Fondements de la théorie d’'Helmholtz
Considérons un système de points matériels, libres ou soumis à des liaisons, dont la situation est définie par des paramètres Ji Us der. Qu: DÉSISNONS PAT 9, Jan. nr lJes dérivées de ces paramètres par rapport au temps, et par T la demi-force
vive du système. Enfin soit
O,6q Et O5ôgs +... + Qrdgn
l'expression du travail des forces auxquelles le système est soumis dans un déplacement virtuel. Nous aurons à chaque
instant, pour chacun des paramètres,
Gt @Al dT …
data dqie
c'est l'équation de Lagrange relative au paramètre g;.
Dans son mémoire, Helmholtz change ces notations habituelles. La lettre T est conservée pour désigner la température absolue: la demi-force vive est alors représentée par L. Les paramètres sont appelés Dos Dh , et leurs dérivées par rapport au lemps sont représentées par Qu, gp...
Le travail virtuel des forces intérieures au système est distingué de celui des forces extérieures. Helmholtz suppose que les forces intérieures admettent une fonction des forces, ou énergie potentielle, Œ ; alors le travail de ces forces pour
une variation dp, de l’un des paramètres est
Quant au travail des forces extérieures résultant de cette
variation, il est désigné par
— P,ôpa.
Avec ces nouvelles notations l'équalion de Lagrange relative
au paramètre p, est
à D'ART DRE Ad TE oUe
311. L'énergie potentielle ® ne dépend que de la position des molécules du système ; c'est donc une fonction des paramètres p, mais non de leurs dérivées g.
Au contraire l’énergie cinétique L dépend à la fois des p et des g; elle est homogène et du second degré par rapport à ces dernières quantités. En effet, L qui est égal à Zmv°? est du degré — 2 par rapport au temps; si donc on double l'unité de temps, la valeur de L se trouve quadruplée. Or p, ne varie pas par ce changement d'unité, tandis que g, devient double; il est donc nécessaire que chaque terme de L contienne les g au second degré.
Par suite de cette propriété de la fonction L, nous avons
Het (2) 2L [EX ÈQa da 812. Posons (3) H = ® — L, et (4) U—d+L;
U est alors l'énergie totale du système.
En dérivant la première de ces égalités par rapport à p,,
nous obtenons
la dérivation par rapport à g, nous donne
puisque ne dépend pas des g. De ces égalités tirons les dérivées de L par rapport à p, et g4,, puis portons les valeurs
trouvées dans l'équation (1): nous avons q ;
d M dH
Ê ÉATTRR CT Ee Posons maintenant dH dL dl ET s, et les quantités sy, …, définies par des équalions analogues,
sont des fonctions des p et des g. Nous pouvons donc considérer U comme une fonction des p et dess, H restant toujours regardé comme une fonction des p et des g. Les égalités (3)
et (4) nous donnent pour cette fonction U, — H + 2L, ou, d’après les relations (2) et (6), U = H + Eges.
De cette nouvelle égalité il résulte, en prenant la différen-
tielle totale des deux membres, dU dU à 7e dp + D: 7 ds
ds dH = dH = D + da + Esdg + Pad.
Mais d’après (6)
dH D F dq = — Esdag ;
par conséquent, l'égalité précédente se réduit à
DEP 0er Ne dp + Sqds.
Nous déduisons de là
aU dH à a dl de Do dPa.
et adU (8) ne
gie se déduit immédiatement des relations (8) et (9). Ces rela-
tions nous donnent
dU ass os AO Pas dU 4h ’ ds a CUP:
Par conséquent aU aU a — ss 7 dp + > “e ds
ou
La variation de l'énergie totale du système est donc égale au travail des forces extérieures au système: c'est bien
l'énoncé du principe de la conservation de l'énergie.
314. Hypothèses sur la nature des paramètres. — Helmholtz admet que les paramètres qui définissent la situation du système peuvent se diviser en deux classes suivant la manière dont ils varient avec le temps; ceux de l’une d'elles varient très lentement, ceux de l’autre varient au contraire très rapidement. Nous désignerons les premiers paramètres par p, les seconds par p,.
Cette hypothèse semble assez naturelle. Ainsi les mouvements moléculaires dus à l'échauffement d’un corps ont des vitesses incomparablement plus grandes que celles que nous pouvons communiquer à l’ensemble du corps. Les paramètres qui définissent les positions relatives des molécules varient donc rapidement ; au contraire, ceux qui fixent la position du
corps dans l’espace sont à variation lente.
