ÉTUDE DES GAZ
128. Des divers modes de détente des gaz. — Dans le Chapitre V, consacré à la vérification du principe de l'équivalence à l'aide des gaz, nous avons déjà indiqué quelquesunes des propriétés de ces fluides. Nous avons vu que, si l'on admet la loi de Mariotte ei celle de Gay-Lussac, la détente isothermique d'un gaz est représentée par la courbe dont l'équation est
pç ^ const.,
et que l'équation de la courbe représentative d'une détente
adiabatique est
pc" = const.
Remarquons que, pour une détente adiabatique, / -~
est nul, puisque dQ est nul pour chaque transformation élémentaire. L'entropie du gaz reste donc constante pendant une transformation adiabatique; aussi donne-l-on également le nom de détente isentropique à une telle transformation.
ETUDE DES GAZ. I 5g
Nous avons aussi étudié un troisième mode de détente des gaz : la délente qui se produit dans l'expérience de Joule (66). Dans cette détente le gaz n'absorbe ni ne cède de clinleur à l'extérieur; elle se rapproche donc de la détente isentroi)ic|ne. Toutefois ces deux détentes ne peuvent être confondues, car nous avons fait observer (68) que l'expérience de Joule comprend deux phases : dans l'une le gaz se refroidit en communiquant de la force vive à ses molécules, dans l'autre cotte augmentation de force vive est détruite avec production de chaleur. D'ailleurs la détente isentropique est réversible (37): au contraire, la détente des gaz dans l'expérience de Joule n'est pas réversible, puisque pendant cette détente le gaz ne produit pas de travail et que, pour ramener le gaz à son volume primitif, il faudrait le comprimer et par conséquent fournir un travail. Cela, d'ailleurs, devait se prévoir, puisque dans la deuxième phase de l'expérience les molécules frottent les unes sur les autres et que la production de la chaleur jiar frottement est un phénomène irréversible. Ce mode particulier de détente est appelé détente isodynamique. Aucun travail extérieur n'étant protluit ou détruit pendant qu'elle s'effectue, l'énergie interne du gaz ne varie pas.
Ainsi les trois détentes que nous venons de considérer sont caractérisées respectivement par les trois égalités
T^const., S =: coiist., U=:const.,
c'est-à-dire que leurs équations s'obtiennent en écrivant que les fonctions T, S, L" des variables indépendantes p et v sont des constantes.
l6o THERMODYNAMIQUE.
129. Lois caractéristiques des gaz parfaits. — Les gaz obéissent très ai^proximativemenl aux trois lois suivantes : la loi de Mariotte, la loi de Joule, la loi de Gay-Lussac. On considère comme ^az parfait un fluide hypothétique obéissant exactement à ces lois.
Mais nous pouvons prendre pour définition d'un gaz parfait : un gaz obéissant aux lois de Mariotte et de Joule. Montrons que, si ces deux lois sont satisfaites, celle de Gay- Lussac l'est aussi.
La quantité de chaleur qu'il faut fournir à un corps dans une transformation élémentaire est, d'après le principe de l'équivalence,
dQ = d\] + kp dv.
Nous avons donc, pour la variation d'entropie du corps,
<^K <iU Ao ,
(i) ^S = ^ = -rp + -rp f^c.
D'après la loi de Joule, l'énergie interne d'un gaz n'est fonction que de sa température, U = ^(T); par conséquent,
^U cp'(T)
est une différentielle exacte. D'autre part «r/S est aussi une différentielle exacte. Il faut donc, d'après la relation (i),
que ^-^dv soit également une différentielle exacte. Celle
condition exige que -^ soit une fonction de ç seulement; posons donc
ÉTLDE DKS GAZ. l6l
Or, puisque nous supposons (|ue le gaz obéit à la loi de Mariotle, nous avons
Les deux relations (2) et (3) ne peuvent se concilier que si l'on a
X(T) = RT, ^(r) = ^,
R étant une quantité constante ne dépendant (|ue de la nature du gaz. S'il en est ainsi, nous avons
pv — RT.
Nous retrouvons donc la relation fondamentale à laquelle nous sommes parvenu (21) en admettant les lois de Mariotte et de Gay-Lussac. Elle nous montre qu'à pression constante le volume d'un gaz quelconque est proportionnel à sa température absolue; par suite, le coeflîcient de dilatation doit avoir la même valeur pour tous les gaz : c'est bien la loi de Gay-Lussac.
