Quand le corps passe par son maximum de densité la

184 THERMODYNAMIQUE dérivée du volume par rapport à la température est nulle:

do

aT — En dérivant par rapport à T la relation fondamentale (1),

nous avons IR RO] EEE à CRUE On

Par conséquent, au point correspondant au maximum de

densité on à

Le plan tangent à la surface Ÿ en ce point est donc parallèle à l’axe des T, c’est-à-dire vertical. Le lieu MN des points de

contact de ces plans tangents, pour

R ; ’ ue des valeurs diverses de p et de v, sé- M A \ pare donc la surface È en deux por-

VHS tionsR el R’{#g. 22) qui se projettent ee l’une sur l'autre sur le plan des pv.

Il peut donc arriver que les projections de deux isothermes se coupent, quoique ces isothermes ne se coupent pas sur la surface X.

De plus, certaines isothermes et certaines adiabatiques pourront être tangentes entre elles. En effet toute ligne, telle que APB, qui coupe la courbe MN, se projette suivant une ligne tangente à la projection de MN. Par conséquent l’adiabatique et l’isotherme qui passent par le poiut P sont tangentes au même point de la projection de MN et, par suite, sont tangentes entre elles dans le mode de représentation de

Clapeyron.

452. Nous ne pouvons plus démontrer qu'une adiabatique et une isotherme ne se coupent qu’en un point. La démonstralion de celte proposition faite au $ 107 est en défaut dans le cas qui nous occupe.

Le travail correspondant à une transformation élémentaire étant pdv, le travail accompli par le corps, lorsque son point figuratif décrit une courbe fermée AQBP sur la surface E, est égal à l'aire de la projection de cette courbe prise avec le signe + ou le signe —, suivant le sens du mouvement du point figuratif sur la projection. Or si la courbe fermée est coupée par la ligne MN, elle donne en projection deux courbes fermées apca et chgc (fig. 23)

décrites l'une dans lesens direct, l’autre ,,

Su Et 6 dans le sens rétrograde, Le travail ac- ERA FA è l RON compli par le corps pendant la trans- AE . * 04 PEER formation est alors la différence des à Fig. 23.

aires limitées par ces courbes. IL peut être nul et le raisonnement du $ 407 qui suppose ce travail positif n’est plus applicable. Une adiabatique et une isotherme

peuvent donc, dans certains cas, se couper en plusieurs points.

153. Les propriétés démontrées aux $ 107 et suivants n'étant pas toujours vraies dans le cas où le corps considéré présente un maximum de densité, la démonstration du théorème de Clausius donnée dans le chapitre vir se trouve en défaut. Montrons que ce théorème est encore applicable.

Si nous supposons que le corps considéré accomplisse une transformation dont la courbe représentative soit entièrement contenue dans l’une ou l’autre des portions R ou R’ de la

surface X la projection de cette courbe sur le plan des do ne

présente aucun point singulier. Les propriétés des isothermes et des adiabatiques sont alors les mêmes que dans le cas où la représentation graphique de Clapeyron est possible et, par conséquent, le théorème de Clausius est applicable à un cycle fermé, entièrement contenu dans R ou R.

Lorsque le cycle fermé AQBP (#9. 22) coupe la ligne MN, on peut le considérer comme formé des cycles AQPA et BPOB. Le premier est tout entier contenu dans la portion R de la

surface 2; le second dans la portion R’. Par suite l'intégrale

S est nulle lorsqu'on la prend le long de chacun de ces

cycles. Elle doit donc être encore nulle lorsqu'on la prend le

long du cycle AQBP formé par leur réunion.

154. Cas des solides. — Cette extension du théorème de Clausius montre que ce théorème peut être appliqué à tout corps remplissant les conditions suivantes :

1° Il existe une relation TibavAEe 0

entre les trois variables qui définissent l’état du corps; T représente ici la température absolue, mais p et v peuvent représenter d’autres variables que la pression et le volume spécifique que ces lettres désignent d'ordinaire. Notre seule hypothèse est que ces deux variables, jointes à T, déterminent entièrement l’état du corps.

2° Le travail extérieur élémentaire produit par l'unité de masse du corps a pour expression pdv.

Ces conditions sont remplies par un fil fixé par l’une de ses

extrémités et soumis à une traction.

one

we

En effet, si # est la masse du fil et si nous désignons par mv sa longueur, v représente la longueur d’une portion du fil dont la masse est l’unité; v peut donc être appelé la Zongueur spécifique du fil. Désignons par — p la force de traction exercée sur le fil. Il existe évidemment une relation entre la température du fil, sa longueur et le poids tenseur, et par conséquent entre T, set p; la première condition est donc remplie.

