Supposons le régime permanent établi dans l'appareil
L'équation
(i) - — = const.
que nous avons trouvée au paragraphe 132 en étudiant l'écoulement des fluides est, à chaque instant, applicable aux diverses sections d'un même tube; w désigne la surface d'une de ces sections, cp la vitesse du fluide en un de leurs
MACHINES A VAPKIR.
ii')
points, r le volume spécifique qui correspond à ce même point.
L'application du principe de la conservation de l'énergie nous a donné entre ces quantités et l'énergie interne U de l'unité de masse une nouvelle relation; celle-ci se réduit à
(2) EL 4- — + /M' - const.
dans le cas d'un tluide non pesant et lorsqu'on sui)pose qu'il n'y a pas de chaleur empruntée ou fournie à l'extérieur (137). Celte dernière relation sera donc applicable à toutes les sections d'un même tuhe de l'injecteursi nous négligeons l'action de la pesanteur sur le fluide (lui y circule, vapeur, eau, mélange d'eau et de vapeur, et si nous admettons qu'il n'y a pas de perte de chaleur par rayonnement.
Examinons ce que deviennent ces relations (i) et (2) lorsque les sections considérées n'appartiennent plus au même tube.
247. Soient AoBo, AiBi et AjB., {fig. 87) les sections des trois tubes qui comprennent entre elles une masse égale à l'unité à l'instant t. Ln temps dt après, celte même masse sera limitée par les sections A„Bu, \\Yi\, A'^B'^. Ln désignant par dnii,, din^, din.^ les masses des fluides qui occupent les volumes élémentaires AqBoA'^B'o, A,B,A,B',, AoB^A^B,, nous avons dm^z=. dmQ-\- dm^.
Mais le volume AjEsA^ B'^ a pour valeur '^iO^ dt; par suite, la masse du fluide qu'il renferme est
, oj., 'j., dl
dmo^= -^-^-^ — •
3i6 THERMODYNAMIQUE.
Les masses dm^, el dni^ peuvent s'écrire d'une manière analogue et, si nous portons ces expressions dans l'égalité précédente, nous obtenons
W2©2 «0^0 Wi Cpi
pour la relation qui remplace (i).
Fis. 37.
Appliquons maintenant le principe de la conservation de l'énergie; il nous fournit la relation générale
EdQ+dz = E d[] -+- dW.
Mais c/Q == o puisque nous supposons (ju'il n'y a pas de
perte de chaleur par raisonnement; cette relation se réduit
donc à
dT = EdV + dW.
La variation de l'énergie interne est égale à l'énergie de la masse dm^ diminuée de la somme des énergies des masses dm^ et d/Hi, car l'énergie inlerne de la masse comprise entre les sections A'^ BJ, el A', B\ et la section AoB, est la même aux instants t et i-hdt, le régime permanent étant supposé
MACHINES A VAPKIR. 327
élabli; par conséquent, en appelant Uo, U,, Ua les valeurs de l'énergie interne rapportée à l'unité de niasse aux trois sections considérées, nous avons
dlj := U2 il /il 2 — Uo dm,, — U, (/nti.
La même remarque s'appliquant à la variation de l'énergie cinéli(iue, cette variation a pour valeur
es .; , C5
ro2
^W = dm.-, -^ - dm, ^ — dm, ^-
Pour évaluer le travail dr fourni au lluide pendant le temps d(, apiielons />o, Pi, pi les valeurs des pressions aux trois sections considérées; nous avons alors
d' = — /v, ojo 92 dt -T- po(x)o'^odi -r- pi(j)iOi dt, ou
f/r = — po ^\ dnu + pç, r„ dm^-\- /j, i-, dm , .
Portons ces valeurs de dVi, «-AV et dz dans la relation fournie par le principe de la conservation de l'énergie: il vient
( EU.> 4- — -^ p., To ) dm.2
= (EUo-H ^ -H/>o <'o] f//«o+ (eu, 4- ^ H-/>,c, j (f/m,.
Telle est la i-elalion qui remplace la relation (2) dans le cas où plusieurs tubes se branchent l'un sur l'autre. Si nous la divisons par Ec^/n, et si nous posons
dmi^= ixdmo,
3^8 THKRMOKYNAMIQIE.
elle devietil
(/l) ^■2-hA'^ ^A/>,r,^(i-p.)(Uo+A^ ^-A/;o^,^
-f-fjL^U. + A^ + ÀAri).
248. Appliquons cette formule à l'injecteui- Giffard en admettant que le tube Ci soit le tuyau de prise de vapeur, Co le tuyau d'aspiration et Cj le luyau de refoulement.