Si donc il existait un gaz parfait, un thermomètre conslruit avec ce g<ïz indiquerait rigoureusement la température absolue.
130. Réciproquement, un gaz qui obéit aux lois de >Iariotte et de Gay-Lussac obéit également à celle de Joule. On a, en effet,
.^ d{} \p , r/U \Rdç 11 1 (^
Comme t/S est une différenlielle exacte, A et R des con- P. II
l62 THERMODYNAMIQUE.
slanles, — ;- une différentielle exacte, il faut que
soit une différentielle exacte, c'est-à-dire que U soit une
fonction de ï, ce qui est la loi de Joule.
Nous avons
dQ=d[] ^ Ap dv,
d'où, pour (• = const.,
^O = c rfï = ^ d'ï dv
et
et, pour p =: const.,
d^([^ hpdv AKrA' AR^T
dQ = CdT=^^ dT -+- AR ^T, rt 1
^=-nT + AR, (Il
C — c = AR.
131. La loi de Joule n'est qu'approchée. — Les lois de Mariotte et de Gay-Lussac étant, d'après l'expérience, deux lois dont les gaz nalurcls s'ap[)rochent plus ou moins, il est à présumer que la loi de Joule n'est aussi qu'une loi approchée.
Les expériences de Regnault sur la comi)ressibiliié des gaz à diverses températures permettent de montrer que
KTIDE UKS GAZ. l63
cette loi n'est pas applicable rigoureusement aux gaz naturels.
Si nous admettons la loi de Joule, nous devons avoir (130), en désignant par ^{v) une fonction de volume spécifique,
Par conséquent, la relation entre la pression et le volume spécifique d'un gaz est, lorsque la température reste constante,
P'\i{\') = cousl.
Or, d'après les expériences de Regnault, tous les gaz, sauf l'hydrogène, se compriment plus que ne rindi(iue la loi de Mariotle aux températures ordinaires et tendent vers cette loi quand la température augmente. Par conséquent, puisque la loi de Mariotte est exprimée par /jt' = const., ces expériences montrent que '-^(r) varie avec la pression plus rapidement que r aux températures ordinaires et que v|;(r) est sensiblement proportionnel à C aux températures élevées. La fonction ^{i') dépend donc de la tem[)éralure, ce qui implique l'inexactitude de la loi de Joule.
D'ailleurs des expériences directes, entreprises par Joule et sir W. Thomson, ont montré ([ue les gaz réels ne suivent pas exactement cette loi. Avant de décrire ces expériences et d'en exposer les résultais, étudions l'écoulement des lluides gazeux ou liquides dans un canal.
132. Écoulement des fluides. — Considérons un lluide en mouvement dans un canal et supposons le régime permanent établi, c'est-à-dire supposons que les variables qui
définissent l'état du fluide ne dépendent pas du temps. Soit ABCD {Jig. 20) la position à l'instant t d'une certaine masse de lluide que nous supposerons égale à l'unité. Au
Fig. 20.
bout d'un intervalle de temps infiniment petit dt, cette masse occupe le volume A'B' CD'.
Puisque nous avons supposé le régime permanent établi, les masses comprises dans les volumes ABA'B', CDC'D' ont la même valeur dm. Si nous désignons par 90 la vitesse du fluide en AB et par cpi sa valeur en CD, la distance des plans AB et A'B' est ^odt, celle des plans CD et CD' est cpi dt. En appelant Wq et wi les surfaces des sections AB et CD, nous avons donc, pour les volumes ABA'B' et CDC'D',
OJo'^o'^^ Gt GJ,9irf^.
Par conséquent, si ^o et v^ sont les valeurs du volume spécifique du fluide qui occupe chacun de ces volumes, nous avons pour les masses
dm =
(Dp cpo dt
et
dm
o) 1 cp , dt
et, puisque ces masses sont égales,
ETIOE DES G\Z.
OU, en désignant par w, o, » la section du canal, la vitesse du lUiide et le volume spécifique en un point quelconque.
— ■- — const.
C'est l'équation de continuité.
