LE TRAVAIL ET LA FORCE VIVE

Lorsqu'un système est en mouvement sous V action de forces qui achnelient un potentiel, ta somme du potentiel et de la force vive garde une valeur invariable pendant toute la durée du mouvement.

Considérons un système animé d'un mouvement qui, au bout d'un certain temps, le ramène à son état Initial : tel un pendule, après une oscillation double ; le potentiel reprendra sa valeur initiale ; d'après la proposition précédente, il en sera de même de la force vive ; de là le nom Aq principe de la conservation de la force vive donné à la proposition précédente et de systèmes conservatifs donné parfois aux systèmes soumis à des forces qui dépendent d'un potentiel.

A titre d'exemple, appliquons l'égalité {i&*^*) h un système formé d'un seul point matériel pesant, do masse m. D'après l'égalité (13), nous aurons ù == mgZy z étant la cote du point au-dessus d'un plan horizontal arbitraire, tandis que la force vive se réduira à W = ^ mt?*. Si l'on observe que la masse m du point matériel est une grandeur invariable, on voit que l'égalité (16 *'''') deviendra

//^i -+- -4- = qz^

et entraînera la proposition suivante :

Toutes les fois qu'un point matériel pesant repasse au même niveau, il y repasse avec une vitesse dont la direction peut avoir changé, mais dont la grandeur reprend la même valeur.

16. Principe des déplacemeiils virliiels pour les systèmes conscriallfs. SlabilUé de Féqullibre. — Pourquo"les forces qui sollicitent un système conservatif effectuent un travail positif, il faut et il suffit que le potentiel du système éprouve une diminution. Dès lors, parlant d'un certain état où les vitesses de ses*divers points sont toutes nulles, un système conservatif ne peut parvenir à un autre état où quelques unes au moins de ces vitesses sont différentes de 0, à moins que le potentiel n'ait une valeur moindre dans le second état que dans le premier.

En particulier, un système conservatif ne peut quitter tin état où

STABILITÉ Dl l'ÉQUILIBRB 23

ses divers points ont des vitesses nulles, à moins que le potentiel ne décroisse, au moins au début du mouvement. Si donc tous les déplacements virtuels que Ton peut imposer à un système conservatif à partir d'un état donné, commencent par faire croître le potentiel ou par lui laisser une valeur constante, le système est assurément en équilibre.

Tous les déplacements virtuels imposés au système à partir d'un état donné commenceront forcément par faire croître le potentiel si, dans cet état, le potentiel a une valeur plus petite que dans tous les états voisins ; d'où le théorème suivant :

Un système conservatif est assurément en équilibre lorsqu'il est placéy sans vitesse initiale, dans un état où le potentiel a une valeur minimum.

On démontre en mécanique, par des considérations que nous ne pouvons exposer ici, la proposition suivante ;

C/n système conservatif est asstirément en équilibre stable lorsqu^il se trouve, sans vitesse initiale, dans un état oit le potentiel a une valeur minimum.

Appliquons ces dernières propositions à un système pesant. Le potentiel d'un tel système est donné par l'égalité

(13) û = MgZ,

où M est la masse du système et Z la cote du centre de gravité audessus d'un plan horizontal arbitraire ; le poids M^ du système étant une quantité positive, de valeur invariable, les théorèmes précédents nous donnent les propositions suivantes qui ont joué un grand rôle dans le développement de la mécanique :

Un système pesant, placé sans vitesse initiale dans un certain état, ne le peut quittei* que son centre de gravité ne commence par descendre.

Un systè?ne pesant est assurément en équilibre stable lorsque son centre de gravité se trouve aussi bas que possible.