L'unité de masse considérée dans la démonstration de la formule étant arbitraire, les positions des sections qui la limitent sont quelconques; nous pouvons donc supposer que AoBo est situé dans la bâche, AiB, dans la partie de la chaudière occupée par la vapeur, et A,B2 dans la partie de la chaudière occupée par l'eau. Dans ces conditions les carrés des vitesses 90 et 91 peuvent être négligés; en outre, /j, el/?2 ont pour valeur commune la pression pi de la chaudière, et/>o est égale à celle de l'atmosphère.
Quant à l'énergie interne, nous en avons trouvé la valeur pour le cas d'un système formé par un liquide et sa vapeur saturée (169); cette valeur est
U — L„i -h CT— kpin{a — l).
Dans le tuyau d'aspiration le (luide en mouvement est de l'eau; par conséquent, /n, qui représente la fraction de la masse qui est à l'état de vapeur, est nul et C est égal à i ; nous avons donc
To étant la température de l'eau d'alimentation.
Dans le tuyau de prise de vapeur on a m=zi; C étant
.M.vi:iiiNKS A vAPKi i< . Sag
toujours é!j;:al à l'uiiilé, l'éneri^ie inlertie Lî| est
Enfin, dans le tuyau de refoulement on a un nïélange d'eau et de vapeur; m a donc une valeur, d'ailleurs inconnue, comprise entie o et i. La température est celle de la chaudière Ti; par conséquent,
Il ne reste qu'à exprimer t'„, i*, et v^ au moyen de a et >.. Dans le tuyau d'aspiralion le volume spécifi(|ue v^ est celui du liquide >.,* dans celui de prise de vapeur ce volume est t; dans le tuyau de refoulement,
Nous avons donc, en remplaçant par ces valeurs les quantités qui figurent dans la formule (4),
o ~ L w + T, — kpiOi {'7 — '/.) -h \— -+- A pi /wj -t- \pi{\ — fn ) 1
— ( I — ^t) (To + A/^,/.) 4- /J-[ L -f- T, — A/>, ( î7 — ).) + A/', cr].
ou
L ( A« - /^ ) 4- A ^- = ( I - fjL ) ( To - T, -^ A/A, /. - A pO).
Or A ^^ est un terme essentiellement positif; par consé-
quent, si nous le supprimons, le premier membre de l'égalité précédente devient plus petit que le second, c'est-à-dire
33o THERMODYNAMIOLK.
Mais /?i est plus grand que po; Ap'k — Xpil est donc une quantité négative; par suite nous pouvons, sans ciianger le sens de l'inégalité, supprimer cette différence si nous voulons trouver les conditions nécessaires du fonctionnement de l'appareil; nous avons donc
(5) L(m-/x)<(i-f/)(To-T,).
249. Une seconde inégalité nous est fournie par le principe de Carnot.
Considérons une masse [x de vapeur dans le tuyau de prise (le vapeur et une masse i — jul d'eau dans le tuyau d'aspiration; leur réunion donne une masse i dans le tuyau de refoulement. Appelons So> '^i> S, les entropies, rapportées à l'unité de masse, des fluides contenus dans ces trois tuyaux. L'enlropie du système formé par la masse [i. de vapeur et la masse i — fx de liquide est
(i — p.)So+^tS,
quand ces masses sont séparées, et Sa quand par leur réunion elles forment le mélange d'eau et de vapeur contenu dans le tuyau de refoulement. La variation d'entropie est
donc
S,— (i — /j.)So— fiSi.
Or, d'après une conséquence du théorème de Clausius généralisé, la variation d'entropie est plus grande que la
valeur de l'intégrale / / -rrrf où une des intégrations se
rapporte au cycle et l'autre au volume du système, et où dQ peut avoir deux significations (188).
MACHINKS A VAl'Kl H. 33l
Dans le cas (|ui nous occiJ|)e, il n'y a par hypothèse ni chaleur empruntée ni chaleur fournie à l'extérieui-; mais nous tiendrons compte des échanges intérieurs.
Il est clair que la variation d'entropie restera plus grande
r rdQ , .
que / / -rrr alors même que nous ne tiendrons (;ompte
dans cette intégrale que de ([uelques-uns des échanges qui se produisent réellement. On a, en elîet, pour un quelconque de ces échanges, ainsi que nous l'avons fait remarquer bien des fois,
fj
dQ
Nous tiendrons com|ne seulement de l'échange considérable qui se produit au contact de la vapeur arrivant par le tube de prise de vapeur et de l'eau arrivant par le tube d'aspiration. Cette vapeur, déjà refroidie par la détente qu'elle a subie, se trouve à une température T, inférieure à T,. L'eau est à la température To; au contact de la vapeur sa température s'élève progressivement jusqu'à To. La vapeur, au contraire, en cédant de la chaleur à l'eau, reste très sensiblement à la température T,, mais se condense partiellement.