133. Une seconde équation est donnée par le principe de la conservation de l'énergie. Les forces extérieures se réduisent aux pressions qui s'exercent sur les surfaces du fluide ABCD et à la pesanteur. J'appelle ch le travail de ces pressions et — dV celui de la pes;uiteur. Il est clair que dV est une différentielle exacte. On a alors, en conservant aux lettres E, Q, U et W la même signification que dans les Chapitres précédents,
(I ) E r/Q -^ ^T =3 E r/U -^ ^V + dW.
Évaluons chacune des quantités qui entrent dans cette relation.
La différentielle dV est donc égale à la variation de l'énergie |)Otentielle due à la pesanteur. A l'instant /, cette énergie est la somme de l'énergie du fluide occupant le volume ABA'B' et de celle du fluide occupant le volume A'B'CD; à l'instant t + dt elle se compose de l'énergie du fluide occupant le volume A B'Cl) et de celle du fluide occupant le volunie CI) CD'. Si donc nous appelons -0 la distance du centre de gravité de la masse ABA'B' au-dessus d'un plan horizontal pris pour plan des xy et par 2, la distance du centre de gravité du volume CD CD'
lfi6 THERMODYNAMIQUE.
au-dessus de ce même plan, nous avons d\ — gdm{zy— Go).
La variation <^V de la demi-force vive est
ou
Quant à la variation de l'énergie interne, elle a pour
expression
f/U = f/m(U,— Uo),
en appelant Uo l'énergie interne rapportée à l'unité de masse du fluide occupant le volume ABA'B' et Uj la valeur de la même quantité pour le fluide occupant le volume CDC'D'.
134. Evaluons le travail dx des pressions extérieures. Les seules pressions qui produisent du travail sont celles qui s'exercent sur AH et sur CI). Si />o et p^ sont les valeurs respectives de ces pressions par unité de surface, le travail résultant du déplacement de AB est
et celui qui résulte du déplacement de CI), — P\ ''^\ 9i f^f^t ^= — P\ *'i ^'''"• Nous avons donc
dx — {p^K\) — p^i\)dni.
ÉTinE nKS GAZ. I»i7
Dans celte évaltialioii le travail provenant du tVotlement (In fluide contre les parois du canal n'entre pas. Cependant nous pouvons en tenir conii)te. Il snlTii de considérer le système formé par le tlnide <M le canal dans lequel il se meut. Les frottements sont alors intérieurs au système considéré et l'on ne doit pas en tenir compte dans l'expression du travail des forces extérieures. Mais alors rlQ représente la quantité de chaleur cédée au système du fluide et du canal, et non celle qui est cédée au fluide seulement.
>\ dans la relation (i) fournie par le principe de l'équivalence nous remplaçons d-:, dV , d\ et f?W par les valeurs que nous venons de trouver, nous obtenons, en divisant par dm,
(2) E^.= E(U,-Uo) + «-(^.-~^0
Il ne reste donc plus qu'à déterminer l'expression do
dm Celte différentielle peut s'écrire
^^0 d() __ 'Tu dm dm
Ut
„ . dq .,.,,,, . dVi
VAX conséquent, -7— sera negliseable dans deux cas : si —7^
' dm ^ ^ dt
est très petit, c'est-à-dire si les |)arois du canal sont peu
1 • 1 • 1 ■ • dm
conductrices de la chaleur: ou si — ;— est Ires srand, c est-
dt ^
à-dire si l'écoulement du lUiide est très rapide.
l68 THERMODYNAMIQUE.
135. Remarque applicable aux liquides. — Les liquides sont supposés incompressibles; par suite, le volume spécifique (' est constant. Il en résulte que la formule
qui exprime, dans le cas d'un fluide quelconque, la quantité de chaleur qu'emprunte l'unité de masse de ce fluide, se réduit à
^Q = cm.
Mais cette quantité de chaleur est fournie en partie par des corps extérieurs au système, en partie par le frottement du fluide contre les parois; ai)|)elons<^/0„ la première poition et «yQi la seconde. Nous avons, en remplaçant la variation d\} de l'énergie interne par sa valeui" dm{\}y — Uo),
dQ, + d() , = dm ( U i — U» ) .
Or la f|uantilé r/Q qui entre dans la relation (i) est la chaleur fournie au système par les corps extérieurs; c'est donc la même quantité que celle qui est désignée par «YQ,,
dans la relation précédente. De cette relation tirons -7— et
dm
portons la valeur ainsi trouvée dans la relation (2); nous
obtenons, après simplifications,
C'est l'équation de Hernoulli. La (iiiantilé L -7^ est ce qu'on ^ dm
appelle la perle de charge due au frottement.
