefficient économique du cycle de Carnot. — Le premier principe nous a permis d'établir un rapport immédiat entre la chaleur et le travail : à toute quantité de chaleur disparue ou apparue correspond un certain travail produit ou consommé; cette relation est indépendante des températures.

Introduisant la notion de continuité, et par suite celle du temps dans la question, nous avons trouvé le moyen d'obtenir continûment du travail par une transformation de la chaleur ou bien de la chaleur par une dépense de travail, en faisant évoluer un corps entre un foyer et un réfri-

RENDEMENT

gérant ; nous avons trouvé que le travail total que peut rendre ce corps est proportionnel à la température absolue de la source à laquelle la chaleur est empruntée. C'est l'énoncé le plus général du second principe.

Mais ce travail total n'est point entièrement réalisable, car le réfrigérant n'est jamais à la température du zéro absolu. Si la série des opérations parcourues par le corps constitue un cycle de Carnot, limité par une paire d'isothermiques et par une paire d'adiabatiques, le travail S recueilli est égal à J (Q4 — Q2), QA étant la chaleur cédée par le foyer et Q2 la chaleur reprise, par le réfrigèrent. De plus, nous avons 0 T

montré (§ 7) que = rJ , T\ et T, étant les

températures absolues du foyer et du réfrigérant. De ces relations, on déduit.

Si nous nous plaçons dans le cas des machines thermiques, ayant pour objet spécial de transformer des calories en kilogrammètres, nous remarquons que Qi — Q2 est la quantité de chaleur transformée en travail, alors que Ton disposait d'une quantité de chaleur Q4 ; p est donc

le rapport de la chaleur utilisé à la chaleur disponible ; c'est ce que Verdet a appelé le coefficient économique du cycle.

D'après l'équation (5i), le coefficient économique d'une machine évoluant suivant le cycle de Carnot est donc égal au rapport de la chute de température à la température absolue initiale. Il en résulte que, pour une même température absolue, la fraction utilisée est d'autant plus' grande que l'évolution se fait entre des limites plus étendues : c'est la conséquence capitale du théorème de Carnot. Nous y reviendrons, quand nous ferons, dans un volume suivant, l'étude complète des machines thermiques.

Le coefficient p donne la mesure du rendement d'un cycle : en effet, il nous permet de calculer la quantité de travail que peut donner une calorie. Une calorie équivaut à 42^ kilo grammètres ; mais on s'abuserait étrangement si l'on croyait qu'une machine thermique quelconque puisse fournir du travail à ce taux ; en réalité, c'est Jp = 4^5 X p kilogrammètres qu'on obtient.

On retirerait 425 kilogrammètres d'une calorie si p était égal à \i c'est-à-dire si T2 était égal à zéro : il faudrait donc, nous l'avons déjà dit, que le réfrigérant fût à la température du zéro absolu.

RENDEMENT

Il est aussi impossible de transformer en travail tout le calorique d'un foyer qu'il Test d'actualiser toute l'énergie potentielle d'une chute d'eau, en comptant comme hauteur de chute la distance du bief d'amont au centre de la Terre, vers lequel la gravitation tend à faire converger les masses. Tirer 4^5 kilogrammètres d'une calorie dans une machine thermique est donc une chose aussi impossible que d'atteindre le centre du globe.

En réalité, dans une machine fonctionnant entre un foyer à i5o° centigrades (423 absolus) et un réfrigérant maintenu à 35° centigrades (3o8° absolues), on obtient par calorie

C'est peu, et pourtant c'est un maximum.

70. Rendement maximum du cycle de Garnot. — Le cycle de Carnot jouit en effet de la propriété remarquable de posséder le rendement maximum.

Pour le démontrer, rappelons-nous que les cycles réversibles peuvent être décomposés en cycles élémentaires, qui présentent la forme de

celui de Carnot (§ 9) ; en d'autres termes, une machine thermique fonctionnant suivant un cycle fermé réversible peut être remplacée par un certain nombre de machines élémentaires fonctionnant suivant des cycles de Carnot. Les rendements de ces cycles sont tous exprimés par T T

le rapport — - , mais leur valeur varie avec

Fig. 12

T2 — Ti et avec Tt, c'est-à-dire avec les limites entre lesquelles le corps évolue. Soit, par exemple, le cycle fermé réversible ABCD, (fig. 1 2) dont les températures limites sont TA et T2 ; inscrivons-le dans un cycle de Carnot composé des isothermiques MN (à Tt) et PQ (à T2) et des adiabatiques NP et QM ; de plus, décomposonsle en cycles de Carnot élémentaires. Les diffé-

RENDEMENT

renées des températures extrêmes de ces divers cycles sont toujours moindres que Tl — T2 ; d'autre part, la température supérieure de ces cycles est au plus égale et généralement plus petite que Tt ; le rendement de chacun des cycles est donc plus faible que celui du cycle de Carnot compris entre les mêmes limites, c.q.f.d.