315. Helmholtz fait ensuite une autre hypothèse qui pourrait sembler plus difficile à accepter. Il admet que la fonction ne dépend pas des paramètres p, et que dans la fonction L ces paramètres n'entrent que par leurs dérivées g4.
On peut donner certains exemples simples empruntés à la mécanique élémentaire et où celte hypothèse se trouve réalisée. |
Ainsi considérons une poulie mobile autour de sôn axe. La position de la poulie peut être définie par l'angle p, que fait un plan fixe dans l'espace avec un plan passant par un point de la poulie et par l'axe de celle-ci; p, est donc un des para-
mètres du système. La demi-force vive de ce système est,
égale au produit du moment d'inertie de la poulie par le carré de la vitesse angulaire; le moment d'inertie ne dépend pas de
dps.
ae
force vive ne dépend que de g, et non du paramètre p,. D'autre
pe; la vitesse angulaire est gs — par suite, la demi-
part, le centre de gravité de la poulie étant sur l'axe de rolation, l'énergie potentielle ne varie pas; elle est donc indépendante de ps.
Prenons un autre exemple. Considérons un canal circulaire parcouru par un liquide et supposons le régime permanent établi. On peut définir la position du système par l'angle p, formé par un diamètre du canal, fixe dans l’espace, et un diamètre passant par une des molécules du liquide. Mais ni l'énergie potentielle ni l'énergie cinétique ne dépendent de ce paramètre, car ces quantités restent constantes. En effet, le régime permanent ‘étant établi, upe molécule est immédiatement remplacée par une autre dès que la première s'est déplacée ; la force vive ne varie donc pas; en outre, le travail des forces intérieures est nul et par suite l'énergie potentielle conserve la même valeur.
I résulte de ces exemples que l'hypothèse de Helmhollz est exacte dans le cas de corps tournant autour d’un axe; elle paraît donc applicable aux mouvernents tourbillonnaires des molécules. Peut-elle encore s'appliquer au cas où les molécules des corps se déplacent rectilignement de part et d'autre d’un
point fixe? C’est ce que nous examinerons plus loin.
316. Admeltons l'hypothèse de Helmholtz et continuons l'exposé de la théorie de ce savant.
Puisque d et L sont supposés indépendants des paramètres
Ps, H n'en dépendra pas non plus. Nous aurons donc, d’après
l'équation (5),
dr ag”
ou, d’après la définition des fonctions s,
ds,,
IFR Le
Le travail extérieur correspondant au paramètre considéré est— P,dp;, pour une variation dp, de ce paramètre, Expri-
mée en fonction de l'intervalle de temps df cette variation est -
Du dt ou gsdt. Par conséquent le travail extérieur peut
dé
s'écrire — P,gsdt. Helmholtz pose
dQ, = = P,qLdt.
Si, dans celte égalité nous remplaçcons P; par sa valeur lirée
de l'équation précédente, il vient
(10) dQy — ass Al quads.
dt Telle est l'équation relative aux paramètres variant très rapidement.
Occupons-nous des paramètres qui varient lentement et
montrons que pour ceux-ci la dérivée 5 —— peut être néq P D” dé À a P : gligée.
D'après Les égalités (6) nous avons
400 THERMODYNAMIQUE Or L est une fonction homogène et du second degré par
rapport aux g4 €t go; est donc formée de termes de la (42
forme Agua et Bgarge. Par suite la dérivée de celte quantité
par rapport au temps . ne contient que des terires de
la forme
2, Bgs a Bye 2.
ee La dt our
Mais, puisque les paramètres p, varient très lentement, Ja et qar Sont très petits et les dérivées de ces quantités par rapport à { sont également très petites; nous pouvons donc négliger les termes des deux premières formes puisqu'ils contiennent le produit de deux quantités très £etites. Nous pouvons également négliger les termes de la troisième forme,
mais à une condition: c’est que nous supposerons très petite
la dérivée “te de la quantité finie 94. (Ainsi si, pour fixer les
idées, nous revenons à la poulie qui nous servait tout à l'heure d'exemple, cela revient à supposer que la vitesse angulaire de cette poulie est très grande, mais sensiblement constante.)
Cette hypothèse étant admise, tous les termes de L . seront négligeables. | :
Nous avons alors, pour l'équation relative aux paramètres p,, dH
) AD à Le
obtenue en négligeant le premier terme de l'équation (3).