Énni; i»ks ijaz. iHi)
136. Applicaticn aux gaz. — l);ms le <as îles g;iz ikxis pouvons iicgliger l'aciiou de la pesanteur et le terme ,ir(-i — :■<>) disparaît de la relation (n). Étudions l'écoulemenl isotherme en supposant le ^^az parfait et le IVottement nul.
Décomposons le lluide occupant le volume AliCD en tranches ayant même masse dm. Au bout de chaque intervalle de temps c/t chacune de ces tranches prendra la place de la suivante. La quantité de chaleur fournie à chacune de ces tranches pendant cet intervalle a pour valeur
dQ = dm(Xpdi'-^dU).
L'écoulement étant isotherme, dU est nul, car, d'après la loi de Joule, U n'est fonction que de la température et par conséquent cette quantité conserve la même valeur quand la température reste constante. D'autre part, la relation fondamentale des gaz parfaits étant
nous avons
Par conséquent.
pv = KT,
dq=dm\nT — ,
et en intégrant pour le volume ABCD nous obtenons, pour la quantité de chaleur rfQ fournie à l'unité de masse du gaz,
^0= / dmXm^-
Mais dm est constant ainsi que T; nous pouvons donc
écrire
^ z= ART^ ^' = AHT(logr,- logrO.
Portons cette valeur de -r^ dans la relation (2). et reniardni
quons que U, — Uo=o d'après la loi de Joule et f|ue
Pi'^'x — /'o<'o^=o d'après la loi de Mariotle; il vient
RT(logr,-logr,) = ^(9?-9^).
Telle est la relation qui lie le volume spécifique à la vitesse daus l'écoulement isotherme des gaz.
137. Considérons le cas oi^rle gaz ne reçoit pas de chaleur (le l'extérieur, le cas d'un écoulement adiabalique. La formule (2) donne alors, en faisant passer dans un même membre les quantités atïectées d'un même indice,
EU, + n + ;,, ,., = EUo -H ^ + />o ^'O
ou
(3) EU 4- -^ H /Jc = const.
Cette formule ne suppose pas que le frottement du gaz contre les parois du canal soit nul, ni que le gaz soit parfait. Faisons maintenant ces hypothèses.
Le gaz ne peut absorber de ciialein-, puisqu'il n'en reçoit ni de l'extérieur ni par frottement; par conséquent, la transformation du gaz est adiabatique et nous avons (70)
^(j'z^ const.
ÉTIDE DES GAZ. JJI
De celle relation ol de la relalioii fondamentale des gaz pari'aits,
nons tirons
et par conséquent
■i— ^ = consl., P~
T=}ip <• ,
B désignant une constante.
Dans la relation (3) remplaçons U par sa valeur cT déduite de la loi de Joule (130 >, et />»• par RT; nous avons
EcT + — -^KT^const.,
on, en tenant compte de la valeur trouvée pour T,
(Ec-i-R)B/> ' -H^-=:const.
Mais poi" Conséquent, en éliminant H, il vient
ECB/> *^ + ^ = const.
C'est la formule de Zeuner.
138. Expériences de Joule et de sir W. Thomson. — Dans ces expériences, on rend le frottement très considérable en faisant passer le gaz à travers un tampon de bourre de soie c
comprimé entre deux rondelles métalliques a, a {fig. 21). Le tube, formé en cet endroit d'un cylindre de buis, est protégé contre tout effet lliermique extérieur par un manchon hh rempli de bourre de soie et plongé dans de l'eau
Fig. 21.
à température constante. Dans ces conditions la quantité de chaleur fournie par l'extérieur au système est nulle, et la formule (3) lui est applicable. D'ailleurs, à cause du frottement considérable qu'éprouve le gaz, l'écoulement poul être très lent, bien que la pression de part et d'autre du tampon puisse différer notablemeni; on peut donc négliger le carré de la vitesse 9, et celte formule se réduit à
' EU 4- pv = const.
ÉTinK i)i;s r.vz. 178
ou (4) U + A/?i' 3= consl.
Si le gaz est parlait, U, /> el c ne déix^ndenl que de la température ï; par consé(|uont, le premier membre de la relation (4) ne dépend que de T. Puisqu'il est constant, la température d'un gaz parfait ne doit pas varier dans l'expérience de Joule el Tlioinson.
