Cycle de Carnot, — Parmi les systèmes théoriquement étu

dîésy le plus remarquable, sans contredit, est celui pour lequel le gaz moteur parcourt le cycle nommé cycle de Carnoty compris entre deux lignes isothermes et deux lignes adiabatiques. L^état initial du gaz, dont nous supposons toujours le poids égal à l'^Bj étant représenté par le point Mi? le gaz se détend à température constante T^ ; on suppose pour cela qu'une source de chaleur inépuisable, de température Ti, empêche le refroidissement que produirait la détente. Lorsque ce point indicateur, suivant la ligne isotherme MiMj, est parvenu en M2, on continue Texpansion, le gaz en travaillant se refroidit, et Ton cesse de mettre obstacle

Fig. 7.

au refroidissement. Le point indicateur suit une ligne adiabatique M2M3. Lorsque la température est devenue égale à T2, le point indicateur étant en M3, on commence la compression en combattant l'élévation de température qui tend à se produire par l'influence d'une source de chaleur qui impose la température constante T2, en recueillant toute la chaleur produite par la compression. Lorsque le point indicateur est parvenu en M4, convenablement choisi sur la ligne isotherme qu'il parcourt, on continue la compression sans empêcher plus longtemps l'accroissement de température, et la ligne adiabalique, partie du point M4 choisi pour qu'il en soit ainsi, ramène le point indicateur à sa position initiale M|.

Le travail, en vertu du théorème général (16), est proportionnel à la quantité de chaleur fournie au gaz, c'est-à-dire à l'excès de la quantité empruntée à la source de température T^, qui empêche le refroidissement pendant la première période, sur celle que le gaz

doit livrer pendant la troisième période à la source de température T2. Les lignes M2M3, M4M1 étant adiabatiques , leur parcours ne correspond, par définition, à aucun échange de chaleur. Le gaz se refroidit pendant le trajet M2M3 du point indicateur et se réchauffe pendant le trajet M4Mi sans communiquer et sans recevoir de chaleur.

La formule démontrée (14)

dÇl = kdt-\ ir — p do

se réduit, lorsque rf^ = o, à

La température étant constante et désignée par T, on a

RT par conséquent,

Si K>\^ i^2> ^8 et K>s désignent les volumes correspondant aux quatre sommets Mi, M2, M3, M4 du cycle, on déduira de cette formule, pour la quantité de chaleur Qi donnée au gaz quand il passe, à la température constante Ti, du volume k>\ au volume Po?

et pour la quantité de chaleur Q2, restituée par le gaz quand il passe, à la température constante Ta, du volume P3 au volume ^4,

Les lignes M2M3 et M4Mi étant adiabatiques, on a (19)

^k .sk'-k n^k.M'-k

3o THERMODYNAMIQUE.

On en conclul

et, par conséquent,

Qi-Q« = (A--A)(T,-T,)/^.

Le travail produit par le cycle est égal (16) à cette quantité de chaleur divisée par le coefficient — n — > et est, par conséquent, représenté par

La quantité de chaleur dépensée pendant la première période de l'opération est

Le rapport du travail obtenu, à cette quantité de chaleur, est,

par conséquent,

R Ti — Ta

k'—k Ti ' proportionnel à la différence de température des deux sources.

25. Si l'on nomme Qi la quantité de chaleur versée par la source de température T^, Q2 la quantité recueillie par la source de température T2, les valeurs calculées (24) de Qi et Q2 donnent

Cette relation peut se généraliser.

Considérons un cycle quelconque parcouru par le point indicateur de Tétat d'un gaz. On a (9), quel que soit le changement,

kvdp . k'p dv ''^'" a "^ R

et, en divisant les deux membres de cette équation par la tempe-

CHAP. I. — LES GAZ PARFAITS. 3l

rature absolue T égale à ^ ?

-^ est donc la différentielle de la somme klp -t- k' h et, par conséquent, l'intégrale / -^9 prise autour d'un cycle fermé, quel

qu'il soit, aura pour valeur zéro, puisque, p el v reprenant les mêmes valeurs aux points extrêmes, l'accroissement de la fonction intégrale est nul entre les deux limites.

