QUELQUES CONSEQUENCES DU PRINCIPE DE CARNOT. I Î

Mais on peut transformer l'intégrale curviligne qui forme le second membre de l'égalité (i) en une intégrale double étendue à l'aire limitée par le cycle fermé; nous obtenons en effectuant cette transformation

Par conséquent, pour démontrer que 1 intégrale / -~ est nulle, il suffit de faire voir que l'on a

en tout point intérieur au cycle fermé.

Admettons que, pour une certaine région intérieure à ce cycle, la différence précédente soit positive. Pour un cycle fermé entièrement compris clans celte région nous

aurions/ -=- > o, puisque tous les éléments de 1 intégrale seraient positifs. Or, rien n'empêche d'admettre que ce cycle fermé est un cycle de (lariiot. On peut toujours en effet construire un cycle de Carnot avec deux adiabatiques et deux isothermes assez rapprochées pour que le cycle soit tout entier contenu dans une région du plan si petite qu'elle soit. Nous arriverons alors à cette conclusion que Tinté-

-7p- peut être positive pour un c^cle de Carnot ; cette conclusion étant en contradiction avec la propriété démontrée dans le paragraphe précédent, la différence — r '—

dp ((v

ne peut être positive. Elle ne peut non plus être négative, car le même raisonnement montrerait qu'alors l'intégrale

^ pourrait êlre négative pour un cycle de Carnot. L'égalité (2) doit donc être satisfaite dans toutes les régions du cycle si petites qu'elles soient et l'intégrale considérée est bien nulle.

121. Entropie. — Supposons toujours que le corps qui se transforme est tel que son état soit complètement défini par les deux variables p et v, et considérons deux états de

Fig- 19-

ce corps déterminés par les points M et N {fig. 19). Appe- Ions a la valeur de 1 intégrale / -^ lorsque le point représentatif passe de M en N en suivant le chemin de MPN, et b la valeur de cette intégrale lorsque le point représentatif suit le chemin MON. Si l'on décrit ce dernier chemin en

sens inverse, de N en M, la valeur de / ^ est — />, puisque

le signe de <r/Q change avec le sens dans lequel est décrit l'élément correspondant. Nous avons donc pour le cycle fermé MPNQM, décrit dans le sens indiqué par les lettres,

-pp- = a — 0.

QUELQUES CONSÉQUENCES DU l'UINCIPE DE CARNOT. l4()

Or, d'après le tliéorème de Clausius, celle intégrale est

, rdQ nulle et Ton doit avoir a = h; la valeur de I intégrale / "Y"

est donc indépendante des transformations subies par le corps pour passer d'un état à nu autre, elle ne dépend que de ces états. En d'autres ternies, cette intégrale est une fonction de p et v qui ne dé|)end que des valeurs des variables aux limites.

On a donné à cette fonction le nom iVentropie du corps; l'entropie S d'un corps n'est donc déterminée qu'à une constante près; sa différentielle est

Si nous introduisons cette fonction dans l'énoncé du tliéorème de Clausius, cet énoncé devient : Lorsqu'un corps, dont l'état est complètement défini au moyen de deux variables, décrit un cycle fermé, la variation de son entropie est nulle.

122. L'entropie d'un système isolé va constamment en croissant. — L'entropie S d'un système est la somme

S = Si+S,+ S3 + ...4-S„

des entropies des corps A,, Ao, . . . , A„ qui forment le système. Montrons que, lorsqu'un système isolé se transforme, son entropie va constamment en augmentant.

Quelles que soient les transformations du système, l'entropie de l'un des corps ne peut varier que s'il reçoit de la cbaleur, soit que cette chaleur ait été produite parle frot-

l5o THERMODYNAMIQUE.

temenl aux dépens rie la force vive du système, soit qu'elle ait été empruntée par conductibilité ou rayonnement aux autres corps du système, puisque ce système est supposé isolé. La destruction de travail par frottement augmente l'entropie des corps qui frottent, car ces corps reçoivent

ainsi de la chaleur et par conséquent fl?S,=r -— ^ est une

quantité positive pour ces corps. Supposons maintenant qu'un corps du système emprunte ou cède de la chaleur par conductibilité ou i-ayonnement; ce corps ne pourra en emprunter qu'à d'autres corps du système dont la température est plus élevée, ni en céder qu'à d'autres dont la température est plus basse. Il nous reste donc à montrer que l'entropie du système augmente quand il s'établit un transport de (îhaleur d'un corps chaud à un corps froid.

Soient Tj la température de l'un des corps et^^Q, la quantité de chaleur qu'il reçoit; soient T2 et dQ., les valeurs des mêmes quantités pour l'autre corps. Supposons Ti > T.^ ; alors (iQi est négatif et clQ^ positif; d'ailleurs

^Qi = -<),,

puisque le passage de chaleur s'accomplit sans production

de travail. La variation de la somme des entropies des deux

corps est

d(^^ dQ..

Il 1 2

OU, en tenant compte de la relation entre rfQ, et dQ^,

6?Si -h f/Sa = dO, ( j^ Y

QUELQUES CONSÉQUENCES DU PRINCIPE DE CARNOT. l5l

Or, d'après nos hypothèses, f/Q. est positif; le facteur

7f ,-p- I est aussi; par conséquent, il y a bien accroissc-

I2 il

ment de l'entropie du système.