Or l'expérience a montré que, (|ucl (|ue soit le gaz employé, la température indiquée par le thermomètre placé au-dessus du tampon est toujours inférieure à la température que possédait le gaz avant son passage dans le tampon. Nous devons donc en conclure que l'une, au moins, des deux lois qui définissent un gaz parfait n'est pas rigoureusement suivie par les gaz réels.
Nous savons déjà, par les expériences de Regnault, que la loi de Mariotte est dans ce cas. Mais ces mêmes expériences nous apprennent que l'écart entre cette loi et la loi réelle de compressibilité n'a pas le même signe pour l'hydrogène et les autres gaz. Par conséquent, si la variation de température constatée dans les expériences de Joule et Thomson provenait uniquement de ce que le produit pv n'est pas uniquement fonction de la température, cette variation devrait avoir un signe différent pour l'hydrogène et pour les autres gaz. Comme cette variation est toujours négative, même avec l'hydrogène, c'est qu'elle est due en partie au terme U. L'énergie interne d'un gaz n'est donc pas uniquement fonction de la température; en d'autres termes, les gaz naturels n'obéissent pas rigoureusement à la loi de Joule. Telle est la conclusion importante des expériences de Joule
£74 THEKMODYNAMIQL'K.
et ïliomson, conclusion que ne pouvaient mettre en évidence les premières expériences de Joule (66), beaucoup moins précises que les précédentes.
139. Expression de lénergie interne d'un gaz. — Joule et sir W. Thomson ont constaté que la diminution de lempéralure indiquée par le thermomètre est inversemenl proportionnelle à la différence des pressions de part et d'autre du tampon, et inversement proportionnelle au carré de la température absolue du gaz. On a donc, en désignant pav dT la variation de température et par dp la variation de pression,
i-y) dlz=^^,
K étant une constante positive dépendant de la nature du gaz. Ces résultats permettent de trouver une expression très approchée de l'énergie interne du gaz.
Prenons p et T comme variables indépendantes et diiïérentions la relation (4): nous obtenons
(b) dp + dl=o.
Si nous supposons le gaz parfait, on a U = cT d'après la loi de Joule, pv = HT d'après les lois de Mariette et de (lay- Lussac, et enfin AH = C — c d'après le principe de l'écpiivalence; par conséquent,
U + Â/>c = CT,
et par suite
ÉTIDE DES GAZ. 1^5
Celle expression n'est pas rigoureusement applicable an\ gaz réels; portons-la néanmoins dans la relation (i); nous obtiendrons
et, en remplaçant dT par sa valeur (5) déduite des expériences de Joule et ïbomson,
djU -\- \pv) KC dp ~ T^"
Si nous intégrons, nous avons
relation qui détermine U.
Si nous prenions ç et T comme variables indépendantes, nous obtiendrions l'expression approchée de U -4- A/jc oti remplaçant p par sa valeur tirée de la relation jn =nT; il vient
140. Détermination de l'équivalent mécanique de la chaleur. — Ditrérentions la relation (4) en prenant pour variables indépendantes^/^ et «•; nous avons
dl] -+- Ap di' H- A (' (/p z= 0.
Mais, d'après le principe de l'équivalence,
dL + Ay^ r/i- = dO ;
par conséquent,
( 8 ) dQ +Açdp = o.
La quantité de chaleur fournie dans une transformation élémentaire est
clO = L -r- clv H- c —r- dp, ^ dv dp ^
ou, en ajoutant et retranchant au second memhre C-r-dp,
dp
dQ = CdT-{C-c)'-!ldp.
dp
Si nous désignons par [3 le coefficient de dilatation du gaz sous volume constant, nous avons, pour la variation de pression dp résultant d'un accroissement dT de la température sans changement de volume,
dp — ^p dT,
et par conséquent, pour la dérivée partielle de la température par rapport à la pression,
dp^f]/ Portons cette valeur dans l'expression de a?Q; il vient
di) = CdT- ^^^ dp,
et par suite, en remplaçant <:/Q par celte expression dans la relalion (8),
C dT — ^^-5 — dp 4- A (• dp z=i o.