D'autre part, pour un accroissement #%v de la longueur du fil, le travail du poids tenseur est — pmdv; par suite le travail de la réaction du fil est pmdv. Le travail extérieur produit par unité de masse est donc pd, et la seconde condi-

üon est également satisfaite.

155. Application de la formule de Clapeyron. — Le théorème de Clausius étant applicable, les conséquences de ce théorème le sont aussi.

Prenons la formule de Clapeyron

do Cas À Or ©? ZE TP ET 0;

La plupart des substances s’allongent quand on les chauffe ; dv aT

mule précédente qu'en général

est donc généralement positif. Il résulte alors de la for-

op en

Lorsqu'on tend brusquement le fil, la variation de p est négative, puisque nous avons représenté la tension par une

quantité négative; il faut donc que ÔT soit aussi négatif, c’est-

à-dire que le fil se refroidisse quand on l'étire. C'est ce qu'il est facile de vérifier expérimentalement au moyen d’un fil métallique.

Si, au contraire, un fil s’'échauffe lorsqu'on le tend brusquement ; il résulte de la formule de Clapeyron do aT < © La matière du fil doit donc se contracter lorsqu'on la chauffe, et, par conséquent, la longueur du fil doit diminuer. Gough, vers 1810, a observé que la température d'un tube de caoutchouc noir, fortement tendu, s’élève quand on l'étire davantage. Conformément à la conclusion précédente, Joule a constaté qu'un fil formé de cette variété de caout-

chouc se raccourcitquand

F on le chauffe. Il est d’ail-

leurs facile de montrer celte curieuse propriété :

on attache en B à un le- Fig. 24. vier OC (/g. 24), un tube de caoutchouc noir dont l’autre extrémité est fixée en A; un poids P tend ce tube. Lorsqu'on le chauffe on voit le levier se déplacer dans le sens qui indique une diminution de lon-

gueur.

156. Représentation du cycle de l’expérience d’'Edlund. — Lorsqu'on prend pour variables indépendantes le poids tenseur — p et la longueur spécifique v, les trans-

formations d’une barre solide, soumise à une tension, peuvent

se représenter graphiquement. Comme application considérons l'expérience d'Edlund (85).

Pendant la première phase de l'expérience, celle où l'on tend le fil, le point représentatif de l'état de ce fil décrit la courbe AB (fig. 25), située dans la portion du plan correspondant aux valeurs négatives de p et aux valeurs positives de v. Quand on détache brusquement le poids tenseur, le point figuratif décrit une o SES © courbe BG. Cette courbe coupe l'axe des v en un point C plus éloigné que le point A de l’origine O, car la tem-

pérature finale étant plus élevée que

la température initiale, la longueur B spécifique du fil a augmenté. Si on laisse le fil reprendre sa valeur initiale, le point figuratif se déplace de C en A et le cycle est fermé.

Le fil reprenant son état primitif, la variation de son éner-

gie est nulle. Par conséquent de la relation du Z 60 AW + dU = dr + EdQ,

qui exprime le principe de l’équivalence, nous déduisons

Ja +E fa0 = 0.

Les deux premières phases de l’expérience représentées par les courbes AB et BC étant très courtes, le fil n'emprunte et ne cède pas de chaleur à l'extérieur; mais il y a une différence importante à signaler entre ces deux phases. Dans la

phase AB, le poids tenseur agit, il y a travail extérieur; la

courbe AB est une adiabatique; dans la phase BC, 1l ne se produit aucun travail extérieur; on se {rouve donc placé dans des conditions analogues à celles de l'expérience de Joule, où les gaz se détendent sans produire de travail extérieur et sans échange de chaleur avec le calorimètre. En d'autres termes BC est une courbe isodynamique. Quand on détache brusquement le poids tenseur, le fil se raccourcit brusquement, ses diverses molécules acquièrent des mouvements rapides qui sont promptement détruits et transformés de nouveau en chaleur par une sorte de frottement intérieur.

Le travail fourni pendant la phase AB par les forces exté- . . à . .

rieures à pour expression — | pdv, et puisque p est négatif, e

ce travail à une valeur positive +. Suivant CA, le fil cède à l'extérieur une quantité de chaleur CT, C étant la chaleur spécifique sous pression conslante de la matière formant le fil et ÈT l’abaissement de température quand le point figuratif passe de C en À ; nous avons donc pour la quantité de chaleur

fournie au fil — CÔT, et la relation précédente devient z — ECÔT = 0.

Cette égalité n’est autre que le quotient par la masse #2 du fil de l'égalité obtenue au $ 85. En effet, #2 est le travail total accompli par les forces extérieures, c'est-à-dire pe, < étant l'allongement du fil; de plus 20 est la capacité calorifique a du fil.