Pour une variation de température dT la quantité de cha-, leur absorbée par l'eau est û?Q = (i — i^)<^ï, puisque la chaleur spécifique est très sensiblement l'unité et que la masse à chauffer est i — //. Cette chaleur étant fournie par la vapeur, la chaleur dQ relative à cette substance est
dQ=— (j — |ul)^T;
332 THERMODYNAMIOVK.
nous avons donc d'où
-rrr = (i — /^) Log;= (i — /^) — r.
Par conséquent, nous devons avoir
(6) S2— (i — /^)So — f^S,
>(i - /^) Log-i^ - (i - /..) i^i^.
250. Pour calculer Sq? Si et S2 appliquons la formule S = ;^ w + C LogT
que nous avons trouvée (169) pour Tentropie d'un système formé d'une masse {i — m) de liquide et d'une masse m de vapeur saturée; ici nous avons C = i puisqu'il s'agit de l'eau. La vapeur de So s'obtient en faisant m =0, le tuyau d'aspiration ne contenant pas de vapeur, et en faisant T:=ïo;
par suite,
So=LogTo.
Celle de S, s'obtient en l'aisant T = Tj et m — i, le tuyau C, ne contenant que de la vapeur; par conséquent,
Si = ,-p- + Logï,.
Enfin, dans le tuyau de refoulement nous avons un mé-
MACHINES A VAPEUH. 333
lange d'eau et de vapeur el
S2= ;î^ m H- LogT,.
L'inégalité (6) devieul, lorsqu'on y remplace S», S, el Sa par ces valeurs,
Y w -h Log T, — ( I — f/ ) Log To
-,(,!; -H Logï.)>(.-,)(LogT2'iW„^
\Am-ii) ^ ^^ ..,/r.^'r ....-r , '^^
>(i - .a) (^LogT,- LogT,+ i^ - ,),
En comparant celle inégalilé à l'inégalité (5) on en lire la suivante:
T, (Log^ + .-ï^-. )<T,-T,
ou
(7) To(ij-i) <T,Log^|
Telle est la condition de tbnclionnement de rap|)areil.
251. Celle nouvelle inégalilé permet de calculer une limite supérieure de Tq. En effet, pour que l'aspiration puisse se produire, il faut que la pression au point de branchement des trois tuyaux soit inférieure à la pression atmosphérique et par conséquent que Ta soit plus petit que ioo°; on trouve ainsi ioo° environ pour les machines à moyenne pression. Cette valeur esl bien supérieure à celle qu'on doit adopter
334 TUKRMODVNAMIQLE.
en pratique, 20» environ, pour que l'injecteur puisse fonctionner; cette difîérence provient des approximations très grossières que nous avons faites, et toujours dans le même sens, dans l'établissement de l'inégalité (7), et principalement de ce que nous avons négligé les termes contenant les carrés des vitesses; en outre, nous avons négligé les perles de chaleur par rayonnement et nous n'avons pas tenu compte du travail considérable transformé en chaleur par les frottements des fluides contre les parois. Une théorie dans laquelle entreraient toutes ces qualités donnerait certainement une valeur de T» beaucoup plus approchée de la valeur réelle, mais l'établissement de cette théorie présenterait des difficultés presque insurmontables.
Quelque grossière que soit d'ailleurs cette analyse, elle suffit pour montrer que le paradoxe n'est qu'apparent, que le fonctionnement de l'appareil n'est pas contraire aux principes de la Thermodynamique et qu'il doit devenir impossible si To dépasse une certaine limite; mais on ne pourrait guère, sans des calculs beaucoup plus longs, se rendre compte de la valeur de cette limite. Une remarque importante reste à faire.
La théorie que nous avons donnée suppose le régime permanent établi; elle nous apprend comment ce régime peut continuer h. se produire, mais elle ne rend nullement compte de la manière dont ce régime s'établit; elle présente donc une nouvelle lacune qu'il serait diflicile de combler. Toutefois on |)eut s'expliquer l'aspiration de l'eau d'alimentation par un effet de la contraction de la veine de vapeur à la sortie du tuyau de prise. Il faut en effet que l'orifice de sortie do ce tuyau soit très étroit, surtout au moment de l'amor-
SncillNtS A \ Al'Kl U. )3.i
cernent de l'appareil: c'est dans ce but qu'on le termine en cône suivant l'axe duquel peut se mouvoir une tigeconiqui* appelée aiguille ; en déplaçant cette aiguille le long de l'axe on rétrécit ou l'on augmente l'ouverture de l'ajutage de sortie.