KTUDE DES OAZ. I77
Mais, d'après les expériences de Joule et Thomson, dT = m dp,
m désignant, pour simpiilier, le larienr — de la relation (5). L'égalité précédente peut donc s'écrire
(. ni — — r h A (• = G,
d'où nous lirons
^pv V
expression différente de celle (jue nous avons obtenue au paragraphe 65 en supposant les gaz parfaits.
141. Évaluation des températures absolues à l'aide des gaz. — Si un gaz satisfait à la lui de Joule, ïsaus être obligé de suivre la loi de Mariotte, nous aurions entre les quantités p, r, T la relation (129)
La pression du gaz serait proportionnelle à la température absolue lorsque le volume reste constant; un thermomètre à volume constant indiquerait donc la température absolue. Mais, la loi de Joule n'étant qu'approchée, la détermination de la température aJjsolue n'est pas aussi simple. Montrons qu'il est cependant possible d'arriver à celte détermination au moyen des gaz.
La quantité de chaleur absorbée par un gaz dans une transformation élémentaire est
dQ zzi d\l -\- Xp dv,
178 THERMO DYNAMIQIE.
OU, en prenant c et ï comme variables indépendantes,
D'après le principe de Carnol -7^ doit être une différentielle exacte; nous avons donc, en apj)liquant ce principe,
dT \T dç ^ T ) ~7h-\TdT
De cette égalité nous tirons
A dp \p I dU
T dT~'W~~Y-'d^'
Mais nous avons, pour l'augmentation de pression dp résultant d'une élévation de température dT à volume constant,
dp = (3yj dT,
et par suite, pour la dérivée partielle de la pression par rapport à la température,
Portons celte valeur dans la relation précédente; nous obtenons
11 nous faut donc calculer -r- pour pouvoir déterminer T
dç
au moyen de cette relation.
ETIDK l>KS GAZ. I79
Pour cela remarquons quo l'on a
ai) =: (. -r- di- -+- c-r- flp, «f dp
ou, en ajoutant et retranchant au second membre c—j-d^', dQ = {C — c)^-^di'-hcdT.
Celte expression doit être identique à l'expression (9), puisque les variables sont les mêmes; par conséquent,
d[] . ^dT
Si nous appelons a le coefficient de la dilatation à pression constante, nous avons, pour la variation di> du volume v résultant d'une augmentation dj de température sans changement de pression,
di^^ Xi- dT,
et par conséquent, pour la dérivée parlielle de la température par rapport au volume,
dç xv
Nous avons donc
dV ^ C-c
Portons cette valeur de -7- dans la relation (10); nous
obtenons
iSo THERMODYNAMIQUE.
d'où
Telle est la valeur de la lenipéralure absolue.
142. Nouvelles expressions de l'énergie interne des gaz. — On peut évaluer l'énergie interne d'un gaz en suivant une voie tout à fait différente de celle que nous avons employée (139). II est donc intéressant, quelque précaires que soient des conclusions fondées sur des calculs qui portent sur des formules empiriques, de comparer l'expression obtenue dans ce paragrapbe pour l'énergie interne à celle que l'on obtient au moyen des considérations que nous allons exposer. M. Amagat a fait sur les gaz un grand nombre d'expériences dans lesquelles il mesurait le volume occupé |)ar une même masse gazeuse à des températures et des [iressions variables. Il a proposé, pour représenter ses expériences, diverses formules de la forme
M. van der Waais est parvenu à relier les résultats de ces expériences par une formule
RT u.
qui rentre dans le type proposé par M. Amagat. M. Sarrau a montré que la formule de Clausius
RT jj.
KTIDK I)i:S GAZ. l8l
convient également hieii |)()im- représenter les expériences de M. Amagiit,quoicine cette formule ditTère de celles pro|iosées par M. Amagat et M. van der Waais, [lar l'inlrodiiction de la température absolue dans le second terme du second membre. Dans ces formules, y., ,3, ,u. désignent des constantes très petites.
143. Prenons d'abord le type de formule projiosé par M. Amagat; nous poifvoiis l'écrire, en changeant les notations pour simplifier ce qui va suivre,
Or nous avons vu (126) ([ue, si l'on prend pour variables v et T, on a, pour la dérivée partielle par rapport à v de la fonction caractéristique H de M. ^lassieu,
Nous avons donc, avec la formule de M. Amagat,
et par suite
<]; étant une fonction arbitraire.
Nous déduisons dé là
lX> TIIKK.MOIO.NAMIQIK.
el par conséquent