Si le cycle est un cycle de Carnot, l'intégrale / -™ est nulle pour

les deux côtés adiabatiques ; pour les deux autres, T étant constant

et égal à Ti ou à T2, l'intégrale a pour valeurs ^ et — ^« On a

donc

c'est le théorème déjà obtenu.

26. Rendement maximum. — Le cycle de Carnot jouit d'une propriété remarquable. Entre tous les cycles que peut parcourir un poids donné de gaz, les températures extrêmes étant données, le cycle de Carnot assure la valeur maxima au rapport du travail produit à la chaleur dépensée.

Il s'agit, bien entendu, de la quantité de chaleur versée par le gaz pendant la période où il doit être échauffé; si l'on en déduisait, pour évaluer la dépense de chaleur, la chaleur abandonnée par le gaz pendant qu'il se refroidit, tous les rendements seraient égaux.

Remarquons qu'un cycle, quel qu'il soit, peut être décomposé en plusieurs autres par des lignes arbitrairement choisies; la surface primitive étant la somme de celles qui la remplacent, le parcours primitif équivaut, sous tous les rapports, aux parcours successifs de ceux qui le composent. Le travail produit sera le même

dans les deux cas, aussi bien que la chaleur dépensée et la chaleur reçue.

VOifig, 8 représente un cycle décomposé en neuf autres par quatre lignes tracées dans son intérieur. Les neuf cycles étant supposés parcourus dans le même sens, ceux des côtés qui ne font pas partie du contour primitif appartiennent toujours à deux cycles contigus et y seront parcourus dans deux sens différenls. Les cycles M2M3P2P0 P|P2P3Pi, par exemple, ont le côté commun Pi P2 parcouru, dans le premier^ dans le sens de la flèche inférieure, dans le second, dans le sens de la flèche supérieure. Le

Fig. 8.

travail correspondant à ces deux parcours, aussi bien que la chaleur donnée ou reçue, donneront, dans le compte total, une somme égale à zéro.

Considérons maintenant un cycle fermé quelconque; décomposons-le, par une série de lignes adiabatiques infiniment voisines, en un nombre infini de cycles élémentaires, dont chacun sera compris entre deux lignes adiabatiques et deux arcs infiniment petits appartenant au contour primitif. Ces cycles élémentaires peuvent être assimilés à des cycles de Carnot, auxquels ils deviendraient identiques si les petits arcs du contour primitif étaient remplacés par des lignes isothermes. Cette substitution est permise^ elle revient à adjoindre à chacun des cycles deux cycles nouveaux, de surface infiniment petite du second ordre. L'influence de ces cycles sur le travail produit, aussi bien que sur la chaleur mise en œuvre,

est de même ordre que la surface du cycle et, par conséquent, négligeable.

La décomposition du cycle considéré en un nombre infini de cycles de Carnot étant accomplie, le travail total du cycle primitif sera la somme des travaux relatifs aux cycles élémentaires qui le remplacent, et la dépense de chaleur, la somme des dépenses relatives à ces mêmes cycles. Nous entendons par dépense la chaleur fournie sur celui des côtés isothermes pour lequel la température est la plus élevée. En nommant rendement le rapport du travail produit à la chaleur dépensée, le rendement, pour le cycle total, sera une moyenne entre ceux des cycles élémentaires, je veux dire qu'il sera compris entre le plus petit et le plus grand d'entre eux.

T'j et Tg désignant, pour l'un des cycles élémentaires, les températures des lignes isothermes, c'est-à-dire celles des arcs infiniment petits du contour primitif que ces lignes remplacent, le rendement du cycle élémentaire sera (24) proportionnel à

T/ rT%t rr\t

Si T| et Ï2 sont les températures extrêmes du cycle primitif, cette fraction est moindre que

Ti - T2 , T2 Ti ~ Ti'

et le rendement du cycle, dont la valeur est une moyenne entre celles de l'expression (i i), est, par conséquent, plus petit que

rendement d'un cycle de Carnot dont les lignes isothermes ont pour températures T^ et T2.