123. Le théorème de Clausius considéré comme second principe de la Thermodynamique. — Le théurèinL' de Clausius peut être pris comme second principe de la Thermodynamique. Montrons en etïet qu'il entraîne l'axiome de Clausius énoncé sous la seconde forme.

S'il était possible de produire du travail avec une seule source de chaleur, on pourrait concevoir qu'après une série de transformations tous les corps d'un système reprennent leur état primitif, sauf la source à laquelle on a emprunté de la chaleur. L'entropie de cette source diminuerait donc tandis que les entropies de tous les autres corps reprendraient leurs valeurs initiales; par suite, l'entropie totale du système diminuerait, ce qui ne peut avoir lieu d'après la conséquence que nous venons de déduire du théorème de Clausius. On ne peut donc produire du travail avec une seule source.

Ayant cémontré que les deux formes de l'axiome de Clausius sont équivalentes et que l'énoncé de Carnot est une conséquence de l'une ou l'autre de ces formes, il résulte immédiatement de ce qui précède que l'énoncé primitif de Clausius et l'énoncé de Carnot peuvent être déduits du théorème de Clausius. Montrons directement que la proposition de Carnot est une conséquence du théorème de Clausius.

124. Considérons un cycle de Carnot. Soient Q, la quantité de chaleur empruntée à la source chaude dont la température ï| est celle d'une isotherme du cycle, et Q, l'i quantité cédée à la source dont la température T, est celle de l'autre isotherme. D'après le théorème de Clausius nous

aurons

rdO O, 0..

fdO 0, Q, J F - l\ T, -

et par

conséquent

- 1 T,-T., <Ji ~ A T, '

le coefficient économique d'un cycle de Carnot ne dépend donc que des températures des isothermes, ce qui est conforme au théorème de Carnot.

Pour compléter la démonstration de ce théorème il nous faut montrer que le coefficient économique d'un cycle fermé quelconque ne peut être plus grand que celui d'un cycle de Carnot.

La quantité de chaleur <r/Q absorbée par le corps qui se transforme dans une transformation élémentaire peut être considérée comme la différence

de la quantité de chaleur dQi empruntée à la source chaude et de la quantité dQ.2 cédée à la source froide. Si nous supposons dQi positif, la température Ti de la source chaude

QUELQUES CONSÉQUE>'CES DU PRINCIPE DE CARNOT. l53

doit être plus grande que la température T du corps qui emprunte la chaleur; nous avons donc

Si nous supposons dQi négatif, c'est-à-dire si nous admettons que le corps qui se transforme cède de la chaleur à la source chaude, la température T| de cette souroe doit être irféiieure à la température T du corps; les deux facteurs du premier inemhre de l'inégalité précédente sont donc tous deux négatifs et par conséquent cette inégalité est encore satisfaite. Nous en déduirons

ou, puisque la température Ti de la source est constante,

(0 jt->t;' ■

Oi étant la quantité de chaleur totale empruntée à la source chauile lorsciue le corps décrit le cycle entier.

Comme précédemment on verrait que, quel que soit le signe de dQ,, on a

dQ, ( ^ - .-^ ) < o.

Nous en déduirons

(.) J-r<ff

Par conséquent, si dans l'égalité fournie par le théorème

l54 THERMODYNAMIQUE.

de Clausius,

fciq rdo, rdo,

nous remplaçons les intégrales par les seconds membres des inégalités (i) et (2), nous aurons

De cette inégalité, il résulte

Q1-Q2 ^T,-T, Qi "^ ï.

• ^ I T.-T, Qi ^ A ï, '

ce ([ui démontre que le coefficient économique d'un cycle fermé quelconque est plus petit que celui d'un c\'cle de Carnot.

125. Fonctions caractéristiques de M. Massieu. — Le théorème de Clausius nous a conduit à l'introduction d'une nouvelle fonction de l'état d'un système : son entropie S.

Si donc nous prenons comme variables indépendantes définissant l'état du système la pression p et le volume spécifique r, nous aurons à considérer, dans les applications, trois fonctions de ces variables : la température T, l'énergie interne U et l'entropie S.

Les deux principes fondamentaux de la Thermodynamique fournissant deux relations entre U, S et les variables, il semble que la connaissance de l'une des fonctions T, U, S

QUELQUES CONSÉQUENCES DU PRINCIPE DE CARNOT. l55

puisse permettre de déterminer les deux autres en fonction des variables. Mais, les deux relations fondamentales étant des équations aux dérivées partielles, une telle détermination est impossible.

M. Massieu a montré que, si l'on lait clioix pour variables indépendantes de c et de T ou de p et de T, il existe une fonction, d'ailleurs inconnue, de laquelle les trois fonctions des variables, /?, U et S dans le premier cas, t', U et S dans le second, peuvent se déduire facilement. M. Massieu a donné à cette fonction, dont la forme dépend du clioix des variables, le nom ûq fonction caractéristique.

126. Prenons v et T comme variables indépendantes et cberchons la fonction caractéristique correspondante. Le principe de l'équivalence nous donne la relation

dQ = dU 4- \p dv ; le principe de Carnot,

Nous en déduisons

Tf/S —d\j= Xp dv

rf(TS) — d\] — Sf/T -h \p dv.

Si nous posons