Le rendement d'une machine thermique est donc maximum lorsque cette machine fonctionne suivant un cycle de Carnot.

En d'autres termes, il ne peut exister de meilleur mode d'utiliser une quantité de chaleur fournie par un foyer que de lui emprunter cette chaleur à température constante et de céder aussi à température constante l'excès de chaleur non transformée au réfrigérant.

La nature de l'agent intermédiaire servant, pour ainsi dire, de véhicule à la chaleur n'a aucune influence sur le rendement, en vertu môme du théorème de Carnot.

71. Autres cycles jouissant du maximum. — S'il est vrai que le rendement du cycle de Carnot ne peut être dépassé par celui d'aucun autre cycle, il serait inexact de dire que ce rendement ne puisse être atteint par quelquesuns d'entre eux.

Il suffit que ces cycles soient réversibles et qu'ils répondent aux deux conditions suivantes :

i° Que les échanges de chaleur des sources aient lieu, comme dans le cycle de Carnot, à température constante ;

2° Que les deux opérations par lesquelles s'effectue le passage d'une source à l'autre soient telles que la quantité de chaleur fournie par Tune suffise à l'accomplissement de l'autre.

La courbe représentative d'un tel cycle serait donc composée d'une paire d'isothermiques et d'une paire de courbes Régale transmission remplaçant les courbes de nulle transmission : on appelle ces courbes d'égale transmission des isodiabatiques.

Ce genre de cycles a, avec celui de Carnot, une analogie manifeste, qu'il importe de faire ressortir. Dans le cycle de Carnot, le travail extérieur recueilli suivant l'adiabatique de détente est égal au travail extérieur dépensé suivant l'adiabatique de compression, de telle sorte que toute la transformation utile de chaleur en énergie s'effectue suivant l'isothermique supérieure ; il en est de môme dans les cycles considérés, puisque les quantités d,e chaleur absorbées et dégagées sur les isodiabatiques sont égales et que c'est encore sur

CYCLES IRRÉVERSIBLES

les isothermiques que se produit utilement la conversion de la chaleur en travail.

Pour tous ces cycles, on peut toujours écrire

72. Cycles irréversibles. — Mais cette équation serait inexacte, si le cycle n'était pas réversible.

Toute opération n'est pas fatalement réversible : ainsi la production de chaleur par le frottement est un phénomène irréversible ; car s'il est vrai de dire que deux corps frottés s'échauffent, il n'en résulte pas que deux corps chauffés devront se frotter. Telle est encore la communication de chaleur par contact ou par rayonnement, la combustion d'un corps, la détente d'un gaz se précipitant dans le vide, sa compression instantanée, etc.

Arrétons-nous à ce dernier cas.

Quand on comprime lentement un gaz, la pression exercée sur lui est toujours égale à sa force expansive, ou du moins ces pressions d'action et de réaction diffèrent infiniment peu Tune de l'autre. La pression extérieure peut alors être considérée comme une constante du gaz ; il existe pour ce gaz une pression, un volume,

une température uniforme et déterminée. Le phénomène est défini, et la quantité de chaleur produite par l'opération est calculable. Ce phénomène est réversible, car à la compression peut succéder une détente dans laquelle le travail consommé précédemment sera restitué, si l'on restitue au gaz la chaleur engendrée précédemment.

Mais imaginons qu'on ait comprimé très rapidement un gaz ; pourra-t-on encore affirmer qu'il y a eu constamment égalité entre la pression extérieure et la force expansive du gaz ? Nullement. 11 se sera produit dans le cylindre qui aura servi à la compression des mouvements tumultueux, tourbillons et remoûts, dont la force vive fera augmenter le travail intérieur ; les molécules du fluide ne reviendront au repos qu'après la fin de l'opération, et, dans l'intervalle, il sera impossible de dire quelle a été la température et la pression dans le cylindre, car elle aura varié d'un point à un autre sans règle et sans loi. Dans cette opération, les théorèmes ne sont plus applicables : « ils ne sont ni vrais ni faux, dit M. Bertrand, ils n'ont point de sens. » (*)

(l) Bertrand. — Thermodynamique, p. 266.